不确定性建模的数据结构

鲁棒控制工具箱允许您创建不确定的元素，例如其值不确定的物理参数，并将这些元素组合成不确定的模型。然后，您可以轻松地分析不确定性对控制系统性能的影响。

例如，考虑一个植物模型

在哪里γ可以在区间[3,5]和τ平均值为0.5，变异性为30%。你可以创建一个不确定的P(s)模型，就像下面这个例子:

伽马=尿素（“伽马”，4，“范围”[3 - 5]);τ=尿素的(“τ”5,“比例”，30）;P = TF（γ-，τ1]）

P =一个输出，一个输入，一个状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性包含以下模块:伽马:不确定真实,名义= 4,范围=[3,5],1出现τ:不确定真实,名义= 0.5,差异=(-30,30)%,1事件类型“P.NominalValue”的名义价值,“把(P)”所有属性,和“P.Uncertainty”与不确定的交互元素。

假设你已经设计了一个积分控制器C对于标称植物(γ= 4和τ= 0.5）。要了解如何变化γ和τ影响装置和闭环性能，形成闭环系统CLP从C和P．

KI = 1 / (2 * tau.Nominal * gamma.Nominal);C = tf(KI，[1 0]);CLP =反馈(P * C, 1)

CLP =一个输出，一个输入，两个状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性由以下几个块组成:gamma:不确定实数，标称= 4，范围=[3,5]，1次出现tau:不确定实数，标称= 0.5，可变性=[-30,30]%，1次出现类型“CLP”。NominalValue“查看名义值”，get(CLP)“查看所有属性”，以及“CLP。“不确定性”与不确定因素相互作用。

绘制工厂和闭环系统的阶跃响应。的步命令自动生成不确定参数的20个随机样品γ和τ和图形对应的步骤的响应。

次要情节(2,1,1);步骤(P)、标题(“植物反应(20个样本)”次要情节(2,1,2);步骤(CLP)、标题(“闭环响应（20个样品）”）

图1:工厂的阶跃响应和闭环模型

下面的图表明，闭环系统是合理的鲁棒性，尽管在工厂直流增益的显著波动。这是一个合理设计的反馈系统所需要的共同特征。

直流电动机实施例参数不确定和未建模动态

本示例以示例为基础直流电动机的基准跟踪的参数变化通过添加参数的不确定性和未建模动态，调查伺服控制器以这样的不确定性的鲁棒性。

直流电动机的公称模型由电阻来定义R，电感l，电动势常数Kb电枢常数公里，粘性摩擦的线性近似Kf惯性载荷J．这些组件中的每一个都在特定的值范围内变化。电阻和电感常数在其标称值的±40%范围内。使用尿尿构造这些不确定参数。

R =尿素的(“R”2,“比例”, 40);L =尿素的(“L”, 0.5,“比例”, 40);

由于物理原因Kf和Kb都是一样的，即使他们是不确定的。在此实例中，标称值是0.015 0.012 0.019之间的范围内。

K =尿素的(“K”，0.015，'范围'[0.012 0.019]）;公里= K;KB = K;

粘滞摩擦,Kf，具有0.2在其值的50％的变化的标称值。

Kf =尿素的('Kf个', 0.2,“比例”, 50);

机电方程

在电路中的电流，和施加到所述转子上的扭矩能够在所施加的电压和角速度来表示。创建传递函数H把这些变量联系起来，使AngularSpeed一个输出的H以备后用。

H =[1、0公里]*特遣部队(1 (L R)) * [1 kb] + [0 0; 0 1; 0 kf);H.InputName = {“AppliedVoltage”；“AngularSpeed”};H.OutputName = {“当前”；“AngularSpeed”；“RotorTorque”};

电机通常驱动一个惯性，其动态特性与施加的扭矩角速度的变化率有关。对于刚体，这个值是常数。一个更现实但不确定的模型可能包含未知的阻尼共振。使用ultidyn对象建模不确定线性时不变动力学。将刚体惯性的标称值设为0.02，我们将15%的动态不确定性以乘法形式包含进来。

J = 0.02*(1 + ultidyn)'Jlti'，[1 1]，'类型'，“GainBounded”，“约束”，0.15，．..“SampleStateDim”4));

直流电机的型号不确定

这是一个简单的事情，涉及的AngularSpeed的输入RotorTorque通过不确定的惯性输出，J,使用融通命令。的AngularSpeed输入=RotorTorque /（j * S）．因此，使用“正”从第三输出的第二输入的反馈H进行连接。这种连接导致系统具有一个输入（AppliedVoltage)及两个输出(当前的和AngularSpeed）。

Pall = lft(H,tf(1，[1 0])/J);

只选择了AngularSpeed控制分析的其余部分的输出。

: P =笼罩(2)

P =不确定连续时间状态空间模型与1个输出，1个输入，2个状态。该模型不确定性由以下部分构成：Jlti：不确定的1x1 LTI，峰值增益= 0.15，1次出现K：不确定真实的，标称= 0.015，范围= [0.012,0.019]，2次出现Kf个：不确定真实的，标称= 0.2，变异性= [-50,50]％，1次出现L：不确定真实的，标称= 0.5，变异性= [-40,40]％，1次出现的R：不确定真实的，标称= 2，变异性= [-40,40]％，1次出现输入“P.NominalValue”看到标称值，“获取（P）”中看到所有属性，以及“P.Uncertainty”互动与不确定因素。

P为直流电机的单输入单输出不确定模型。为了便于分析，请使用以下控制器。

CONT = TF（84 * [233 1]，[0357 1 0。]）;

开环分析

首先，将公称直流电动机的阶跃响应与15个不确定直流电动机模型样本进行比较。使用usample明确指定随机样本的数量。

CLF步骤（usample（P，15），P.NominalValue，3）图例（“样本”，“标称”）

图2:植物阶跃响应

同样，比较直流电机的标称(红色)和采样(蓝色)不确定模型的波德响应。

波德(usample (P, 15), P.NominalValue);传奇(“样本”，“标称”）

图3:植物预示反应

鲁棒性分析

本节分析了直流电机控制器的鲁棒性。闭环系统的标称分析表明，反馈回路具有22 dB增益裕度和66 deg相位裕度，非常鲁棒。

保证金（P.NominalValue *续）

图4:闭环鲁棒性分析

的diskmargin函数计算基于磁盘的增益和相位裕度。通过在所有频率和所有反馈回路建模的增益和相位的变化，磁盘利润率趋于稳健更准确的估计，特别是在多回路控制系统。计算的DC马达回路基于磁盘的利润。

DM = diskmargin (P.NominalValue *续)

DM =结构与字段：GainMargin: [0.2792 3.5822] phasmargin: [-58.8054 58.8054] DiskMargin: 1.1271 LowerBound: 1.1271 UpperBound: 1.1271 Frequency: 5.0062 worst扰动:[1x1 ss]

虽然小于经典的增益和相位裕度，但基于磁盘的裕度基本上证实了标称反馈环路是非常稳健的。现在，回想一下直流电机的工厂是不确定的。模型中的不确定性如何影响这些稳定性边际?为快速洞察，绘制基于磁盘的增益和相位裕度为20个不确定的开环响应样本。

diskmarginplot (P *续,P.NominalValue *续)传说(“样本”，“标称”）

一些工厂的不确定性导致利润率下降。该图只显示了一小部分样本。用最坏情况分析来找出边际到底有多糟糕。的wcdiskmargin函数直接计算模型不确定性的最坏情况增益和相位裕度。

wcDM = wcdiskmargin (P *续,“输出”）

wcDM =结构与字段：GainMargin: [0.8729 1.1457] phasmargin: [-7.7671 7.7671] DiskMargin: 0.1358 LowerBound: 0.1358 UpperBound: 0.1361 CriticalFrequency: 4.9831 worst扰动:[1x1 ss]

mag2db (wcDM.GainMargin)

ans =.1×2-1.1811 - 1.1811

在这里，最坏情况的边际只有1.2分贝和7.8度，这表明闭环对于一些不确定元素的组合几乎是不稳定的。

抗扰特性的稳健性

灵敏度函数是反馈系统闭环性能的标准度量。计算不确定灵敏度函数年代比较标称不确定灵敏度函数和采样不确定灵敏度函数的波德幅度图。

S =反馈（1，P *续）;bodemag（S，S.Nominal）图例（“样本”，“标称”）

图5:灵敏度函数S的大小。

在时域中，灵敏度函数表示阶跃扰动如何可以被拒绝。绘制其阶跃响应，以看到干扰抑制特性的可变性（标称显示为红色）。

步骤(年代,S.Nominal)标题(“抗扰”） 传奇（“样本”，“标称”）

图6:一步干扰抑制技术。

使用wcgain函数来计算灵敏度函数的峰值增益的最坏情况值。

[maxgain, worstuncertainty] = wcgain(年代);maxgain

最大增益=结构与字段：LowerBound: 7.5196 UpperBound: 7.5355 CriticalFrequency: 4.9973

与usubs功能可以替代不确定元件的最差情况下的值到不确定敏感度函数年代．这给出了最坏情况的灵敏度函数Sworst在整个不确定范围内。的峰值增益Sworst相匹配的下限通过计算wcgain．

Sworst = usubs(年代,worstuncertainty);规范(Sworst正)

ans = 7.5196

maxgain。lowerBound

ans = 7.5196

现在比较名义灵敏度和最坏情况灵敏度的阶跃响应。

步骤（Sworst，S.NominalValue，6）;标题（“抗扰”） 传奇（“最坏的”，“标称”）

图7:阶跃扰动的标称和最坏情况抑制

显然，一些不确定元素的组合会显著降低控制器快速排除扰动的能力。最后，绘制灵敏度函数的标称值和最坏值的幅值。观察…的峰值Sworst发生的频率maxgain。CriticalFrequency：

bodemag (Sworst S.NominalValue)传说(“最坏的”，“标称”)举行在semilogx (maxgain.CriticalFrequency, 20 * log10 (maxgain.LowerBound),“g *”）

图8:标称的幅度和最坏情况下的灵敏度