评估一家公司的真实市场价值对金融专业人士和技术分析师来说是一个挑战。英格兰银行的研究人员调查了这个问题，以了解一家公司的真实价值是如何受到高市场波动时期的影响的。
一个公司的资产受到诸如利润流和风险暴露等不确定性的影响。同样，违约风险是由相对于承诺的债务支付的不确定的未来资产价值驱动的。市场价值通常是用布莱克-斯科尔斯/默顿等数学模型估计的，这些模型是基于关于公司的免费但有限的信息，如市值、公布的债务面值和无风险利率。
金融危机在这些方法中揭示了缺点。一种缺点是这种模型无法包括相对罕见但极端的运动，或者跳跃，在观察到的时间序列中。虽然跳跃通常只是偶尔观察到的，但在金融危机或其他市场不确定时期，它们经常发生。例如，图1中显示2007年上半年英国一家主要银行的市值的曲线图显示了不同幅度的几次跳跃（向上和向下）.
图1. 2007年H1，2007年主要英国银行的市场资本化。
评估跳跃对市场价值影响的一种方法是使用跳跃扩散模型。这是两个随机过程的组合，一个用于模拟一个系列的通常行为，另一个是模拟随机发生的跳跃的存在。本文介绍了MATLAB的工作流程®，统计及机器学习工具箱™, 信号处理工具箱™ 从可自由获得的市场数据开始，用以估计企业隐性市场价值跳跃-扩散模型的参数。由此产生的模型可用于推导其他利息序列，如违约概率和信用利差。
创建跳跃扩散模型
跳跃扩散模型基于标准几何布朗运动（GBM）扩散模型。GBM模型有两个参数：漂移(平均趋势)和扩散（波动率）的过程。这些参数可用于模拟用于给定价格系列的连续复合（日志）的分布返回\（r_ {t} \）\（p_ {t}）：
\ [r_t = {\ text {log}} \ frac {p_ {t +Δt}} {p_t} \ sim n \ biggl（左（μ - \ frac {σ^ 2} {2}右）Δt，σ^2Δt\ biggr），\]
其中\（Δt\）是时间递增，\（μ\）是Drift参数，\（σ\）是扩散参数。该模型假定日志返回通常以平均值分布（（μ - Σ^ 2 \超过2}）Δt\）和方差\（σ^2Δt\）。
我们的跳跃扩散模型通过引入随机跳跃来扩展GBM模型。跳跃\（J{k}\）是一系列i.i.d.对数正态随机变量：\（\text{log}J{k}\sim N（μu J，σu J^2）。跳跃的到达由泊松过程\（N{t}\）和速率\（λ\）来建模。时间序列模型的结果动力学为：
\ [r_t = {\ text {log}} \ frac {p_t} {p_0} = left（μ - \ frac {σ^ 2} {2} \右）t +Σw_t+ \ sum_ {k = 0} ^{n_t} \ \ text {log} j_k，\]
其中\（W{t}\）是一个维纳过程。为了对模型进行数值估计，我们在时间间隔\（[t，t+∆t] \）。我们假设时间增量\(∆t\）是指在\（[t，t+∆t] \）可以忽略不计。
与所有数学上复杂的模型一样，跳跃-扩散模型也面临着一些计算挑战，例如，要实现收敛，需要仔细分析优化过程。使用MATLAB，我们可以用最少的编码直观地表达方程；稳健地估计模型参数；跟踪t他对程序进行了优化。
模型参数估计
有五个模型参数估计：
- \（μ\） - GBM组件的漂移参数
- \（σ\） - GBM组件的扩散参数
- \（λ\）-泊松过程中跳跃的到达率
- \（μ_j\） - 跳转尺寸的Lognormal Location参数
- \（σ_j\）-跳跃大小的对数正态标度参数
我们可以直接从可用的时间序列数据估计最后三个参数（假设公司的基础市值表现出与可观察市值相似的特征）。我们可以使用找到挑选信号处理工具箱中的功能自动识别发生突然发生变化的系列中的点（图2）。在金融时间序列中，我们希望当串联的平均值或标准偏差显着变化时会发生结构性变化。在研究金融危机期或高波动的其他时期时，标准偏差变化的点尤为重要。
图2.平均值突变所示的变化点。
估计基于Black-Scholes / Merton模型，其中\（μ\）是\（Σ\）的函数。要做出优化，我们使用最大似然误差统计和机器学习工具箱中的函数，用于执行最大似然估计，指定负对数似然函数和参数约束作为输入。似然函数的值最终由单个未知参数\（σ\）确定.由于市场价值是不可观测的，我们通过将跳跃扩散模型拟合到观测到的市值序列并生成市场价值序列的初始估计值来开始估计过程。使用该初始估计值，我们迭代应用该过程，直到参数值稳定。
在隐含市场价值和债务模型中，一个公司的价值被分为资产和资产。资产归股权持有者所有，资产归债权人所有。当债务到期时，如果资产足以偿还债务，那么超额的价值将归股权持有人所有。否则，股权持有人将一无所获。
债务的价值相当于无风险的债务持有加上资产价值的简短申请：如果资产超过偿还责任，则债务持有人获得债务的全部价值。如果资产不足以偿还负债，那么债务人员收到资产的全部价值。在债务可能无法全额偿还的情况下，它被视为风险。债务持有人以信贷的形式收到备选方案溢价，以至于持有风险债务的无风险利益率。
资产价值满足涉及市场资本化的隐含方程，以及危险债务的价值，反过来，这反过来是资产价值和其他变量的函数，例如无风险利率。在最大似然估计过程中，我们使用该方法解决了资产值的隐式方程一元函数零点在matlab中的功能。收敛后，我们在候选解决方案点的邻域中绘制负值对数函数，以验证局部最小点是否已识别最大似然误差（图3）。
图3.解决方案点周围小邻域的对数似然曲线。
推断市场价值
拟合模型后，我们可以使用它来推断资产的潜在市场价值和相关数量，如资产的隐含看跌期权价值和资产的杠杆率。图4显示了这些时间序列。正如预期的那样，我们看到看跌期权的价值随着市值和推断的市场价值而迅速增加资产价值下降。衡量价值负债比率的杠杆率也随着资产价值下降而增加。
图4.从跳跃扩散模型推断出的资产数量。
开发并实现了估算跳转模型参数的过程，我们可以使用Matlab Live编辑器与同事共享作为实时脚本的结果。该过程可以应用于代表不同资产和资产类别的各种时间序列。潜在应用的范围广泛，因为许多不同的金融系列在危机期间和高市场不确定性期间跳跃。
