到目前为止，我们已经研究了一阶结构的渐近行为，比如纯积分器或单极和零。一旦你开始使用典型的动态系统，很可能你将不得不处理高阶多项式表达式。处理这些问题的技巧是记住任何多项式，不管阶数是多少，都可以分解成一阶结构它们对应于实根，以及一阶结构它们对应于复数共轭根。
二阶系统的典型例子是质量弹簧阻尼器和RLC电路。这两者，取决于阻尼与质量或电阻与电感的比值，会有一对复共轭根。一般来说，任何复共轭极点对都可以写成这样的标准二阶传递函数形式，其中w_n称为固有频率，zeta称为阻尼比。
注意，对于我们的几个例子，对于基本机械系统，固有频率等于k/m的平方根对于基本电气系统，固有频率等于1/LC的平方根。不管怎样，如果我们计算这个二次多项式的根用标准公式- b加上-根号，我们发现复数共轭根会是这样的形式。请注意，只要阻尼比zeta小于1，这些根将只是一个复共轭对。任何大于1的数，两个根都将变成实数，这意味着系统将表现为两个一阶极点的乘积。
正如我们之前计算频率响应时所做的那样，我们将传递函数中的s替换为jw。为了做渐近逼近，我们要看看w_n前后的趋势。当频率w远小于固有频率时，+1将主导分母。所以大小和相位都近似为0。当频率w与固有频率匹配时，二阶项变为-1并与+1抵消，中间项成为一个纯虚常数，其大小为1/(2*zeta)，相位为-90度，因为j在分母上，所以G落在负虚轴上。
最后，当频率w远大于固有频率时，二次项将占主导地位。当取对数时，平方将出来并乘以20，因此震级将逐渐接近一条斜率为-40 db / decade的直线。相位会变成-180度因为G会落在负实轴上。
注意，实际谐振峰落在w_n的左边一点，因为如果你看两极的虚部，频率分量是w_n乘以根号(1-zeta)^2。这个调整后的值就是所谓的阻尼固有频率。只有当阻尼比zeta接近0时，阻尼固有频率才会接近w_n。注意，在这种情况下，共振峰的大小会趋于无穷。
阻尼比值越小，谐振峰值越高，相位偏移越明显。你可以看到，当我们增加，共振峰的大小减小，相变变得更平滑。这里我想强调的是阻尼比为0.707((2)^1/2)/2，这通常被称为临界阻尼。这个阻尼使得在固有频率上的震级为-3 db。还要注意，当zeta等于1时，极点的虚部趋于0，我们的二阶系统变成了位于w_n的两个单实极点的乘积。
在这一点上，让我回到我们的交互设计工具，因为还有一些我想强调的东西。首先，让我引入一对复共轭极，我将它们放置在接近10弧度/秒的位置。我来确认一下，我把固有频率设置为10。
我注意到，因为我从阻尼比为1开始，所以我的多项式是两个实根的乘积。只要我把阻尼改变为小于1的任何值，比如说0.5，根就变成了一对复共轭值。注意，对于这种特殊情况，固有频率等于1/(2*zeta)的幅度值变为1/1，单位为0 db，因此交叉将发生在固有频率上。
如果我选择一个较小的阻尼比，你将看到一个更尖锐和更高的幅度峰值。在这个例子中，我选择了0.05，这意味着1/(2*zeta)等于10。Log 10等于1，乘以20等于20db。如果我改变固有频率，我所做的就是改变峰值的位置。
现在，如果我想增加或减少增益因为对数的性质，我们只是把这两种结构的影响叠加在一个图上。在这种情况下，增益为10的低值为1，乘以20是20分贝。所发生的就是整个星等轨迹向上平移了20。注意，阶段完全不会受到影响。
现在加一个0，大约10弧度/秒。我要确保0正好是10弧度。现在发生的是- 40db的斜率在0上平移了+ 20db / 10。相从-180度上升到-90度。类似地，如果我增加一根杆子，假设以100弧度/秒的速度——同样，我要确保它确实是在100弧度/秒——现在每十年的- 40db在0处变成了-20，然后在新的杆子之后又回到-40。所以，利用这个叠加的概念，我可以很容易地构造任何我感兴趣的传递函数。我所需要做的就是将传递函数分解或分解成更小的结构，然后图形化地将所有这些轨迹加在一起。
理解这个简单的概念可能是相当强大的，因为它允许我们通过观察波德图中的幅度和相位迹线，就能很好地了解系统的主要动力学。
