lsqnonlin

一个简单的指数衰减曲线数据。

生成数据从一个指数衰减模型+噪音。模型是

与 $$t$$从0到3, $$\epsilon$$正态分布噪声均值为0和0.05标准差。

rng默认的%的再现性d = linspace (0, 3);y = exp (-1.3 * d) + 0.05 * randn(大小(d));

问题是:考虑到数据(d,y),找到最适合的指数衰减率数据。

创建一个匿名函数,需要一个值的指数衰减率 $$r$$并返回一个向量的差异与衰变速率和数据模型。

有趣= @ (r) exp (- d * r) - y;

找到最佳的衰变率的值。任意选择一个初始猜测x0= 4。

x0 = 4;x0, x = lsqnonlin(有趣)

局部最小值。lsqnonlin停止是因为最后的平方和的变化相对于其初始值小于公差的值函数。

x = 1.2645

数据和拟合指数曲线的阴谋。

情节(d, y,“柯”d exp (- x * d),“b -”)传说(“数据”,“最适合”)包含(“t”)ylabel (“exp (tx)”)

找到最佳拟合模型时的一些合适的参数范围。

找到一个定心 $$b$$和扩展 $$\mathrm{一个}$$最适合的函数

标准正态密度,

创建一个向量t的数据点,这些点和相应的正常密度。

t = linspace (4, 4);y = 1 /√(2 *π)* exp (- t ^ 2/2);

创建一个函数评估之间的差异的集中和缩放功能正常y,x (1)作为比例 $$\mathrm{一个}$$和x (2)随着定心 $$b$$。

有趣= @ (x) x (1) * exp (- t)。* exp (exp(-(时距(2))))- y;

找到最优适应从x0=(1/2,0),扩展 $$\mathrm{一个}$$在1/2和3/2,定心 $$b$$在1和3之间。

磅= [1/2,1];乌兰巴托= (3/2,3);x0 = (1/2, 0);x = lsqnonlin(有趣,x0,磅,乌兰巴托)

局部最小值。lsqnonlin停止是因为最后的平方和的变化相对于其初始值小于公差的值函数。

x =1×20.8231 - -0.2444

画出两个函数看到合适的质量。

情节(t y的r -t有趣(x) + y,“b -”)包含(“t”)传说(“正常密度”,的拟合函数)

考虑下面的目标函数,一个平方和:

这个目标函数的代码的出现myfun函数在这个例子。

这个函数的线性约束最小化 $$x_1\le \frac{x_2}{2}$$。写这个约束 $$x_1-\; -\; -\; -\; -\; -\frac{x_2}{2}\le 0$$。

一个= [1 1/2];b = 0;

实施范围 $$x_1\ge 0$$, $$x_2\ge 0$$, $$x_1\le 2$$, $$x_2\le 4$$。

磅= [0 0];乌兰巴托= 2 [4];

从点开始优化过程x0 = (0.3 - 0.4)。

x0 = (0.3 - 0.4);

没有线性等式约束的问题。

Aeq = [];说真的= [];

运行优化。

x = lsqnonlin (@myfun x0,磅,乌兰巴托,A, b, Aeq, beq)

局部最小值发现,满足约束。优化完成,因为目标函数中引入可行的方向,在最优值的宽容,和约束满足约束的值公差内。

x =1×20.1695 - 0.3389

函数F = myfun (x) k = 1:10;F = 2 + 2 * k - exp (k * x (1)) - 2 * exp (2 * k * (x (2) ^ 2));结束

考虑下面的目标函数,一个平方和:

这个目标函数的代码的出现myfun函数在这个例子。

这个函数的非线性约束最小化 $$\mathrm{罪}(x_1)\le \mathrm{因为}(x_2)$$。这个非线性约束函数的代码的出现nlcon函数在这个例子。

实施范围 $$x_1\ge 0$$, $$x_2\ge 0$$, $$x_1\le 2$$, $$x_2\le 4$$。

磅= [0 0];乌兰巴托= 2 [4];

从点开始优化过程x0 = (0.3 - 0.4)。

x0 = (0.3 - 0.4);

这个问题没有线性约束。

一个= [];b = [];Aeq = [];说真的= [];

运行优化。

x = lsqnonlin (@myfun x0,磅,乌兰巴托,A, b, Aeq,说真的,@nlcon)

局部最小值。约束满足。fmincon停止因为当前步骤的大小小于一步尺寸公差的值和约束满足约束的值公差内。

x =1×20.2133 - 0.3266

函数F = myfun (x) k = 1:10;F = 2 + 2 * k - exp (k * x (1)) - 2 * exp (2 * k * (x (2) ^ 2));结束函数测查[c] = nlcon测查(x) = [];c = sin (x (1)) - cos (x (2));结束

比较的结果时使用不同的数据拟合问题lsqnonlin算法。

假设你有观察的时间数据xdata和观察到的响应数据ydata和你想找到参数 $$x(1)$$和 $$x(2)$$适合的模型形式

输入的观察时间和响应。

xdata =…[0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 - 60.3 74.6 - 81.3);ydata =…[455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 - -0.4 -1.3 - -1.5);

创建一个简单的指数衰减模型。该模型计算一个向量的预测值和观测值之间的差异。

有趣= @ (x) x (1) * exp (x (2) * xdata) -ydata;

符合模型使用的起始点x0 =[1] 100年。首先,使用默认的“trust-region-reflective”算法。

x0 =[1] 100年;选择= optimoptions (@lsqnonlin,“算法”,“trust-region-reflective”);x = lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项)

局部最小值。lsqnonlin停止是因为最后的平方和的变化相对于其初始值小于公差的值函数。

x =1×2498.8309 - -0.1013

是否有任何区别使用“levenberg-marquardt”算法。

选项。一个lgorithm =“levenberg-marquardt”;x = lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项)

局部最小值。lsqnonlin停止因为当前步骤的相对大小小于步长值的宽容。

x =1×2498.8309 - -0.1013

这两个算法发现同样的解决方案。策划方案和数据。

情节(xdata ydata,“柯”)举行在tlist = linspace (xdata (1) xdata(结束));情节(tlist x (1) * exp (x (2) * tlist),“b -”)包含xdataylabelydata标题(“指数适合数据”)传说(“数据”,“指数符合”)举行从

找到 $$x$$,最大限度地减少

$$\underset{k=1}{\overset{10}{\sum }}{\left(2+2k-\; -\; -\; -\; -\; -e^{k{x}_1}-\; -\; -\; -\; -\; -e^{k{x}_2}\right)}^2$$,

并找到最小平方和的价值。

因为lsqnonlin假设平方和没有显式地形成的用户定义的函数,函数传递给lsqnonlin应该计算向量值函数

$$F_k(x)=2+2k-\; -\; -\; -\; -\; -e^{k{x}_1}-\; -\; -\; -\; -\; -e^{k{x}_2}$$,

为 $$k=1$$来 $$10$$(即, $$F$$应该有 $$10$$组件)。

的myfun函数,计算10-component向量F,在出现这个例子。

找到最小点和最小值,在点开始x0 = [0.3, 0.4]。

x0 = [0.3, 0.4];[x, resnorm] = lsqnonlin (x0 @myfun)

局部最小值。lsqnonlin停止因为当前步骤的大小小于步长值的宽容。

x =1×20.2578 - 0.2578

resnorm = 124.3622

的resnorm输出是平方剩余规范,或函数的平方和值。

下面的函数计算向量值的目标函数。

函数F = myfun (x) k = 1:10;F = 2 + 2 * k-exp (k * x (1)) exp (k * x (2));结束

检查解决方案过程发生时(通过设置显示选项“通路”)然后(通过检查输出结构)。

假设你有观察的时间数据xdata和观察到的响应数据ydata和你想找到参数 $$x(1)$$和 $$x(2)$$适合的模型形式

输入的观察时间和响应。

xdata =…[0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 - 60.3 74.6 - 81.3);ydata =…[455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 - -0.4 -1.3 - -1.5);

创建一个简单的指数衰减模型。该模型计算一个向量的预测值和观测值之间的差异。

有趣= @ (x) x (1) * exp (x (2) * xdata) -ydata;

符合模型使用的起始点x0 =[1] 100年。检查解决方案通过设置过程显示选项“通路”。获得一个输出结构来获得更多的信息解决方案的过程。

x0 =[1] 100年;选择= optimoptions (“lsqnonlin”,“显示”,“通路”);[x, resnorm残留,exitflag,输出]= lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项);

规范一阶迭代Func-count Resnorm一步最优0 3 359677 2.88 e + 04目标函数返回正无穷;尝试一种新的点……1 6 359677 11.6976 - 2.88 e + 04 2 9 321395 0.5 4.97 4.97 e + e + 04年3 321395 1 04 4 15 292253 0.25 - 7.06 e + 04 5 18 292253 0.5 - 7.06 e + 04 21 270350 24 270350 0.25 1.15 0.125 1.15 e + 05年7 e + 05年8 27 252777 0.0625 - 1.63 e + 05年9 30 252777 0.125 - 1.63 e + 05年10 33 243877 0.03125 - 7.48 e + 04年11 36 243660 0.0625 - 8.7 e + 04 12 39 243276 0.0625 - 2 e + 04 13 42 243174 0.0625 - 1.14 e + 04 14 45 242999 0.125 - 5.1 e + 03 15 48 242661 0.25 2.04 e + 03 16 51 241987 0.5 1.91 1.04 e + 03 17 54 240643 1 e + 03 18 57 237971 2 3.36 e + 03 19 60 232686 4 6.04 e + 03 20 63 222354 8 1.2 e + 04 21 66 202592 16 2.25 e + 32 04 22 69 166443 4.05 6.68 e + e + 04 23 72 106320 64 24 75 28704.7 128 8.31 e + 04 04 25 78 89.7947 140.674 2.22 e + 04 26 81 9.57381 - 2.02599 684 27 84 87 9.50489 0.000462261 0.0114 9.50489 0.0619927 2.27 28局部最小值。lsqnonlin停止是因为最后的平方和的变化相对于其初始值小于公差的值函数。

检查输出结构,以获得更多的信息解决方案的过程。

输出

输出=结构体字段:firstorderopt: 0.0114迭代:28 funcCount: 87 cgiterations: 0算法:“trust-region-reflective”stepsize: 4.6226 e-04消息:当地最低可能....“bestfeasible: [] constrviolation: []

相比之下,设置算法选项“levenberg-marquardt”。

选项。一个lgorithm =“levenberg-marquardt”;[x, resnorm残留,exitflag,输出]= lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项);

一阶范数的迭代Func-count Resnorm最优0.01λ0步3 359677 2.88 e + 04目标函数返回正;尝试一种新的点……1 100000 0.280777 340761 3.91 e + 04 2 16 304661 5.97 e + 04 10000 0.373146 297292 6.55 e + 21 04 288240 e + 06 0.0589933 - 4 24 7.57 e + 28日04 100000 0.0645444 275407 1.01 e + 05 06年1 e + 0.0741266 6 31 249954 1.62 e + 05 100000 0.094571 245896 36 1.35 e + 05年1 e + 0.0133606 07年8 39 243846 7.26 e + 04 1 e + 06年0.0094431 9 42 243568 5.66 e + 04 100000 0.0082162 243424 1.61 e + 45 04 10000 0.00777935 243322 8.8 e + 03年11 48 1000 0.0673933 242408 5.1 e + 03 100 51 0.675209 13 54 6.59804 233628 1.05 e + 04 14 57 169089 54.6992 8.51 e + 04 1 15 60 30814.7 - 1.54 e + 05年0.1 196.939 63 147.496 8 e + 03 0.01 129.795 66 9.51503 117 0.001 9.96069 18 19 69 9.50489 0.0714 0.0001 0.080486 72 9.50489 5.07043 5.23 e-05 1 e-05 e-05局部最小值。lsqnonlin停止因为当前步骤的相对大小小于步长值的宽容。

的“levenberg-marquardt”聚合用更少的迭代,但几乎尽可能多的功能评估:

输出

输出=结构体字段:迭代:19 funcCount: 72 stepsize: 5.0704 e-05 cgiterations: [] firstorderopt: 5.2319 e-05算法:“levenberg-marquardt”的信息:“局部最小值可能....“bestfeasible: [] constrviolation: []