到目前为止,我们已经研究了一阶结构的渐近性态,比如纯积分器或单极和零。一旦你开始处理典型的动态系统,很可能你将不得不处理高阶多项式表达式。处理这些的技巧是记住,任何多项式,不管阶数是多少,都可以被分解成一系列一阶结构对应于实根,以及一系列二阶结构对应于复共轭根。
二阶系统的典型示例是质量弹簧阻尼器和RLC电路。这两者,取决于阻尼对质量或对电感的抵抗的比率,将具有一对复杂的缀合物根。通常,任何复杂的共轭杆对可以用这样的标准二阶传递函数形式写入,其中W_N称为自然频率,Zeta称为阻尼比。
注意,对于我们的几个例子,固有频率等于根号k/m对于我们的基本机械系统等于根号1/LC对于我们的基本电气系统。不管怎样,如果我们计算这个二次多项式的根用标准公式- b加上-根号-我们发现复共轭根对是这个形式。注意,只要阻尼比小于1,这些根就会是一个复共轭对。任何大于1的数,两个根都是实数,这意味着系统将表现为两个一阶极点的乘积。
正如我们之前所做的,以计算频率响应,我们通过JW在传递函数中替换S。为了做我们的渐近近似,我们将在W_N之前和之后看看倾向。当频率w远小于自然频率时,+1将主导分母。所以幅度和相位都大致为0.当频率w匹配自然频率时,第二阶项变为-1并与+1取消,并且中间术语变为纯假想恒定,其幅度为1 /(2 * Zeta)和-90度的相位,因为J位于分母中,所以G落在负虚构轴上。
最后,当频率w远远大于固有频率时,二次项将占主导地位。取对数时,平方会出来,然后乘以20,所以大小会渐近地接近一条直线斜率是-40 db / 10。相位会变成-180度,因为G现在落在负实轴上。
注意,实际的共振峰在w_n的左边下降了一点,因为,如果你看极点的虚部,频率分量是w_n乘以根号(1-)^2。这个调整值就是所谓的阻尼固有频率。只有当阻尼比趋于0时,阻尼固有频率才趋于w_n。注意,在这种情况下,共振峰的大小将趋于无穷大。
阻尼比越小,共振峰越高,相位偏移越快。你可以看到,随着我们增加,共振峰的大小下降,相变变得更平滑。这里我想强调阻尼比为0.707((2)^1/2)/2,这通常被称为临界阻尼。这个阻尼使得在固有频率处的震级为-3 db。还要注意,当= 1时极点的虚部趋于0,二阶系统就变成了位于w_n的两个单实极点的乘积。
在这一点上,让我回到我们的交互式设计工具,因为有几件事是我想要突出的东西。首先,让我带上一对复杂的共轭杆,我将把它们放在靠近10个弧度的每秒。让我确保我将自然频率设置为10。
我注意到,因为我从衰减比率开始为1,所以我的多项式是两个真实根部的产物。一旦我将阻尼变为低于1的任何值,让我们说0.5,我的根部成为一对复杂的共轭值。请注意,对于该特定情况,自然频率等于1 /(2 * Zeta)的大小值变为1/1,在DB中为0,因此交叉将发生在自然频率。
如果我选择较小的阻尼比,你将要看到的是更尖锐和更高的幅度峰值。在这种特殊情况下,我选择了0.05,这意味着1 /(2 * Zeta)为10. 10为1,倍20是20 dbs。如果我改变自然频率,我所做的就是改变该峰值的位置。
现在,如果我想增加或减少增益因为对数的性质,我们只是把这两个结构的影响叠加在一个图上。在这种情况下,增益为10的低值是1,乘以20是20db。所发生的就是整个震级轨迹向上移动了20。请注意,相位完全没有受到影响。
加个0,大约10弧度/秒。我要确保0恰好在10弧度处。现在的情况是- 40db的斜率我原来的斜率每10年向上移动了+ 20db。相位从-180上升到-90。类似地,如果我增加一个极点,假设是100弧度/秒,再次确认一下,是100现在- 40db / 10在0处变成-20,然后在新的极点之后又回到-40。因此,利用叠加的概念,我可以很容易地构造任何我感兴趣的传递函数。我要做的就是把传递函数分解成更小的结构,然后用图形把所有的轨迹加在一起。
了解这个简单的概念可能是非常强大的,因为它允许我们通过观察胶合图中的幅度和相位迹线来了解我们系统的主要动态。
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