欧拉公式和三角恒等式

发布的史蒂夫·埃丁,2014年10月8日

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我可怕的死记硬背。

我想到最近当我碰巧看到一个情节(我认为这是一个文档的例子),sinθ(\)美元相比,cosθ(\)美元,美元sinθ(\)cosθ(\)美元。

θ= linspace(0, 6 *π,500);情节(θ,sin(θ))在情节(θ,cos(θ))情节(θ,罪(θ)。* cos(θ))从传奇({“sinθ(\)”,“cosθ(\)”,“sinθ(\)cosθ(\)'})

嗯,我想。我想美元sinθ(\)cosθ(\)美元只是一个正弦信号与两倍的频率和幅度的一半。

这怎么与记忆有关,你可能会问?嗯,我总是很难记住三角恒等式在高中和大学。但是,正如一个电气工程的学生,我有以下公式刻在我的脑细胞。

$ $ e ^ {j \θ}= cosθ(\)+ j sinθ(\)$ $

(注意,我在电气工程使用的传统感到自豪j而不是我虚数单位。因为我显然代表电流。)

这被称为欧拉公式,在电气工程到处使用。当时我不知道,理查德·费曼称之为“最杰出的数学公式。”

这里有几个密切相关的公式:

$ $ cosθ(\)= \压裂{1}{2}(e ^ {j \θ}+ e ^ {- j \θ})$ $

$ $ sinθ(\)= \压裂{1}{2 j} (e ^ {j \θ}- e ^ {- j \θ})$ $

在我本科的时候,我意识到我可以获得许多常见的直接从这些公式三角恒等式。的是美元sinθ(\)cosθ(\)美元:

$ $ sinθ(\)cosθ(\)= \压裂{1}{2 j} (e ^ {j \θ}- e ^ {- j \θ})\压裂{1}{2}(e ^ {j \θ}+ e ^ {- j \θ})$ $

$ $ sinθ(\)cosθ(\)= \压裂{1}{4 j} (e ^ {j2 \θ}- e ^ {j2 \θ}+ 1 - 1)$ $

$ $ sinθ(\)cosθ(\)= \压裂{1}{2}\压裂{1}{2 j} (e ^ {j2 \θ}- e ^ {j2 \θ})$ $

$ $ sinθ(\)cosθ(\)= \压裂{1}{2}罪(2 \θ)$ $

您看!像魔法一样。

我曾经认为我一定是种奇怪的喜欢这种操纵的欧拉公式简单地记住三角恒等式。但是今天写这个博客的时候,我注意到维基百科文章欧拉公式描述了这一概念。“复指数可以简化三角法,因为他们比正弦组件更容易操纵。”

好的!

PS。在我的阴谋上面创建代码,我利用了MATLAB R2014b图形细微改进,客户一直要求多年。你能发现吗?

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