从系列中:在MATLAB中求解ode
克里夫硅藻土,MathWorks
将一个有三条不同长度边的长方形物体(如麦片盒)抛向空中。可以使长方体围绕其最长轴或最短轴稳定翻滚。但如果你试着让它绕着中轴旋转,你会发现运动是不稳定的。角动量模型是一个由三个微分方程组成的非线性系统。有六个临界点:长轴和短轴对应的四个临界点是稳定的;与中轴相对应的两个轴不稳定。
这是一个翻滚的盒子角动量的微分方程。试着把一本书、一个盒子或任何三维空间不同的直线物体扔到空中,扭动一下,翻滚一下。
你可以绕最长轴旋转,或者绕最短轴旋转。但是你不能绕中轴旋转。让我们用数字来检验这个现象。
这是一个匿名函数,它定义了由三个一阶微分方程组成的系统。现在我将从一个接近第一个临界点的初始条件开始。1,0,0是一个临界点。我将取一个随机数的0.2倍,在临界点附近排序,然后将其归一化,使其长度为1。
所以最大的分量是第一个分量。另外两个很小,但也不是太小。这在数值上是一个简单的问题。这里不涉及硬度。我将使用ODE 23,从0到10积分,这是解。
蓝色分量是第一个,它保持在1附近。另外两个是周期性的,围绕0旋转。让我们回到过去,再看一个开始条件。又来了。
另外两个部分非常小。当我们对它积分时,蓝色的分量保持在1附近。另外两个人几乎一动不动。
现在我要转到第三个临界点,0,0,1。做同样的事情。在附近取一个随机数。使用ODE 23。现在黄色分量保持在一个附近。另外两个周期性地在0附近移动。
运行一遍。第三个分量接近1。另外两个也不太大。并运行ODE 23。另一个分量保持在1附近。另外两个在0附近周期性地旋转。
现在我们要到中间临界点。我们试着让盒子绕中轴旋转。第二个分量在1附近。现在我们看到了完全不同的行为。
这个sienna组件不在1附近。它在-1附近下降,然后又上升。让我们在更长的时间内进行积分,这样我们就可以看到这种行为。
所以它是周期性的。但它下降到-1,然后又回到1。另外两个在0附近以较大的振幅移动。这就是中间临界值的不稳定性。
让我们再来一次。同样的事情。1降到-1,然后返回。它是周期性的。这些解都是周期性的。但这一中间临界点并不稳定。现在,我想以一种不同的方式,以图形的方式来看待这金宝搏官方网站些问题。
微分方程有三个临界点。任何在这金宝搏官方网站些初始条件下开始的解都保持不变。但是如果在初始条件附近开始会发生什么呢?
事实证明,x和z是稳定的临界点。但y是不稳定的临界点。如果角动量在x附近或z附近,它会保持在附近。但是如果它在y附近开始,它会迅速移动。
你可以把x看做短轴,z是长轴。近短轴的旋转是稳定的。和旋转附近的长轴稳定。但是靠近中轴的旋转是不稳定的。
我们可以从下面的图表中看到。结果是,如果一个解的初始条件是范数1,它就会保持范数1。所以解在单位球面上。
这是我们的单位份额和我们的三个关键点,x,y和z。如果这是地球,z就是北极。第0子午线穿过赤道的轴。那是在东大西洋,离西非不远。y是第90子午线穿过赤道的位置。那是在印度洋,苏门答腊岛以西。
如果我们从x附近的初始条件开始,解绕x旋转,这是绕短轴的稳定旋转。如果我们从z附近的初始条件开始,解绕z旋转,这是绕长轴的稳定旋转。
但如果我们从y附近开始,解出发,到-y附近,转回来,回到y,周期性的,但在全球范围内没有变化。这实际上是一个圆,绕x的轨道。
如果上升到y上方一点,我们有一个绕z的轨道,下降到y下方一点,我们有一个绕-z的轨道。在y的右边,我们得到一个绕-x的轨道。
让我们放大一点。我们可以看到y是一个经典的不稳定临界点。让我们画几个轨道作为结束。
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