求解一个方形线性方程组pcg使用默认设置，然后调整解决过程中使用的公差和迭代次数。

创建一个随机对称稀疏矩阵一个．同时创建一个向量b的行和一个的右边 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$这就是真正的解 $\mathit{x}$是1的向量。

rng默认的A = sprand(400,400，.5);A = A'*A;b = sum(A,2);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用pcg．输出显示包括相对残余误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$．

x = pcg(A,b);

PCG在迭代20处停止，没有收敛到期望的公差1e-06，因为达到了最大迭代次数。返回的迭代(数字20)有相对残差3.6e-06。

默认情况下pcg使用20次迭代，公差为1 e-6，该算法无法在这20次迭代中收敛到该矩阵。然而，残差接近容差，因此算法可能只需要更多的迭代来收敛。

再用一个容差解系统1 e -150次迭代。

x = pcg(A,b,1e, 7150);

PCG在迭代129处收敛到相对残差为1e-07的解。

检查使用预处理矩阵的效果pcg解一个线性方程组。

创建一个对称的正定带状系数矩阵。

A = delsq(numgrid(“年代”, 102));

定义b对于线性方程的右边 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

b = ones(size(A,1)，1);

设置公差和最大迭代次数。

Tol = 1e-8;Maxit = 100;

使用pcg在要求的公差和迭代次数上找到解决方案。指定五个输出以返回关于解决方案过程的信息:

[x,fl0,rr0,it0,rv0] = pcg(A,b,tol,maxit);fl0

Fl0 = 1

rr0

Rr0 = 0.0131

it0

It0 = 100

fl0是1因为pcg不收敛于所要求的公差1 e-8在请求的100次迭代中。

为了帮助处理缓慢的收敛，您可以指定一个预处理矩阵。自一个是对称的，使用ichol生成前置条件 $\mathit{米}＝\mathit{l}{\mathit{l}}^{\mathit{T}}$．通过指定求解预条件方程组l而且L '作为输入pcg．

L = ichol(A);[x1,fl1,rr1,it1,rv1] = pcg(A,b,tol,maxit,L,L');fl1

Fl1 = 0

rr1

Rr1 = 8.0992e-09

it1

It1 = 79

使用ichol预调理剂产生的相对残留小于规定的容差1 e-8在第79次迭代时。输出rv1 (1)是规范(b)而且rv1(结束)是规范(b * x1)．

现在，使用michol选项来创建一个修改后的不完整的Cholesky预处理条件。

L = ichol(A,struct(“michol”，“上”));[x2,fl2,rr2,it2,rv2] = pcg(A,b,tol,maxit,L,L');fl2

Fl2 = 0

rr2

Rr2 = 9.9614e-09

it2

It2 = 47

这个预处理条件比本例中系数矩阵零填充的不完全Cholesky分解产生的预处理条件更好，所以pcg可以更快地收敛。

你可以看到前置条件是如何影响的收敛速度pcg通过绘制从初始估计(迭代数)开始的每个剩余历史0)．为指定的公差添加一行。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“o”) semilogy(0:长度(rv2) 1, rv2 /规范(b),“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有预调节器”，“默认ICHOL”，“修改ICHOL”，“宽容”，“位置”，“东”)包含(的迭代次数) ylabel (的相对剩余的）

检查供给的效果pcg对解的初步猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$这就是期望的解 $\mathit{x}$是1的向量。

N = 900;E = ones(n,1);A = spdigs ([e 2*e]，-1:1,n,n);b = sum(A,2);

使用pcg来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对两个解决方案都使用200次迭代和默认容差。金宝搏官方网站将第二个解中的初始猜测指定为所有元素都等于的向量0.99．

Maxit = 200;x1 = pcg(A,b，[]，maxit);

PCG在迭代35时收敛到相对残差为9.5e-07的解。

X0 = 0.99*e;x2 = pcg(A,b，[]，maxit，[]，[]，x0);

PCG在迭代7收敛到相对残差为8.7e-07的解。

在这种情况下，提供一个初始猜测是可行的pcg收敛:更快地收敛

x0 = 0 (size(A,2)，1);Tol = 1e-8;Maxit = 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = pcg (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X(:，k) = X;R(k) = relres;X0 = x;结束

求解一个线性方程组pcg使用一个函数句柄进行计算* x代替系数矩阵一个．

使用画廊生成一个20 × 20的正定三对角矩阵。上对角线和次对角线都有1，而主对角线元素从20倒数到1。预览矩阵。

N = 20;画廊(“tridiag”的(n - 1, 1), n: 1:1,的(n - 1, - 1));完整的(一个)

ans =20×2020 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 19 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 18 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 16 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 14 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 13 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

因为这个三对角矩阵有一个特殊的结构，你可以表示这个操作* x使用函数句柄。当一个乘以一个向量，结果向量中的大部分元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素一个．而且，只有主对角线有不等于1的非零。

表达式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$［\begin{array}{cccccccccc}20.& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 19& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 18& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 17& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 16& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 15& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 14& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 13& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 1\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］＝［\begin{array}{c}2{0\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+19{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+18{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{18}+2{\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\\ {\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$［\begin{array}{c}2{0\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+19{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+18{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{18}+2{\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\\ {\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}\end{array}］+［\begin{array}{c}20.{\mathit{x}}_1\\ 19{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\\ 0\end{array}］$．

在MATLAB®中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而给出的值* x：

函数Y = [0];x (19)) +.．.[(20: 1:1)]。* x +.．.[x(20分);0);结束

(该函数在示例末尾保存为本地函数。)

现在求解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供pcg使用函数句柄进行计算* x．使用的公差1 e-1250次迭代。

B = ones(20,1);Tol = 1e-12;Maxit = 50;X1 = pcg(@afun,b,tol,maxit)

PCG在迭代20时收敛到相对残差为4.4e-16的解。

x1 =20×10.0476 0.0475 0.0500 0.0526 0.0555 0.0588 0.0625 0.0666 0.0714 0.0769

检查afun (x1)生成一个1的向量。

afun (x1)

ans =20×11.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000

函数Y = [0];x (19)) +.．.[(20: 1:1)]。* x +.．.[x(20分);0);结束