从系列:在MATLAB常微分方程求解
克里夫·莫勒尔,MathWorks公司
经典的洛特卡-沃尔泰拉(Lotka-Volterra)捕食者-猎物竞争模型描述了狐狸和兔子、大鱼和小鱼之间的相互作用,是数学生态学的基础。它也被应用到许多其他领域,包括经济学。该模型是一个由两个方程组成的非线性系统,其中一个物种呈指数增长,而另一个物种在没有其他物种的情况下呈指数衰减。一个非零临界点是稳定的。所有解都金宝搏官方网站是周期的。“predprey”程序提供了一个研究该模型的应用程序。
洛特卡 - 沃尔泰拉捕食方程物种之间的所有车型参与竞争的鼻祖。他们就像数学生态学领域的基础。觉得两个物种兔子和狐狸或驼鹿和狼或大鱼小鱼的。
Y1代表猎物,在没有捕食者的情况下,猎物会独自平静地生活。我选择了时间和总体的单位这样在主要线性项前面的系数就是1。y1 ' = y1表示没有捕食者时猎物的指数增长。
食肉动物需要的猎物,生活在猎物。因此,在没有任何猎物,这减号是最重要的。所以Y2素平等减去Y2代表指数衰减。和捕食者在不存在任何猎物呈指数死光。
这里是非线性项。这些就像物流术语,除了两个物种之间的相互作用。Y1的生长受到y2的限制。所以y1会增长,直到这一项变成0 1 y2读到mu2。
在另一方面,当Y1达到MU1 Y2的衰减变为0。为了完成本说明书中,我们需要的初始条件。因此,我们有两个值1 ETA和ETA 2,这是Y1和Y2的初始值。
所以这四个参数,二亩和两个ETAS,是我们在我们的捕食模型的四个参数。不要担心的是,这些是连续变量,我们可以有个人的非整数。
我们可以得到半只兔子或者十分之一只麋鹿。毕竟,这些模型是对自然界正在发生的事情的理想化版本。临界点是当导数为0时。在原点有一个临界点。
但有趣的是当这些项变成0。这就是y1和y2 = mu1和mu2的点。我们要看一下雅可比矩阵。这是一般的雅可比矩阵。在临界点处,雅可比矩阵,这是雅可比矩阵。
雅可比矩阵的特征值是±i,所以这个临界点是一个周期为2的稳定中心。这些是非线性方程。我们不能用简单的解析函数来表示解。
我们必须计算它们数值。但我们知道这对他们的行为。如果初始条件接近临界点,解决的办法是周期性的。周期接近二皮。而轨道接近椭圆。
在另一方面,如果初始条件是远离临界点,那么它原来的解决方案仍然是周期性的。但周期大于二皮更大,轨道远非一件椭圆形。OK,让我们打开MATLAB和计算解决方案。
我们需要的参数。这里有一个万亩和ETA。我会设置微分方程。然后选择ODE 45,我们将整合从0到25而这里的解决方案。这是周期性的。捕食者和猎物。它看起来像时期,它的返回回到初始状态为100和400。
它在这里又回到了原来的位置。我们已经做了三个多周期的积分。我碰巧知道周期是6。5。所以我可以——我要设置——我想要计算到更高的精度。10的- 6次方。
让我们捕捉解决方案,整合了三个时期。它产生的337点。让我们从更细的点绘制。我们可以在这里看到,我们已经讨论了三个阶段,并返回到我们的100和300的初始值。
而现在我要使用的东西会炫耀的功能周期性的MATLAB称为彗星。一个轨道。两个轨道。3个轨道。确定周期解的周期通常是计算的重要组成部分。
在MATLAB ODE套件,这是与一个事件处理程序。所以我打算使用ODE的集合,提供所谓的进站事件处理程序。下面是在进站代码。这段代码被称为在集成每个时间步长。
这里我就不详细讲了,它计算了一个函数g,我们要看它什么时候是0。当g回到0时,积分就停止了。这里有一个显示函数。
通常情况下,这里不会有。但是我想看看这个是怎么计算的。它说,当y返回到它的角和的夹角相等的点时终止。这比仅仅查找解决方案何时返回到其初始条件更可靠。
因此,让我们运行ODE 45,并告诉它在一个无限的时间步整合,在一个无限的时间间隔。这是不会发生的,因为我们要为g是0,但与该选项矢量集与此事件处理程序,以尽快停止。所以这里。
下面是由进站制作我们整合沿着输出。这里的价值,它的发现。下面是其中g返回到0。我已经制作了T载体在它117倍的值。和T的最终值是此值,我说的是这个解决方案的时期。
所以这是怎样的会计期间受到这一事件的ODE求解器处理功能来确定。大。我有一个名为捕食猎物的程序,是程序的集合,自带的NCM,数值计算与MATLAB英寸我的书可供查看的MathWorks公司的网站上。
捕食者猎物提供了这个图形用户界面来演示我们一直在谈论的捕食者猎物方程。顶部显示的是相平面图,即猎物和捕食者之间的关系图。底部显示的是时间序列图,两个种群的图。
并初步,它被设置在,我们一直在谈论的条件。这里有400只兔子和大约300只兔子和狐狸200的临界点100只狐狸。下面是6.5一些奇怪的,我们一直在努力与时间。
现在,它说,无论是拖点。你可以更改初始条件或临界点。如果我把初始条件接近临界点,那么相平面情节变得接近椭圆形。和周期变得接近二皮。
这是6.28,这是两次3.14。但是,如果我改变它,这两者是远离对方,那么相平面情节变成从椭圆大不相同。它总是周期性的。这是对这些非线性方程一个了不起的事情。
他们总是有周期性的解决方案。但是,现在你可以看到,该周期比二皮更大。而解决方案是从正金宝搏官方网站弦曲线很远。所以这是预解码猎物的应用程序,也可提供从NCM下MathWorks的网站,数值计算与MATLAB程序。
哎呦,我认错。如果谷歌Moler predprey,它试图说服我放弃它,但话,就说明它在我的第二本书,用MATLAB实验。有两本书。数值计算与MATLAB和实验与MATLAB。
和预解码猎物是第二个,用MATLAB实验。你可以去网站上,你可以从EXM下载所有的程序,或者你可以在这里下去,这里的预计值的猎物。因此,它是在MathWorks公司的网站上与MATLAB实验。只是谷歌Moler捕食,你会发现它。