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柔性梁的振动控制

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这个例子展示了如何调整控制器来减少柔性梁的振动。

柔性梁模型

图1描述了柔性梁的主动振动控制系统。

图1柔性梁的主动控制

在该设置中，递送力的执行器$ U $并配置了速度传感器。我们可以根据控制输入建立传递函数的模型$ U $的速度$ y $使用有限元分析。只保留前六种模式，我们获得了表格的植物模型

$$ g（s）= \ sum_ {i = 1} ^ 6 \ frac {\ alpha_i ^ 2 s} {s ^ 2 + 2 \ xi w_i s + w_i ^ 2} $$

具有以下参数值。

％ 参数xi = 0.05;alpha = [0.09877，-0.309，-0.891,0.5878,0.7071，-0.8091];W = [1,4,9,16,25,36];

所得到的梁模型$ g（s）$是由

%梁模型G = tf((1)^2*[1,0]，[1,2 *xi*w(1)， w(1)^2]) +．..f(2)^2*[1,0]，[1,2 *w(2)， w(2)^2]) +．..TF（alpha（3）^ 2 * [1,0]，[1,2 * xi * w（3），w（3）^ 2]）+．..f(4)^2*[1,0]，[1,2 *xi*w(4)， w(4)^2]) +．..f(5)^2*[1,0]，[1,2 *xi*w(5)， w(5)^2]) +．..特遣部队(α(6)^ 2 *(1,0),(1、2 * 11 * w (6), w (6) ^ 2]);G.InputName =uG的；g.outputname =“y”；

通过该传感器/执行器配置，光束是无源系统：

ispassive（g）
ans =逻辑1

这是通过观察奈奎斯特情节来证实$ g $是正的真实。

尼奎斯特(G)

LQG控制器

LQG控制是用于主动振动控制的天然配方。LQG控制设置如图2所示。信号$ d $和n美元分别是过程噪声和测量噪声。

图2:LQG控制结构

第一次使用LQG.计算目标的最优LQG控制器

$ $ J = \ lim_ E {T \ rightarrow \ infty} \离开(\ int_0 ^ T (y ^ 2 (T) + 0.001 & # xA; u ^ 2 (T) dt \右)$ $

噪声方差:

$$ E(d^2(t)) = 1，\quad E(n^2(t)) = 0.01。＄＄

[a, b, c, d] = ssdata (G);M = [c d; 0 (1,12) 1];% [y;u] = M * [x;u]QWV = blkdiag (b * b ', 1依照);QXU = M'*diag([1 1e-3])*M;CLQG = lqg (ss (G)、QXU QWV);

LQG-optimal控制器CLQG有12个状态和几个零位，很复杂。

大小(CLQG)
具有1个输出、1个输入和12个状态的状态空间模型。
波德(G, CLQG{1飞行,1 e3}),网格,传说(‘G’，“CLQG”）

使用通用调谐器systune尝试简化此控制器。和systune，您不仅限于全订单控制器，而且可以调优任何订单的控制器。例如，让我们调优一个二阶状态空间控制器。

c = ltiblock.ss（“C”、2、1、1);

构建图2中的框图的闭环模型。

C.InputName =“yn”；c.outputname =.“u”；S1 = sumblk ('yn = y + n'）;S2 = sumblk ('ug = u + d'）;CL0 =连接(G、C、S1, S2, {' d '，'n'}，{“y”，“u”}，{“yn”，“u”}）;

使用LQG标准$ J $以上作为唯一的调整目标。LQG调整目标允许您直接指定性能权重和噪声CoviRece。

R1 = TuningGoal。LQG ({' d '，'n'}，{“y”，“u”}，诊断（[1,1e-2]），诊断（[1 1e-3]））;

现在调整控制器C最小化LQG目标$ J $．

[Cl1，J1] = SYSTUNE（CL0，R1）;
最终:软= 0.478，硬= -Inf，迭代= 39

优化器发现了一个2nd阶控制器$ j = 0.478 $．与最佳相比$ J $价值CLQG：

[〜，Jopt] = evalGoal（R1，reployBlock（CL0，“C”, CLQG))
Jopt = 0.4673

性能下降小于5%，控制器复杂度从12个状态降低到2个状态。进一步比较脉冲响应$ d $来$ y $对于两个控制器。这两种反应几乎完全相同。因此，可以通过一个简单的二阶控制器获得接近最优的振动衰减。

t0 =反馈（g，clqg，+ 1）;t1 = getiotransfer（cl1，' d '，“y”）;冲动(T0, T1, 5)标题(“对脉冲干扰d的响应”)传说(“LQG最优”，“二阶LQG”）

被动LQG控制器

我们使用梁的近似模型来设计这两个控制器。先验，无法保证这些控制器在真实波束上表现良好。然而，我们知道光束是一种被动物理系统，并且被动系统的负反馈互连总是稳定的。因此，如果$ -c $是被动的，我们可以相信闭环系统是稳定的。

最优LQG控制器不是无源的。事实上，它的相对被动指数是无限的，因为1-CLQG美元甚至不是最小的阶段。

getPassiveIndex（-CLQG）
ans =正

这是由其奈奎斯特图确认的。

尼奎斯特(-CLQG)

使用systune，您可以通过附加要求重新调整二阶控制器$ -c $应该是被动的。为此，为开循环传输功能创建一个被动调整目标yn来u(这是$ c（s）$）。使用“加权证据”目标来解释负符号。

R2 = TuningGoal.weightedPassivity（{“yn”}，{“u”}， -  1,1）;r2.openings =.“u”；

现在重新调整闭环模型CL1最小化LQG目标$ J $受$ -c $是被动的。注意被动目标R2现在被指定为一个硬约束。

(这有点难度,J2, g) = systune (CL1、R1、R2);
最终:软= 0.478，硬= 1，迭代= 51

调谐器达到同样的效果$ J $value as以前，同时执行被动的（硬约束小于1）。验证$ -c $是被动的。

c2 = getblockValue（cl2，“C”）;passiveplot（-c2）

对lqg最优控制器的改进在Nyquist图中是最明显的。

尼奎斯特(-CLQG c2)传说(“LQG最优”，“二阶无源LQG”）

最后，比较脉冲响应$ d $来$ y $．

T2 = getIOTransfer(这有点难度,' d '，“y”）;冲动(T0, T2, 5)标题(“对脉冲干扰d的响应”)传说(“LQG最优”，“二阶无源LQG”）

使用systune，您设计了一个具有近最佳LQG性能的二阶无源控制器。

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