构造小波的提升方法- MATLAB & Simulink - MathWorks Australia金宝app - 金宝app,下载188bet金宝搏,金宝搏官方网站

用于构建小波的提升方法

所谓的第一代小波和缩放功能是单一展开和单一功能的转换。傅立叶方法在这些小波的设计中发挥着关键作用。然而，小波基由单个函数的转换和扩张组成的要求施加了一些限制，限制了小波分析核心的多分辨率思想的效用。

小波方法的效用由设计延长第二代小波通过提升．

不能使用单个函数的平移和扩展的典型设置包括:

有界域上的小波设计-这包括在区间或高维欧几里得空间的有界域上构造小波。
加权小波-在某些应用中，如偏微分方程的解，需要小波相对于加权内积的双正交。
间隔不规则数据- 在许多真实应用程序中，数据样本之间的采样间隔不等于。

设计新第一代小波需要傅里叶分析的专业知识。瑞典人提出的提升方法(见[Swe98])参考文献)消除了傅里叶分析专业知识的必要性，并允许您从初始的小波开始生成无限个离散双正交小波。除了世代第一代小波，提升，提升方法也使您能够设计第二代小波，不能使用基于傅里叶的方法设计。通过提升，您可以设计小波来解决第一代小波。

有关提升的更多信息，请参阅[SWE98]，[MAL98]，[STRN96]和[MISMOP03]参考文献．

提升背景

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由滤波器组实现的DWT由四个过滤器定义如下快小波变换（FWT）算法．兴趣的两个主要性质是

完美重构性
与“真”小波的联系(如何从滤波器开始，产生有限能量函数空间的正交或双正交基)

为了说明完美的重建属性，以下滤波器组包含两个分解过滤器和两个合成滤波器。分解和合成滤波器可以构成一对双正交基础或正交基础。大写字母表示过滤器的Z变换。

这导致了完美重构(PR)滤波器组的以下两个条件:

$H_{}^{〜} （ Z. ） H （ Z. ） + G_{}^{〜} （ Z. ） G （ Z. ） = 2 {Z.}^{- L. + 1}$

和

$H_{}^{〜} （ - Z. ） H （ Z. ） + G_{}^{〜} （ - Z. ） G （ Z. ） = 0.$

第一条件通常（错误地）称为完美的重建条件，第二个条件是抗锯齿条件。

这 ${Z.}^{- L. + 1}$ 术语意味着，完美的重建实现了比滤波器长度小的一个样品的延迟，L.．如果分析过滤器转换为因果关系，就会产生这个结果。

提升从小波变换的基本性质出发，设计出完美的重构滤波器组。小波变换通过利用大多数真实数据中固有的相关性来构建稀疏表示。例如，绘制3天期间的电力消耗示例。

负载leleccum绘图（LELECCUM）网格在轴紧标题('用电量'）

图中包含一个坐标轴。标题为“耗电量”的轴包含一个线型对象。

多相表示

这多相信号的表示是提升中的重要概念。您可以将每个信号视为由此组成阶段，它包括每一个N以某个索引开头的示例。例如，如果你索引一个时间序列N= 0取其他样本的起始点N= 0，提取偶数样本。如果你从N＝1，提取奇数样本。这些是数据中的偶数和奇数多相分量。因为样本之间的增量是2，所以只有两个阶段。如果将增量增加到4，则可以提取4个相。对于提升来说，集中于偶、奇多相分量就足够了。下面的图说明了输入信号的这个操作。

在哪里Z.为单位前进算子，数字2的向下箭头表示向下采样2。在提升的语言中，将输入信号分离为偶数和奇数分量的操作称为分裂操作,或懒惰的小波．

为了从数学上理解提升，有必要理解偶数和奇数多相分量的z域表示。

偶数多相组分的Z-变换是

$X_{0.} （ Z. ） = \underset{N}{σ.} X （ 2 N ） {Z.}^{- N}$

奇多相分量的z变换为

$X_{1} （ Z. ） = \underset{N}{σ.} X （ 2 N + 1 ） {Z.}^{- N}$

你可以把输入信号的z变换写成多相分量的z变换的扩展形式的和。

$X （ Z. ） = \underset{N}{σ.} X （ 2 N ） {Z.}^{- 2 N} + \underset{N}{σ.} X （ 2 N + 1 ） {Z.}^{- 2 N + 1} = X_{0.} （ {Z.}^{2} ） + {Z.}^{- 1} X_{1} （ {Z.}^{2} ）$

分割、预测和更新

单个提升步骤可以用以下三个基本操作来描述:

分裂-将信号分解成不相交的分量。一种常见的方法是提取中解释的偶和奇多相分量多相表示．这也被称为懒惰的小波．
预测- 基于偶数多相组分的样品的线性组合的奇数多相组分。奇数多相组分的样品由奇数多相组分与预测值之间的差异替换。
更新-基于从预测步骤中获得的不同样品的线性组合的偶数多相组分。

在实践中，对预测和更新操作都进行了规范化。

下面的图表演示了一个提升步骤。

通过提升的哈尔小波

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使用操作分割、预测和更新，您可以通过升降来实现Haar小波。

分裂—将信号分为偶数和奇数多相分量
预测——取代 $X （ 2 N + 1 ）$ 与 $D. （ N ） = X （ 2 N + 1 ） - X （ 2 N ）$ ．预测运营商简单 $X （ 2 N ）$ ．
更新——取代 $X （ 2 N ）$ 与 $X （ 2 N ） + D. （ N ） / 2$ ．这个等于 $（ X （ 2 N ） + X （ 2 N + 1 ）） / 2$ ．

z域中的预测运算符可以以以下矩阵形式写入：

$[\begin{array}{c} 1 & 0. \\ - P. （ Z. ） & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0.} （ Z. ） \\ X_{1} （ Z. ） \end{array}]$

与 $P. （ Z. ） = 1$ ．

update操作符可以写成如下矩阵形式:

$[\begin{array}{c} 1 & S. （ Z. ） \\ 0. & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0. \\ - P. （ Z. ） & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0.} （ Z. ） \\ X_{1} （ Z. ） \end{array}]$

与 $S. （ Z. ） = 1 / 2$ ．

最后，更新和预测归一化可以包含如下：

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0. \\ 0. & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & S. （ Z. ） \\ 0. & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0. \\ - P. （ Z. ） & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0.} （ Z. ） \\ X_{1} （ Z. ） \end{array}]$

您可以使用liftingScheme构造与哈尔小波相关的提升方案。

lscHaar = liftingScheme (“小波”那'哈尔'）;disp (lscHaar)

小波:'haar' LiftingSteps: [2 × 1] liftingStep NormalizationFactors: [1.4142 0.7071] CustomLowpassFilter: [] Details of LiftingSteps: Type: 'predict' Coefficients: -1 MaxOrder: 0 Type: 'update' Coefficients: 0.5000 MaxOrder: 0

请注意，为了方便起见，负号被合并到预测提升步骤。元素NormalizationFactors那1.4142和0.7071，分别为预测和更新归一化因子。MaxOrder给出了描述相应提升步骤的洛朗多项式的最高次。在这种情况下，两者都是零，因为预测和更新提升都是用标量描述的。

Bior2.2小波提升

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这个例子介绍了提升方案bior2.2双正交尺度和小波滤波器。

在哈尔提升方案中，预测运营商差异差异奇数甚至样本。在该示例中，定义一个新的预测运算符，其计算两个相邻偶数样本的平均值。从中间奇数样本中减去平均值。

$D. （ N ） = X （ 2 N + 1 ） - \frac{1}{2} [X （ 2 N ） + X （ 2 N + 2 ）]$

在z域，你可以把预测算子写成

$[\begin{array}{c} 1 & 0. \\ - \frac{1}{2} （ 1 - Z. ） & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0.} （ Z. ） \\ X_{1} （ Z. ） \end{array}]$

要获取更新运算符，请检查更新运算符通过提升的哈尔小波．该更新以这样的方式定义，即近似系数的总和与输入数据向量的平均值成比例。

$\underset{N}{σ.} X （ N ） = \frac{1}{2} \underset{N}{σ.} 一种（ N ）$

要在此提升步骤中获得相同的结果，请将更新定义为

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4.} （ {Z.}^{- 1} + 1 ） \\ 0. & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0. \\ - \frac{1}{2} （ 1 + Z. ） & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0.} （ Z. ） \\ X_{1} （ Z. ） \end{array}]$

您可以使用liftingScheme得到提升方案。

lscBior = liftingScheme (“小波”那“bior2.2”）;disp (lscBior)

小波:'bior2.2' LiftingSteps: [2 × 1] liftingStep NormalizationFactors: [1.4142 0.7071] CustomLowpassFilter: [] Details of LiftingSteps: Type: 'predict' Coefficients: [-0.5000 -0.5000] MaxOrder: 1 Type: 'update' Coefficients: [0.2500 0.2500] MaxOrder: 0

为Haar提升方案添加提升步骤

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这个例子展示了如何将基本的提升步骤添加到提升方案中。

创建一个与哈尔小波相关的提升方案。

LSC = Liftingscheme（“小波”那'哈尔'）;DISP（LSC）

小波:'haar' LiftingSteps: [2 × 1] liftingStep NormalizationFactors: [1.4142 0.7071] CustomLowpassFilter: [] Details of LiftingSteps: Type: 'predict' Coefficients: -1 MaxOrder: 0 Type: 'update' Coefficients: 0.5000 MaxOrder: 0

创建一个更新基本提升步骤。为提升方案附加步骤。

els =升降步骤（“类型”那“更新”那'系数'(-1/8 1/8),“MaxOrder”，0）;LSCNEW = Addlift（LSC，ELS）;DISP（LSCNEW）

小波:'custom' LiftingSteps: [3 × 1] liftingStep NormalizationFactors: [1.4142 0.7071] CustomLowpassFilter:[]详细的LiftingSteps:类型:'predict'系数:-1 MaxOrder: 0类型:'update'系数:0.5000 MaxOrder: 0类型:'update'系数:[-0.1250 0.1250]MaxOrder: 0

从新的提升方案中获得分解和重构滤波器。

[lod,藏,生气,hir] = ls2filt (lscNew);

使用Bswfun到绘图的结果缩放函数和过滤器。

Bswfun（LOD，HID，LOR，HIR，“阴谋”）;

图中包含4个轴。具有标题的轴1分析缩放函数(phiA)包含一个类型为line的对象。轴2与标题分析小波函数(psiA)包含一个对象的类型线。标题为合成缩放函数(phiS)的坐标轴3包含一个类型为line的对象。轴4标题合成小波函数(psiS)包含一个类型为线的对象。

整数到整数小波变换

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在一些应用中，希望有一个小波变换将整数输入映射到整数尺度和小波系数。你可以很容易地使用升降机来完成。

创建一个与哈尔小波相关的提升方案。在提升方案中增加一个基本的提升步骤。

LSC = Liftingscheme（“小波”那'哈尔'）;els =升降步骤（“类型”那“更新”那'系数'(-1/8 1/8),“MaxOrder”，0）;lscnew = lsc.addlift（els）;

创建一个整数值信号。使用提升方案获得来自LWT的信号的整数到整数小波变换，“Int2Int”设置为真正的．

rng默认sig = randi（20,16,1）;[ca，cd] = lwt（sig，“LiftingScheme”lscNew,“Int2Int”，真的）;

确认近似系数是全整数。

马克斯(abs (ca-floor (ca)))

ans = 0.

确认细节系数都是整数。

len =长度（CD）;为了K = 1：Len Disp（[k，max（abs（cd {k} -floor（cd {k}）））]）;结束

1 0 2 0 3 0 4 0

反变换并演示完美的重构。

XREC = ILWT（CA，CD，“LiftingScheme”lscNew,“Int2Int”，真的）;max（abs（xrec-sig））

ans = 0.

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