解决方形线性系统使用巨磁电阻使用默认设置，然后调整解决方案过程中使用的迭代次数和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一个在主对角线上有50%的密度和非零。同时创建一个随机向量b右边的 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

rng默认的A = sprandn(400,400,0.5) + 12*speye(400);b =兰德(400 1);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用巨磁电阻．输出显示包括相对残差误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$．

X = GMRES（A，B）;

GMRES在迭代10中停止，而不会聚到所需的公差1E-06，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（10）具有相对残留的0.35。

默认情况下巨磁电阻使用10个迭代和容忍度1 e-6，算法在这10次迭代中无法收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指示，说明需要更多的迭代(或预处理矩阵)。您还可以使用更大的容忍度，以使算法更容易收敛。

用容差再次解系统1的军医和100的迭代。

托尔= 1的军医;麦克斯特= 100;x = gmr (A, b,[],托尔,麦克斯特);

Gmres在迭代100时停止，没有收敛到期望的公差0.0001，因为已经达到了最大的迭代次数。迭代返回(编号100)的相对剩余值为0.0045。

即使具有宽松的公差和更多的迭代，残余错误也不会提高收敛。当以这种方式迭代算法停止时，它是需要预处理器矩阵的良好指示。然而，巨磁电阻还具有控制内部迭代的数量的输入。通过指定内部迭代的值，巨磁电阻每次外部迭代做更多的工作。

使用a再次解决系统重新开始价值100和amax值20.而不是一次迭代，巨磁电阻在重新启动之间执行100个迭代并重复此20次。

重启= 100;麦克斯特= 20;x = gmr (A, b,重启,托尔,麦克斯特);

GMRES（100）在外迭代2（内迭代75）以相对残留9.3E-05的溶液中聚集在溶液中。

在这种情况下，指定了大重启值巨磁电阻使其能够收敛到允许的迭代次数内的解决方案。但是，大重启值可以消耗很多内存一个也大。

使用预先启动的前提者矩阵来检查使用预处理器矩阵的效果巨磁电阻解线性方程组。

加载west0479，一个实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

加载West0479.A = West0479;

定义b所以真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$是所有的矢量。

b =和(2);

设置容忍和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

采用巨磁电阻在要求的容忍度和迭代次数下找到解决方案。指定五个输出以返回关于解决方案流程的信息:

[x, fl0 rr0, it0 rv0] = gmr (A, b,[],托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 0.7603

it0

it0 =1×21 20

fl0是1,因为巨磁电阻不收敛到所请求的公差1 e-12在要求的20次迭代中。它的最佳近似解巨磁电阻返回是最后一个(由it0 (2) = 20）.MATLAB将剩余历史存储在其中rv0．

为了帮助缓慢的收敛，您可以指定一个预处理器矩阵。自从一个非对称,使用ilu生成预处理程序 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$．指定删除公差，以忽略小于的值的非透明条目1 e-6．解预处理系统 ${\mathit{米}}^{-1}\mathit{一个}\mathit{x}＝{\mathit{米}}^{-1}\mathit{b}$通过指定l和U作为输入,巨磁电阻．请注意，当您指定预处理程序时，巨磁电阻计算输出的预条件系统的残差范数rr1和rv1．

[l，u] = ilu（a，struct（'类型'，'ilutp'，'droptol'，1E-6））;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = GMRES（A，B，[]，TOL，MAXIT，L，U）;FL1.

fl1 = 0.

rr1

RR1 = 6.9008E-14

it1

IT1 =1×21 - 6

使用ilu预处理器产生比规定的耐受性更少1 e-12在第六次迭代。第一个残差RV1（1）是规范(U \ \ b (L))， 在哪里m = l * u．最后一个残留.rv1(结束)是规范(U \ (L \ (b * x1)))．

你可以跟着进度巨磁电阻通过在每次迭代时绘制相对残差。绘制每个解决方案的剩余历史，具有指定公差的线。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),'-o')举行在半径（0：长度（RV1）-1，RV1 / NORM（U \（L \ B）），'-o'）yline（tol，'r--'）;传奇(“没有预调节器”，ILU预处理的，'宽容'，“位置”，'东方')包含('迭代号') ylabel (“相对残差”）

使用重新启动的预处理器巨磁电阻．

加载west0479，一个实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

加载West0479.A = West0479;

定义b所以真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$是所有的矢量。

b =和(2);

构建一个不完整的逻辑单元预处理器，其滴度公差为1 e-6．

[l，u] = ilu（a，struct（'类型'，'ilutp'，'droptol'，1E-6））;

使用重新启动的好处巨磁电阻是限制执行该方法所需的内存量。没有重启,巨磁电阻需要max向量的存储，以保持克雷洛夫子空间的基。同时,巨磁电阻必须在每一步与前面所有的向量正交。重新启动将限制每个外部迭代所使用的工作区数量和所完成的工作量。

执行gmr (3)，GMRES（4）,GMRES（5）使用不完整的LU因子作为预处理者。使用公差1 e-12最多20个外迭代。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;[x3, fl3 rr3、it3 rv3] = gmr (A, b, 3,托尔,麦克斯特,L, U);[x4, fl4 rr4、it4 rv4] = gmr (A, b, 4,托尔,麦克斯特,L, U);[x5, fl5 rr5、it5 rv5] = gmr (A, b, 5,托尔,麦克斯特,L, U);fl3

fl3 = 0

fl4

fl4 = 0.

fl5

fl5 = 0

fl3，fl4,fl5全部0，因为在每种情况下重新启动巨磁电阻驱动相对剩余，以小于规定的公差1 e-12．

以下绘图显示了每个重新启动的融合历史巨磁电阻方法。gmr (3)收敛于外迭代5，内迭代3 (IT3 = [5,3]）与外迭代6，内迭代0相同，因此在最终刻度标记上的标记为6。

半径（1：1/3：6，RV3 / NOM（U \（L \ B）），'-o'）;甘氨胆酸h1 =;h1。XTick = (1:6);标题('GMRES（n）对于n = 3,4,5')包含(“外迭代数量”）;ylabel (“相对残差”）;抓住在半机（1：1/4：3，RV4 / NOM（U \（L \ B）），'-o'）;semilogy (1:1/5:2.8 rv5 /规范(U \ \ b (L))'-o'）;yline（tol，'r--'）;抓住离开传奇('GMRES（3）'，'GMRES（4）'，'GMRES（5）'，'宽容'） 网格在

一般来说，内部迭代的次数越多，工作就越多巨磁电阻每个外部迭代是否可以收敛更快。

检查供应的效果巨磁电阻对解有一个初步的猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

n = 900;e =的(n - 1);A = spdiags([e 2*e e]，-1:1,n,n);b =和(2);

采用巨磁电阻来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对这两种解决方案使用200次迭代和默认容忍。金宝搏官方网站指定第二个解中的初始猜想为一个所有元素都等于的向量0.99．

maxit = 200;X1 = GMRES（A，B，[]，[]，MAXIT）;

Gmres在迭代27时收敛到一个相对残差为9.5e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = gmr (A, b,[][],麦克斯特,[],[],x0);

GMRES在迭代7中融合到具有相对残留的6.7E-07的溶液。

在这种情况下，提供初始猜测巨磁电阻更快地聚合。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为了k = 1:4 [x,国旗,relres] = gmr (A, b,[],托尔,麦克斯特,[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结尾

通过提供解一个线性方程组巨磁电阻使用计算的函数句柄斧头代替系数矩阵一个．

其中一个威尔金森测试矩阵由画廊是一个21×21的三角形矩阵。预览矩阵。

a =画廊（“wilk”, 21)

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0121000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

威尔金森矩阵有一个特殊的结构，所以你可以表示这个操作斧头使用函数句柄。当一个乘以向量，得到的矢量中的大多数元素是零。结果中的非零元素对应于非零三角形元素一个．此外，只有主对角线具有不等于1的非安利斯。

表达方式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{c}0+10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}+0\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

在Matlab®中，写一个创建这些向量的函数并将它们添加在一起，从而提供值斧头：

功能y = afun（x）y = [0;x（1:20）] +．..[（10：-1：0）';（1:10）']。* x +．..[x（2:21）;0];结尾

（此函数在示例结束时保存为本地功能。）

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供巨磁电阻使用函数处理来计算斧头．使用公差1 e-12， 15个外部迭代，10个内部迭代，然后重新启动。

1 b = 1(21日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 15;重启= 10;x1 = gmr (@afun, b,重启,托尔,麦克斯特)

GMRES（10）在外迭代5（内迭代10）以相对残留5.3E-13的溶液中融合。

x1 =21日×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查afun (x1)产生一个1的向量。

afun (x1)

ans =.21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

功能y = afun（x）y = [0;x（1:20）] +．..[（10：-1：0）';（1:10）']。* x +．..[x（2:21）;0];结尾