我想通过运行ode45来说明刚度的重要概念，ode45是MATLAB中主要的ODE求解程序，在我们的flame例子中。微分方程是y '等于y²- y³，我要选择一个非常小的初始条件，10的- 6次方。t的最终值是2 / y0，我要提出一个适度的精度要求，10的- 5次方。

现在让我们运行ODE45其默认输出。现在，看到它的taking--它的移动速度很慢这里。它采取很多步骤。所以我在这里take-按下停止按钮。它的工作很辛苦。让我们在和缩放看到它为什么在这里采取这么多措施，非常密集的步骤。

这是刚度。它满足了我们的精度要求。所有这些步骤都在10 ^(- 6)/ 1范围内，但这些步骤非常小。这些步骤是如此之小，以至于图形甚至不能辨别步骤的大小。

这是刚度。这是一个效率问题。这是我们要求的。它满足了精度要求，但它必须采取非常小的步骤。

让我们尝试另一个ODE solver-- ODE23。只需将其更改为23，看看它做什么。它也采取小步出于同样的原因。如果我们在这里放大，我们将看到同样的这种行为。但它采取以达到所需的精度非常小的步骤。

现在，让我介绍一个新的求解器，ode23s。在S刚度。这是设计来解决刚性问题。只听轰的一声，这是不言而喻了，原来的角落，它只需几个步骤来获得最终结果。在那里，它原来的角落非常快。

稍后我们将看到ode23是如何工作的，但是首先让我们来定义刚度。这是一个没有精确数学定义的定性概念。这取决于问题的解决，也取决于求解器和精度的要求。

但它是一个重要的概念。我们说一个问题是僵硬如果解决方案正在寻求非常缓慢，但也有附近的解决方案非常迅速。金宝搏官方网站所以数值方法必须采取小步骤，以获得满意的效果。

常微分方程生硬的方法必须是隐含的。他们必须涉及到包括从向前时间步长向后看的公式。这些方法的原型是向后欧拉法，或隐式欧拉法。

这个公式，它定义了y (n + 1)但没有告诉我们如何计算它。我们要解这个方程，y (n + 1)我不会详细讲我们是怎么做的。它涉及到一些类似于牛顿法的东西——需要知道导数，或者f的导数的近似值。但是这给了你一个概念，你可以期望在严格的方法中得到什么。

我喜欢做一个类比采取加息在我们这里有西南的狭缝型峡谷之一。显式方法，如ODE23和45采取步骤峡谷的墙壁上来回跨越峡谷的两侧，使下峡谷进展非常缓慢。而隐式的方法，如ode15s，向前看顺着峡谷和你想要去，使峡谷的快速进步向前看。

刚性求解器，ode23s，使用隐式的二阶公式和相关联的三阶误差估计。它计算f的偏导数相对于两者是叔和f在每一步骤，所以这是昂贵的。这是在原油误差容限高效率，像图形的精度。它具有相对低的开销。

通过比较的方式，刚性求解器ode15s，可以被配置为使用所述可变顺序数值微分公式，NDF，或相关的向后分化式BDF。无论情况下，它可节省超过前面的步骤功能的几个值。顺序变化之间自动一个和五个，则计算偏导数较不频繁，并没有看到在较高的公差然后23S高效。