从系列:在MATLAB中求解ODEs
克利夫莫勒,数学工程
洛伦兹混沌吸引子是由爱德华·洛伦茨于1963年发现时,他正在调查大气对流的简化模型。这是三个差分方程的非线性系统。随着三个参数是最常用的值,有两个不稳定的临界点。该解决方金宝搏官方网站案仍然有界的,但乱轨道围绕这两点。该节目“lorenzgui”提供了调查Lorenz吸引的应用程序。所得的3-d情节看起来像一只蝴蝶。
洛伦兹奇怪吸引子,也许是世界上最有名的和广泛的研究常微分方程。他们是在1963年由麻省理工学院的数学家和气象学家,家Edward Lorenz发现。他们开始混乱的领域。
它们之所以出名是因为它们对初始条件敏感。初始条件的微小变化对解的影响很大。洛伦兹以谈论蝴蝶效应而闻名。蝴蝶翅膀的拍打如何影响天气。
一只蝴蝶在巴西飞可引起龙卷风和德克萨斯州是他给了一个报告的一个华丽的版本。方程几乎是线性的。这里有两个二次条款。方程来流体流动的模型出来。地球的大气是一种流体。
但是这个范围内的参数,这三个参数,西格玛,RHO,和β,这些都是外部的,实际上代表了地球大气层的范围内。我们要看看这些参数。这些是最常用的参数。
但我们也会对rho的其他值感兴趣。但我是个矩阵人,所以我喜欢用这种形式写方程。Y点等于Y。它看起来是线性的,除了A取决于y,所以y2,y的第二个分量,出现在矩阵A中。
这有助于我研究这种形式的微分方程。这种矩阵形式便于求临界点。将参数eta替换为y2。尽量使矩阵奇异。当eta是β乘以rho负1的平方根时就会发生这种情况。
然后零向量就是临界点。如果我们把这个向量作为解的起始值,那么解就留在那里。Y素数是0。这是一个不稳定的临界点。这个解附近的值偏离了这个解。不会停留在解决方案附近。
2014年5月,我在克利夫角写了一个关于MATLAB常微分方程组的系列文章和博客。我以洛伦兹吸引子为例。我还包括了一个叫做Lorenz plot的程序,我想用在这里。
这里的Lorenz散点图。设置参数。设置矩阵A.这里的初始值是临界点。这是在临界点附近的初始值。整合从0到30使用ODE 23.给它一个称为洛伦兹方程函数。
捕获t值和y,然后绘制解决方案。我会做的三个组成部分相互抵消的关系图。这里是一个内部功能Lorenz方程由ODE 23调用,它不断,每次调用时,它修改与Y2的新值矩阵A更新它。
所以让我们运行这个函数。这是输出。这是洛伦兹吸引子的三个分量。时间序列是t的函数,很难看出这里发生了什么,除了说它们从初始值开始,围绕它们振荡,关闭它们一段时间,然后开始偏离。
而且很难看到他们在做什么。他们只是在振荡的不可预知的方式。我们需要另一个图形,看看到底发生了什么就在这里。我想写一个叫洛伦兹GUI程序。洛伦茨图形用户界面。这是出于我的老书叫这个人是真的出数值计算的MATLAB用,NCM。
好的,我按了开始键。以下是绿色的两个关键点。我们从接近临界点开始。我们围绕临界点振荡。这是轨道。这只是来回的。它围绕一个临界点振荡,然后决定过去,围绕另一个临界点振荡一段时间。
它继续四处永远这样。这不是周期性的。它永远不会重复。现在,蝴蝶与洛伦茨两种方式有关。一个是天气的蝴蝶效应。此外,该地块看上去像一只蝴蝶。我可以用我的鼠标抓住这个和三维旋转。
所以我可以得到不同的轨道视图。还在计算中。我们越来越多地增加情节。我可以从不同的角度来看待它,从三维的角度来理解这是如何进行的。它几乎生活在两个维度,但不完全。
之前,我们已经看到了解,周期解的微分方程金宝搏官方网站。这里,这不是周期性的。就这样一直走下去。现在,这是完美的——这不是随机的。这完全由初始条件决定。
如果我要与那些确切的条件再次启动了,与那些确切的初始条件,我会得到的正是这种行为。但它是不可预测的。很难说这是怎么回事。我可以明确这一点,看到了轨道继续发展。按停止。
现在我有一个选择。该下拉菜单这里让我选择RHO的其他值。28 RHO的值几乎总是研究,但有一本书由科林麻雀,我在我所引用的我的博客即将洛伦兹方程周期解。金宝搏官方网站
让我们再值。让我选择RHO等于160,清除并重新启动。现在,初始过渡之后,现在这是周期性的。因此,这是不乱。这是一个周期性的解决方案。
rho的其他值,不是rho等于28,这是混沌的,但是rho的其他值给出了不同性质的周期解。这是一个很长,很有趣的故事,我在我的博客里谈论了麻雀的工作。金宝搏官方网站
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