求解常微分方程的数值方法的成本是通过计算函数f每步的次数来衡量的。欧拉法每一步求一次f。这里有一个新方法，每一步计算两次。如果f在这一步的开始求值一次，得到斜率s1，然后用s1在区间的中间进行欧拉阶跃，函数在区间的中间求值，得到斜率s2。然后s2被用来做这个步骤。由于显而易见的原因，这被称为中点方法。

这是ode2。它实现了中点方法，每一步对函数求两次值。结构与ode1相同。同样的参数，同样的for循环，但是现在我们在这一步的开始是s1，在这一步的中间是s2，然后这一步实际上是用s2完成的。

下面是一个关于三角函数的例子。Dy / dt等于√(1 - y²)从原点开始，从0到/ 2。现在,因为我称之为一个三角的例子,你可能会——这是一个可分离变量方程进行积分,或者你可以猜测,猜测答案是正弦t。因为正弦t是余弦函数的导数(t)和的平方根1 - y的平方。

我们来设置一下。F是匿名函数1 - y²的平方根。T0是0。h = / 32。tfinal等于/ 2。y0 = 0。这是我对ode2的调用，有这五个参数，它会产生这个输出。

现在我想把它画出来。让我们让t同意它。这是一个列向量t的值，我们来画一下。在情节上做一些注解。这是我们的阴谋。这是sint的图像，由ode2生成的点。

现在我忍不住要去看这些答案。这应该是sint的值，它应该在/ 2处等于1。我们有0.997。这让你大致了解我们从这个粗糙的数值方法中得到了怎样的精度。

让我们看一下中点方法的动画。微分方程是y ' = 2y，从t0 = 0开始，步长为1，一直到3，从y0 = 10开始，用ode2。这是动画。这是t0和y0。求函数在y处的值。2乘以y0等于20，在这个斜率的区间上移动一半，得到20。求这个函数的值，斜率是40，所以我们用斜率40在区间内做一步直到50。

这是第一步。现在我们将重设绘图窗口。这里是50。求这个函数的值。斜率是100，步长是这个斜率的一半，到这个区间的中间，计算这个函数。斜率是200，所以我们用斜率200做一步，得到250。这是第二步。重设绘图窗口。求这个函数的值。斜率是500。 Take that step halfway across the interval, evaluate the slope there. The slope is 1,000, so we take a step with slope of 1,000 to get up to 1,250 as our final value.

因为这是y的一个快速增长的函数，所以我们用中点法得到的值远远大于用欧拉法得到的值。

这是一个锻炼。修改ode2，创建ode2t，实现相应的梯形方法。在区间开始时求函数值，得到s1。用s1表示整个区间。对区间右端点处的函数求值，得到s2。然后，用s1和s2的平均值。这就是梯形法。