ichol

不完全Cholesky分解

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句法

L = ichol（A） L = ichol（A，OPTS）

描述

L = ichol (一个）进行的不完全Cholesky分解一个与填零。

L = ichol (一个，OPTS）进行的不完全Cholesky分解一个由指定的选项OPTS。

默认，ichol引用的下三角一个并产生下三角因素。

输入参数

一个

稀疏矩阵

OPTS

结构多达5个字段:

字段名	总结	描述
`类型`	类型的分解	表示不完全乔莱斯基的味道要执行的。该字段的有效值是`'NOFILL'`和`'ICT'`。该`'NOFILL'`变体执行不完全的Cholesky零填充（`IC（0）`）。该`'ICT'`变体执行不完全的Cholesky与阈滴(ICT)。默认值是`'NOFILL'`。
`droptol`	落忍当类型为`'ICT'`	执行信息和通信技术时，用作落允差的非负标量。那些在量值上小于局部降容差的元件将从结果因子中去掉，但对角元件从不去掉。步进局部降容差`Ĵ`的因式分解`范数（第（j：端，j）中，1）* droptol`。`'droptol'`如果被忽略`'类型'`是`'NOFILL'`。默认值是`0`。
`michol`	指示是否执行不完全改性的Cholesky	指示是否修改不完全的Cholesky（MIC）被执行。该字段可能`'上'`要么`“关”`。在进行MIC，对角进行补偿下降元素强制执行的关系`A * E = L * L'* E`哪里`E =酮（尺寸（A，2），1）`。默认值是`“关”`。
`diagcomp`	执行不完全补偿的Cholesky与指定的系数	作为一个全球性的倾斜移动实时非负标`α`在形成不完全的Cholesky因素。也就是说，不是在执行未完成乔莱斯基，`一个`，的因式分解`A +阿尔法* DIAG（DIAG（A））`形成了。默认值是`0`。
`形状`	确定引用和返回哪个三角形	有效值`“上”`和`'降低'`。如果`“上”`，只有?的上三角形`一个`被引用和`[R`被构造成使得`一个`由近似`R'* R`。如果`'降低'`被指定时，只的下三角`一个`被引用和`大号`被构造成使得`一个`由近似`二'`。默认值是`'降低'`。

例子

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不完整的柯列斯基分解

开立真实脚本

本实施例中生成的不完全Cholesky分解。

开始一个对称正定矩阵，一个：

N = 100;A = delsq（numgrid（'S'，N））;

一个是上的100由-100正方形格子狄利克雷边界条件二维，五点离散拉普拉斯阴性。的大小一个是98 * 98 = 9604（未10000为网格的边界来强加狄利克雷条件）。

无填充不完全Cholesky因式分解是包含在相同的位置，因为只有一个非零元素因式分解一个包含非零。这因式分解非常便宜来计算。虽然产品二'通常是从非常不同一个，产品二'将匹配一个其图案多达四舍五入。

L = ichol（A）;范数（A-L * L”，“回回”）./范数（A，“回回”）

ANS = 0.0916

范数（A-（L * L'）。* spones（A），“回回”）./范数（A，“回回”）

ANS = 4.9606e-17

ichol也可用于生成阈值下降的不完全Cholesky因子分解。随着滴度公差的降低，该因素往往会变得更致密，产品也会变得更致密二'往往是更好的逼近一个。下面的图显示作图下降公差以及不完全因子的密度与完整的Cholesky因数的密度之比不完全分解的相对误差。

N =尺寸（A，1）;ntols = 20;droptol = LOGSPACE（-8,0，ntols）;NRM =零（1，ntols）;NZ =零（1，ntols）;nzComplete = NNZ（CHOL（A，'降低'））;对于1:ntols L = ichol(A,struct('类型'，'ICT'，'droptol'，droptol（K）））;NZ（K）= NNZ（L）;NRM（k）的范数=（A-L * L”，“回回”）./范数（A，“回回”);结束图重对数(droptol全国抵抗运动,'行宽'，2）标题（'删除公差VS范数（A-L * L' ' '' 来回 ''）./范数（A '' 来回 ''）'）

图semilogx（droptol，NZ。/ nzComplete，'行宽'，2）标题（“滴差vs填充比ichol/chol”）

的相对误差通常是相同的顺序下降公差上，尽管这不能保证。

使用ichol作为预调节器

开立真实脚本

这个例子说明了如何使用不完全Cholesky分解为预处理器，以提高收敛。

创建一个对称正定矩阵，一个。

N = 100;A = delsq（numgrid（'S'，N））;

创建一个不完全的Cholesky分解为预处理器PCG。使用常数向量的右手边。作为一个基准，执行PCG没有一个预处理器。

B =酮（尺寸（A，1），1）;TOL = 1E-6;麦克斯特= 100;[X0，FL0，RR0，IT0，RV0] = PCG（A，B，TOL，麦克斯特）;

注意FL0 = 1这表明PCG没有开车的相对残留在允许的最大迭代所要求的公差。尝试无填充不完全Cholesky分解为一个预处理。

L1 = ichol（A）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = PCG（A，B，TOL，麦克斯特，L1，L1' ）;

FL1 = 0，表明PCG在59次迭代中收敛到所请求的公差(值IT1）。由于这个矩阵是离散拉普拉斯，然而，使用修改不完全的Cholesky可以创造更好的预处理器。一种改进的不完全Cholesky因式分解构造一个近似因式分解仍然能保持恒定向量操作者的动作。那是，范数（A * E-L *（L'* e））的大约等于零E =酮（尺寸（A，2），1）即使范数（A-L * L”， '来回'）/常态（A， '来回'）不接近于零。这是没有必要为这个语法，因为指定类型NOFILL是默认的，但它是很好的做法。

opts.type ='NOFILL';opts.michol ='上';L2 = ichol（A，OPTS）;E =酮（尺寸（A，2），1）;范数（A * E-L2 *（L2' * e））的

ANS = 3.7983e-14

[X2，FL2，RR2，IT2，RV2] = PCG（A，B，TOL，麦克斯特，L2，L2' ）;

PCG收敛（FL2 = 0），但在仅38次迭代。绘制所有三个收敛历史表明收敛。

semilogy（0：麦克斯特，RV0 /范数（b）中，'B'。);保持上semilogy（0：IT1，RV1 /范数（b）中，'R'。);semilogy (0: it2 rv2. /规范(b),数 'k'。);传说（“不预调节器”，'IC（0）'，'MIC（0）');

该图显示，修改后的不完全的Cholesky预调节器产生更快的收敛。

您还可以尝试降低阈值的不完全Cholesky分解。的收敛性PCG与各种降公差构造预处理器。

3 . c)【句意】'类型'，'ICT'，'droptol'，1E-1））;[X3的，FL3，RR3，IT3，RV3] = PCG（A，B，TOL，麦克斯特，L3，L3' ）;L4 = ichol（A，结构（'类型'，'ICT'，'droptol'，1E-2））;[X4的，FL4，RR4，IT4，RV4] = PCG（A，B，TOL，麦克斯特，L4，L4' ）;L5 = ichol（A，结构（'类型'，'ICT'，'droptol'，1E-3））;[X5，FL5，RR5，IT5，RV5] = PCG（A，B，TOL，麦克斯特，L5，L5' ）;图semilogy（0：麦克斯特，RV0 /范数（b）中，“b -”，“线宽”2);保持上semilogy（0：IT3，RV3 /范数（b）中，'B-'。，“线宽”2);semilogy（0：IT4，RV4 /范数（b）中，'b--'，“线宽”2);semilogy（0：IT5，RV5 /范数（b）中，'B：'，“线宽”2);传说（“不预调节器”，'ICT（1E-1）'，'ICT（1E-2）'，...“ICT (1 e - 3)”，'位置'，'东南');

注意与落忍构成不完全的Cholesky预处理器1E-2表示为ICT（1E-2）。

由于与填零不完全Cholesky分解，阈值滴因式分解可以从改性中获益（即opts.michol = '上'）因为矩阵产生从椭圆偏微分方程。与MIC（0）基于丢弃不完整的Cholesky改性阈值将保持恒定上矢量预处理器的作用，即范数（A * E-L *（L'* e））的将接近于零。

使用diagcomp选项

开立真实脚本

本实施例说明使用的diagcomp的选择ichol。

不完全正定矩阵的Cholesky分解并不总是存在。下面的代码构造一个随机对称正定矩阵并试图使用求解线性系统PCG。

S = RNG（“默认”);A = sprandsym（1000,1e-2,1e-4,1）;RNG（S）;B =全（总和（A，2））;[X0，FL0，RR0，IT0，RV0] = PCG（A，B，1E-6100）;

由于收敛没有达到，试图建立一个不完整的乔莱斯基预处理器。

L = ichol（A，结构（'类型'，'ICT'，'droptol'，1E-3））;

错误使用ichol遇到非正支点。

如果ichol发生故障如上，你可以使用diagcomp构造移位不完全Cholesky分解的选项。也就是说，不去构造大号这样二'近似的一个，ichol用对角补偿构造大号这样二'近似的M = A +阿尔法* DIAG（DIAG（A））没有形成明确中号。由于不完整的因式分解总是存在对角占优矩阵，α可以发现，使中号对角占优。

阿尔法= MAX（总和（ABS（A），2）./ DIAG（A）） -  2-

阿尔法= 62.9341

L1 = ichol（A，结构（'类型'，'ICT'，'droptol'，1E-3，“diagcomp”，α））;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = PCG（A，B，1E-6100，L1，L1' ）;

这里，PCG仍未收敛到迭代所需数量的范围内所需的能力，但是，如下所示的情节，融合是更好地为PCG与此预处理器比没有预处理器。选择较小的α可能会有帮助。对于一些实验，我们可以解决上一个合适的值α。

α= 1;2 . c)【句意】'类型'，'ICT'，'droptol'，1E-3，“diagcomp”，α））;[X2，FL2，RR2，IT2，RV2] = PCG（A，B，1E-6100，L2，L2' ）;

现在，PCG收敛和曲线可以显示每个预条件收敛历史。

semilogy（0：100，RV0 /范数（b）中，。'B'。);保持上;semilogy（0：100，RV1 /范数（b）中，。'R'。);semilogy (0: it2 rv2. /规范(b),数 'k'。);传说（“不预调节器”，'\阿尔法\约63'，“\阿尔法= 0.1”);xlabel（“迭代次数”);ylabel（“相对残余”);