我们将在ICIAM2019，7月15日至19日在西班牙巴伦西亚举行的国际工业和应用数学大会。这是我演讲的提纲。

目录

为什么“波西米亚”

“波西米亚矩阵”这个有趣的名字是西安大略大学的罗布·科利斯和史蒂文·桑顿的责任。引用该网站．

当这个项目在它的早期阶段，我们的重点是有界高度的随机整数矩阵。我们最初使用短语“有界高度整数矩阵特征值”来指代我们的工作。这就产生了首字母缩写“BHIME”，与“波西米亚人”相差不远。

MATLAB画廊

这个画廊是一个有趣的矩阵集合，由Nick Higham在MATLAB中维护。他们中的许多人都是波西米亚人，或者波西米亚的追随者。该集合的目录可用

帮助gallery_

画廊高级测试矩阵。[OUT1，OUT2，...] = GALLERY（MATNAME，PARAM1，PARAM2，...）拍摄MATNAME，一个字符串是矩阵系列的名称，以及家庭的输入参数。有关可用矩阵系列，请参阅下面的列表。大多数函数都采用一个输入参数，指定矩阵的顺序，除非另有说明，否则返回一个输出。有关其他信息，请键入“帮助私有/ matname”，其中MATName是矩阵系列的名称。二项式二项式矩阵 - 兼容性矩阵的倍数。Cauchy Cauchy矩阵。Chebspec Chebyshev光谱分子矩阵。Chebyshev多项式的Chebvand Vandermonde矩阵。咸麦矩阵 - 一个单数托普茨下赫森伯格矩阵。 circul Circulant matrix. clement Clement matrix -- tridiagonal with zero diagonal entries. compar Comparison matrices. condex Counter-examples to matrix condition number estimators. cycol Matrix whose columns repeat cyclically. dorr Dorr matrix -- diagonally dominant, ill-conditioned, tridiagonal. (One or three output arguments, sparse) dramadah Matrix of ones and zeroes whose inverse has large integer entries. fiedler Fiedler matrix -- symmetric. forsythe Forsythe matrix -- a perturbed Jordan block. frank Frank matrix -- ill-conditioned eigenvalues. gcdmat GCD matrix. gearmat Gear matrix. grcar Grcar matrix -- a Toeplitz matrix with sensitive eigenvalues. hanowa Matrix whose eigenvalues lie on a vertical line in the complex plane. house Householder matrix. (Three output arguments) integerdata Array of arbitrary data from uniform distribution on specified range of integers invhess Inverse of an upper Hessenberg matrix. invol Involutory matrix. ipjfact Hankel matrix with factorial elements. (Two output arguments) jordbloc Jordan block matrix. kahan Kahan matrix -- upper trapezoidal. kms Kac-Murdock-Szego Toeplitz matrix. krylov Krylov matrix. lauchli Lauchli matrix -- rectangular. lehmer Lehmer matrix -- symmetric positive definite. leslie Leslie matrix. lesp Tridiagonal matrix with real, sensitive eigenvalues. lotkin Lotkin matrix. minij Symmetric positive definite matrix MIN(i,j). moler Moler matrix -- symmetric positive definite. neumann Singular matrix from the discrete Neumann problem (sparse). normaldata Array of arbitrary data from standard normal distribution orthog Orthogonal and nearly orthogonal matrices. parter Parter matrix -- a Toeplitz matrix with singular values near PI. pei Pei matrix. poisson Block tridiagonal matrix from Poisson's equation (sparse). prolate Prolate matrix -- symmetric, ill-conditioned Toeplitz matrix. qmult Pre-multiply matrix by random orthogonal matrix. randcolu Random matrix with normalized cols and specified singular values. randcorr Random correlation matrix with specified eigenvalues. randhess Random, orthogonal upper Hessenberg matrix. randjorth Random J-orthogonal (hyperbolic, pseudo-orthogonal) matrix. rando Random matrix with elements -1, 0 or 1. randsvd Random matrix with pre-assigned singular values and specified bandwidth. redheff Matrix of 0s and 1s of Redheffer. riemann Matrix associated with the Riemann hypothesis. ris Ris matrix -- a symmetric Hankel matrix. sampling Nonsymmetric matrix with integer, ill conditioned eigenvalues. smoke Smoke matrix -- complex, with a "smoke ring" pseudospectrum. toeppd Symmetric positive definite Toeplitz matrix. toeppen Pentadiagonal Toeplitz matrix (sparse). tridiag Tridiagonal matrix (sparse). triw Upper triangular matrix discussed by Wilkinson and others. uniformdata Array of arbitrary data from standard uniform distribution wathen Wathen matrix -- a finite element matrix (sparse, random entries). wilk Various specific matrices devised/discussed by Wilkinson. (Two output arguments) GALLERY(3) is a badly conditioned 3-by-3 matrix. GALLERY(5) is an interesting eigenvalue problem. Try to find its EXACT eigenvalues and eigenvectors. See also MAGIC, HILB, INVHILB, HADAMARD, PASCAL, ROSSER, VANDER, WILKINSON.

的矩阵另见在此之前画廊介绍了。我认为它们是画廊的一部分。

gallery5

画廊里我最喜欢的矩阵是

G =画廊(5)

G = -9 11 -21 63 -252 70 -69 141-421 1684-575 575 -1149 3451 -13801 3891 -3891 7782 -23345 93365 1024 -193365 1024 -1024 2048 -6144 24572

让我们计算其特征值。

格式长Eeig (G)

ans=-3.472940132398842e-02+2.579009841174434e-02i-3.472940132398842e-02-2.579009841174434e-02i 1.377760760018629e-02+4.011025813393478e-02i 1.377760760018629e-02-4.011025813393478e-02i 4.190358744843689e-02+0.000000000000000e+00i

这些有多精确？确切的特征值是什么？

我将给这篇文章的读者和参加我演讲的人一些时间来思考这些问题，把答案推迟到最后。

三轮车

这个三轮车矩阵证明高斯消去法不能可靠地检测近奇点。

数据库类型1：2二等兵/三等兵

1函数T = triw(n, alpha, k, classname) 2 % triw上三角矩阵。

n = 12;t =画廊（“triw”，n）

T = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1

T已经是上三角形了。这是U它自身的lu分解。由于对角线上没有小的枢轴，我们可能会得出这样的结论T条件。然而,让

x = 2 ^ (- (1: n - 1)) ';格式老鼠x（n）=x（n-1）

X = 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024 1/2048 1/2048

这个向量几乎是零向量T．

Tx = T * x

Tx=0 0 0 0 1/2048

1-范数条件数T至少和

规范(x, 1) /规范(Tx, 1)

ans=2048

这就像2 ^ n．

硅藻土

这个硅藻土矩阵证明了对称，正定矩阵的Cholesky分解不能可靠地检测附近的奇点。矩阵可以从画廊获得，

M=画廊(硅藻土的n);

或产生T,

格式短M = T ' * T

M=1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-2-2-2-3-3-3-1-1-2-3-4-4-1-1-2-4-4-5-1-1-1-2-5-6-1-1-1-2-3-6-7-7-1-1-1-2-3-8

当尼克以我的名字命名这个矩阵时，我很惊讶。代码中的注释表明他在我的一个朋友约翰·纳什写的一本30年的书中找到了这个矩阵。

数据库类型9:14私人/蜕皮

J. C. Nash, Compact Numerical Methods for Computers: Linear 13 % Algebra and Function Minimisation，第二版，Adam Hilger, 14% Bristol, 1990 (Appendix 1)。

约翰不记得他什么时候从我这里听说过这个例子，我也不记得我第一次在什么地方遇到它。

我们知道T应该是乔尔斯基分解M但我们还是要确认一下。

断言(isequal(胆固醇(M), T))

我们已经看到，尽管它没有小元素，T是严重的。M必须至少被视为T。事实上，情况更糟。一个好的空向量由

[~，v]=凝结水（M）；

让我们看看v与我们的x．它们几乎是一样的。

格式长[v，x]

ans = 0.500000178813913 0.500000000000000 0.250000089406957 0.250000000000000 0.125000223517391 0.125000000000000 0.062500469386522 0.062500000000000 0.031250949948913 0.031250000000000 0.015626905485761 0.015625000000000 0.007816313765488 0.007812500000000 0.003913878927961 0.003906250000000 0.001968383554413 0.001953125000000 0.0010070799580720.000976562500000 0.000549316340766 0.000488281250000 0.000366210893844 0.000488281250000

的1范数条件M至少和

范数（v，1）/范数（M*v，1）

ans=2.796202989840670E+06

它的增长速度比4 ^ n．

卡亨

但是，等等，你说，使用列旋转。实际上，带列旋转的QR将检测的病态T或M．但是,卡亨矩阵画廊是一个版本的T，重新缩放，使所有列具有几乎相同的范数。甚至专栏轴心也被愚弄了。

格式短K =画廊(“卡亨”，7）

K = 1.0000 -0.3624 -0.3624 -0.3624 -0.3624 -0.3624 -0.3624 0.9320 -0.3377 -0.3377 -0.3377 -0.3377 -0.3377 0 0 0.8687 -0.3148 -0.3148 -0.3148 -0.3148 0 0 0 0 0 0 0 -0.2934 0.8097 -0.2934 -0.2934 0.7546 -0.2734 -0.2734 0.7033 - -0.2549 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6555

伐木工人

我很喜欢这本书罗瑟矩阵．

R =伐木工人

R = 611 196 -192 407 8 -52 -49 29 196 899 113 -192 -71 -43 899 -44 -192 113 196 61 49 8 52 407 -192 196 611 8 44 59 -23 8 -71 61 8 411 -599 208 208 -52 -43 49 44 -599 411 208 208 -49 8 8 59 208 208 99 -911 -44 -23 208 208 -911 99 52

在QR算法成功之前，Rosser矩阵是矩阵特征值例程的一个挑战。今天我们可以用它来展示符号数学工具箱。

R=sym（R）；p=charpoly（R，“x”f = factor(p) e = solve(p)

p=x^8-4040*x^7+5080000*x^6+82518000*x^5-5327676250000*x^4+4287904631000000*x^3-108285212000000000*x^2+106131000000000000*x=x，x-1020，x^2-1040500，x^2-1020*x+100，x-1000，x-1000]e=0110001020510-100*26^（1/2）100*26^（1/2）+10405

合伙人

几年前，当我碰巧计算非对称希尔伯特矩阵的奇异值分解时，我感到非常惊讶。

格式长n=20；[I，J]=ndgrid（1:n）；P=1./（I-J+1/2）；奇异值分解（P）

ans=3.141592653589794 3.141592653589794 3.141592653589794 3.141592653589793.141592653589793.141592653589792 3.141592653589791 3.141592653589776 3.141592653589108 3.141592653567518 3.141592652975738 3.1415926391796063.141592364762733.14158770552930303.141520858851233.1406960743.132285406256733.62567321.170504602453951

这些都在哪里π的从何而来?西摩合作者能够解释这个矩阵和关于方波傅立叶级数系数的经典Szego定理之间的联系。画廊有这个矩阵画廊(“合伙人”,n)．

帕斯卡

我必须包括帕斯卡三角形．

帮助帕斯卡_

帕斯卡帕斯卡矩阵。P = PASCAL(N)是N阶的PASCAL矩阵。P是一个具有整数项的对称正定矩阵，由PASCAL三角形组成。它的逆元素是整数。帕斯卡(N)。^r对于所有非负r是对称正半正定的。P = PASCAL(N,1)是PASCAL矩阵的下三角Cholesky因子(直到列的符号)。P是对合的，也就是说，它是自己的逆。P = PASCAL(N,2)是PASCAL(N,1)的旋转版本，如果N是偶数，则符号翻转。P是单位矩阵的立方根。参考文献:N. J. Higham，数值算法的精确性和稳定性，第二版，工业和应用数学学会，费城，2002，第28.4节。

P =帕斯卡(12,2)

P = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -55 -45 -36 -28 -21 -15 -10 6 3 1 0 0 165 120 84 56 35 20 10 4 1 0 0 0 -330 -210 -126 -70 -35 -15 5 1 0 0 0 0 462 252 126 56 21 6 1 0 0 0 0 0 -462 -210 -84 -28 330 1 0 0 0 0 0 0 120 36 8 1 0 0 0 0 0 0 0 -165 -45 9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 55 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -11 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

有了这个符号模式和二项式系数的排列，P是标识的立方根。

我= p * p * p

I = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

grcar

乔·格卡将给我们一幅有趣的图画。

数据库类型7:10私人/ grcar

J. F. Grcar，线性方程的算子系数法，9% SAND89-8691报告，桑迪亚国家实验室，阿尔伯克基，10%新墨西哥州，1989(附录2)。

n=12；Z=画廊(“grcar”，n）

Z = 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

n = 100;z =画廊（“grcar”，n）；e=eig（Z）；图（e），“o”)

gallery5

你计算出确切的特征值了吗画廊(5)了吗?记住，这个矩阵是

G

G = -9 11 -21 63 -252 70 -69 141-421 1684-575 575 -1149 3451 -13801 3891 -3891 7782 -23345 93365 1024 -193365 1024 -1024 2048 -6144 24572

MATLAB说特征值是

e = eig (G)

e=-0.034729401323988+0.0257900098411744I-0.034729401323988-0.0257990098411744I 0.0137777600186+0.0401101258133935I 0.0137777600186-0.04011010258133935I 0.041903587448437+0.000000000000000i

但是，看看它的力量G. 自从G具有整数项（它是波希米亚式的），其项可以不使用舍入进行计算

G ^ 4

ans=0 0-84 168-420 1344-5355 568-1136 2840-9088 36210-3892 7784-19460 62272-248115-1024 2048-5120 16384-65280

第五次方是

G ^ 5

Ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

都是零。

这个Cayley-Hamilton定理告诉我们特征多项式一定是

x ^ 5

该多项式的唯一根特征值为零，代数重数为5。

MATLAB有效地解决了这一问题

x ^ 5=舍入

因此，计算的特征值来自

x=（四舍五入）^（1/5）

很难将它们识别为零的扰动。

获取MATLAB代码

发布与MATLAB®R2018b