的Graeffe Root-Squaring方法计算的零多项式

发布的克里夫硅藻土,2016年7月11日

22日(30天)|的看法0喜欢|1评论

在一个minisymposium纪念查理Van贷款在本周暹罗年会,我将描述一些可疑的方法计算多项式的0。方法之一是Graeffe Root-squaring方法中,我将演示使用我最喜欢的立方,$ x ^ 3-2x-5美元。

内容

该方法

今天被称为Graeffe Root-Squaring方法由Dandelin独立发现,Lobacevskii, Graeffe并在1826年,1834年和1837年。1959年的一篇文章由阿尔斯通户主下方伸直历史的引用。

这个想法是为了操纵一个多项式的系数产生第二个多项式的根的方块的根源。如果原来有一个占主导地位的真正的根,它将变得更加主要。迭代过程时你最终达到占主导地位的根可以读出为前两个系数的比值。剩下的工作就是一个撤销迭代的开方。

Graffe.m

这是一个优雅的代码产生一个立方的根源的根源的广场是一个给定的立方。

类型graeffe

函数b = graeffe () % = (1) * x ^ 3 +……+(4)是一个立方。% b = graffe (a)是一个立方的根源的根源的广场是a, b = [(1) ^ 2——(2) ^ 2 + 2 * (1) * (3) (3) ^ 2 - 2 * (2) * (4) - (4) ^ 2];

一个历史性的立方

我讨论了我最喜欢的立方,美元z ^ 3-2z-5美元,在一系列的文章开头一个历史性的立方去年12月21日。

等高线图的大小这三次在一个正方形平面上显示了占主导地位的真正根源约$ x = 2.09美元一对共轭复数根和较小的大小大约z | | = 1.55美元。

图形

基本的迭代

重复应用转换的方形系数。所以问题是溢出。当我第一次运行该Burroughs B205年前作为一个学生,我有一个有限的浮点指数范围和溢出是一个严重的约束。今天与IEEE双打我们更好一点。

一个例子

这是一个运行在我的立方。我只是展示几个多项式系数的有效数字,因为最重要的是他们的指数。

一个= [1 0 2 5];k = 0;f =' % 5.0 f % 4.0 f % 5.0 f % 8.3 e % 8.3 e % 8.3 e % 20.15 f \ n”;流(f, k, 1,正);而(isfinite (a)) k = k + 1;= graeffe ();n = 2 ^ k;r = (((2)) ^ (1 / n);流(f, k, n, r)结束

0 1 1 0.000 -5.000 -2.000 e + e + 00 00 e + 00正1 2 1 -4.000 -2.500 4.000 e + e + 00 00 e + 01 2.000000000000000 2 4 1 -8.000 -1.840 e + e + 00 02 -6.250 e + 02 1.681792830507429 3 8 1 -4.320 -3.906 2.386 e + e + 02年04 e + 05年4 16 1 -1.389 2.135184796196703 2.316 e + e + 05年08年-1.526 e + 11 2.096144583759898 5 32 1 -1.883 e + 10 1.125 e + 16 -2.328 e + 22 2.094553557477412 6 64 1 -3.547 e + 20 -7.504 e + 32 -5.421 e + 44 2.094551481347086 7 128 1 -1.258 -2.939 e + e e + 1.786 + 41 65 89 2.094551481542327 8 256 82 -4.203 -1.582 e + e e + -8.636 + 130 178 2.094551481542327 9 512 164 -9.665 -2.504 e + e + 260负2.094551481542327

七个步骤后我们计算的主要根双精度的准确性,但需要第八步确认。我们九个步骤之后的指数范围。