在这个视频中,我将介绍状态空间方程,该模型表示现代控制的首选。然而,在我们开始之前,快速警告:我们不会进入深度的数学状态空间。这个视频后你可能不能够写出任意系统的方程。但是我认为你会是一个很好的直观的理解这些方程式,可以是一个基础,您可以建立在了解更多信息。至少,它可能澄清一些挥之不去的问题你可能有。所以考虑到这一点,让我们去得到它。我是布莱恩,欢迎来到MATLAB技术说话。
关于动态系统我觉得有趣的事情是,它们可以由常微分方程表示。这是因为他们有这个属性,系统是如何改变在任何给定的时间是其当前状态的函数。
如果我们邮政通过弹簧-质量系统的推导过程快速,你可以看到最后一个微分方程。这里,变量p的位置,第二个对时间的导数是加速度。系统的方法是changing-acceleration-is当前状态的函数,位置。如果这个动态系统初始化一些能源将继续自己因为这个状态的导数之间的关系和国家本身。考虑初始化该系统通过拉伸弹簧和放手。加速度的变化速度,从而改变位置,然后加速变化,它会来回摆动,你无须添加任何外部输入。由于没有阻尼在此系统中,能量是守恒的,这acceleration-velocity-position周期将持续永远。
任意动态系统,如果我们看看能量变化通过分析其状态及其衍生品之间的关系,我们可以对系统的稳定性。随着时间的推移是能量消耗了?然后,系统是稳定的,能量耗散越快,它就越稳定。如果能量无限增长随着时间的推移,甚至只是其中的一部分,然后系统作为一个整体是不稳定的。
稳定是一个系统的固有财产仅从美国及其衍生品的方式相互连接。系统动作的方式,然而,也可以影响外部能量被添加或删除。所以动态系统是一个函数的导数的当前状态以及任何外部输入。
和整数阶是一个简单的重新包装成一组高阶微分方程的一阶微分方程,着重于这种关系。这重新包装可以使系统更容易分析,因为我们可以看看互联系统的底层行为以及如何系统受到外部输入,甚至多个外部输入,这真的很强大。
也有很多控制技术是建立在状态空间模型和卡尔曼滤波,等控制,鲁棒控制,和模型预测控制,等等。也有数值解的好处当模拟系统状态空间模型作为一个因为你首先构建向量的衍生品,然后整合整个向量的状态。所以,总的来说,他们非常棒,值得学习。
让我们花点时间详细看了状态方程并尝试一点意义。在这个例子中,我们专注于一个线性的连续形式,定常系统。有两个方程。第一个是状态方程,我们已经开发了一个小的直觉,第二个方程是输出方程,我会一点点。
整数阶围绕状态向量,x。这是一个向量的所有状态变量。状态向量的变化,或状态向量的导数,是当前状态的线性组合+外部输入的线性组合。
这样,我们不是要看整个动力系统的端到端像我们与高阶微分方程和传递函数,而是专注于每个状态的动力学变量,这些变量之间的关系。
第一个状态如何变化的函数的所有国家和所有的输入?第二种状态变化的函数如何所有的状态和输入?等等。因为我们只看每个州的一阶导数,得到一组一阶微分方程。
我们留下的是一个线性方程组,我们可以包成矩阵的形式。如果线性代数对什么有好处,它绝对是解决线性方程组。
这是重新包装成矩阵的形式,让我们获得很多的数学工具,我们没有。
状态方程的矩阵形式有两个矩阵,A和b矩阵描述了内部状态如何都连接到对方,底层的动态系统;和B矩阵描述了输入进入系统状态是如何影响?
现在我们来看看输出方程。Y是一个系统的输出向量,或你感兴趣的部分。重要的是要意识到的是,输出不一定是状态变量。C矩阵描述了美国如何结合输出,和D矩阵用于允许输入旁路系统完全和前馈到输出。
和真正的D矩阵的简单的例子将状态方程表示的一个简单的乘数,增加块。输出等于输入乘以增益,所以这样的A, B, C矩阵都是0,因为没有衍生品和没有州和D矩阵获得的价值。
输出方程的重要性将变得明显当我们开始反馈的闭环控制器开发输出系统。但是现在,这足以理解的结构方程和反馈控制下一节,我们将更深入地讨论输出和状态方程之间的关系。
正如您可能已经注意到,状态变量是整个事情的关键。他们出现在三个地方,这部分表示我认为最难概念化。因此,了解它们是什么是非常重要的。状态变量是最低的一组完全描述系统的变量。完全改变意味着我们有足够的信息描述系统的一部分,或变量的部分,我们可以预测系统未来的行为。
这将会更有意义,如果我们回到弹簧-质量系统,弄清楚什么是状态变量开始,没有关于系统的信息。如果我画春天和这样的质量,并要求你预测该系统将在一秒钟,你需要什么信息?
嗯,你会希望系统常量弹簧常数和质量,我们想知道的外力作用于质量,所以输入,但这只告诉你故事的一部分,因为你不知道你所说的初始条件系统的变量部分。如果质量是目前移动和多么困难是弹簧质量目前拉着。如果我们知道这两个起始条件,以及系统常量和输入,那么我们就能预测质量将后一秒。
我们考虑的第一个问题:质量目前移动?我们会知道这从质量和速度的速度是可变的自质量会来回摆动,假设在这个系统有一些能量。我们需要速度来预测未来的位置所以我们可以说这是一个状态变量;这是必须的。
现在让我们转到最初的弹簧力。力也是变量,但是让我们思考我们该如何去获得它。弹簧常数乘以距离,春天是拉伸。如果我们有距离,或质量的位置相对于未拉伸弹簧的长度,然后我们就能够得到弹簧力。所以我们需要完全的最小数量的变量描述这个系统是两个:位置和速度。因为有两个,这是一个二阶系统。
所以现在一个自然的问题可能是:为什么不更多的州吗?为什么不三呢?
为了回答这个问题,让我们考虑加速度。它是一个变量,因为它的变化以及位置和速度。然而,我们不需要知道加速度完全描述系统;加速度是一个力作用在一个质量的结果,并迫使在这种情况下是一个副产品质量的位置。因此,我们通过位置得到加速度和加速度添加到列表的状态变量是额外的信息。
事情起初看起来奇怪的是,如果我们添加一个阻尼器进入这个体系,我们不增加这个系统的订单,因为我们不需要任何额外的状态变量占这个额外的元素。阻尼器的力是由质量,的速度,再一次,我们已经在我们的状态变量列表。所以这两个系统都有相同数量的状态变量:两个。
来验证你有合适的需要描述一个系统的状态数计算能源存储设备,您的系统。我不会讲太多的细节在这里因为我认为瑞克希尔博士已经做了大量工作的解释在他的YouTube视频,我在下面的描述中有关。但总的想法是这样的:一个动态系统储存能量以不同的方式。在我们的弹簧质量系统,有两个能量储存元素:春天,商店势能,动能和质量,商店。
动态系统的移动和改变自己只是因为系统内部存在的能源存储元素之间来回转移,最终通过热量消散,最终输给了环境。在任何给定的时间,如果我们知道多少能量存储在每一个元素,然后我们知道它的状态和所需的信息完全理解系统的状态。美国不代表能量。他们只是需要确定的能量。
弹簧-质量系统,我们知道质量的能量的速度质量,我们知道在春天的能量的位置,或者从弹簧延伸多远。如果我们知道这些能量在系统或连接在一起,把它的另一种方式,每个国家如何吸收和失去能源系统的基于当前状态我们完全理解系统本身。
这本质上是整数阶为我们所做的。看国家variables-how能量存储和结合他们之间能量转移的状态,并添加任何额外的能源从外部来源。
一些特别的警告,希尔教授介绍,这就是为什么储能系统元素的数量等于的状态数。所以我们spring-mass-damper仍然是一个二阶系统,因为一个阻尼器不储存能量;它只是消散。
所以我们知道订单有两个,但是为什么不是两种不同的状态吗?为什么位置和速度?好吧,他们不需要。这里有点混乱。状态变量的位置和速度,可以被认为是在状态空间坐标系统。超过五个位置的单位和三个速度单位。这一点在状态空间系统的当前状态,以及状态向量描述了这个位置。
但是我们可以用状态空间描述这个位置与任何两个线性无关的变量。任意状态1和2。我们会得到相同的系统状态,总能量相同,只是用不同的坐标。
我们做这个重新定义状态变量与整数阶。这是我们正在做的,例如,当我们一个矩阵对角化把它变成所谓的模态形式。这两个模型代表相同的系统,我们只是选择一组不同的坐标,不同的基础上,我们的状态向量。所以状态向量x的位置和速度,和状态向量z是由两个模态状态和这些特殊状态改变的只是自己。也就是说,状态不依赖于状态2的当前值,反之亦然。如果我们能够直接写出整数阶模态形式,那么也许我们会。没什么特别的位置和速度为状态变量其他比数量给我们直观的意义。
然而,由于美国不再定义为位置和速度,C矩阵也需要改变,如果我们想保持系统的输出位置和速度。通过这种方式,我们可以看到的利益输出方程。我们不是被迫输出美国到底我们定义它们,而是有能力的线性组合成我们感兴趣的变量。
好了,这就是我要离开现在这个视频。我希望这篇文章能够帮助你思考了状态方程在一个稍微不同的方式。而不是考虑他们作为一组矩阵模型重新包装成任意的一阶微分方程,我们可以考虑分别写出每个状态变量的动力学。和动力学与能量是如何存储和传输系统。通过这样做,我们得到的好处能够了解这些内部状态变化和相互作用,能量是如何移动的,我们可以使用强大的工具在线性代数方程分析和解决。
MATLAB和Simu金宝applink是伟大的环境与状态空间系统。你可以从传递函数转换为状态空间,操纵矩阵,模拟,设计和分析控制系统使用的内置的工具。我要使用MATLAB演示控制技术与状态空间方程为本系列的其余部分。如果你不熟悉使用MATLAB中状态空间,或者如果你正在寻找一个快速的复习,我联系了几个视频描述中值得一试。在本系列的下一节中,我将通过一个简单的反馈控制系统的设计使用整数阶。
