主要内容

发现多元函数的极值及其近似

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这个例子展示了如何找到一个多元函数的极值及其近似极值点附近。这个示例使用符号矩阵变量代表多元函数及其衍生物。可从R2021a符号矩阵变量。

考虑到多元函数 f ( x ) = 罪 ( x T 一个 x ) ,在那里 x 是一个2×1向量和 一个 是一个2×2矩阵。找到这个函数的局部极值,计算导数的根 f ( x ) 。换句话说,找到导数的解决方案 ∇ f ( x 0 ) = 0 。

创建函数,找到它的导数

创建一个向量 x 和矩阵 一个 作为符号矩阵变量。定义的函数 f ( x ) = 罪 ( x T 一个 x ) 。

信谊x(2 - 1)矩阵信谊一个(2 - 2)矩阵f = sin (x。”* * x)
f =
                  
                   
                    
                     
                      
                       罪
                     
                     
                      
                       (
                      
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               x
                             
                            
                           
                           
                            
                             T
                           
                          
                          
                          
                          
                           
                            
                             一个
                           
                          
                          
                          
                          
                           
                            
                             x
                           
                          
                         
                        
                       
                      
                      
                       )

计算导数D函数的 f ( x ) 关于向量 x 。导数D显示在紧凑的矩阵表示法的 x 和 一个 。

D = diff (f (x)
D =
                  
                   
                    
                     
                      
                       
                        
                         因为
                       
                       
                        
                         (
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 x
                               
                              
                             
                             
                              
                               T
                             
                            
                            
                            
                            
                             
                              
                               一个
                             
                            
                            
                            
                            
                             
                              
                               x
                             
                            
                           
                          
                         
                        
                        
                         )
                       
                      
                      
                      
                      
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 x
                               
                              
                             
                             
                              
                               T
                             
                            
                            
                            
                            
                             
                              
                               一个
                             
                            
                           
                          
                          
                           +
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 x
                               
                              
                             
                             
                              
                               T
                             
                            
                            
                            
                            
                             
                              
                               
                                
                                 一个
                               
                              
                             
                             
                              
                               T

转换symmatrix对象信谊对象

象征性的矩阵变量x,一个,f,D是symmatrix对象。这些对象代表矩阵、矢量和标量在紧凑型矩阵表示法。给这些变量的组件,转换symmatrix对象信谊对象的使用symmatrix2sym。

xsym = symmatrix2sym (x)
xsym =

                  

                   
                    
                     
                      
                       (
                      
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             x
                           
                           
                            
                             1
                           
                          
                         
                        
                       
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             x
                           
                           
                            
                             2
                           
                          
                         
                        
                       
                      
                      
                       )
                     
                    
                   

                 
Asym = symmatrix2sym (A)
Asym =

                  

                   
                    
                     
                      
                       (
                      
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             一个
                           
                           
                            
                             1
                            
                             ,
                            
                             1
                           
                          
                         
                        
                        
                         
                          
                           
                            
                             一个
                           
                           
                            
                             1
                            
                             ,
                            
                             2
                           
                          
                         
                        
                       
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             一个
                           
                           
                            
                             2
                            
                             ,
                            
                             1
                           
                          
                         
                        
                        
                         
                          
                           
                            
                             一个
                           
                           
                            
                             2
                            
                             ,
                            
                             2
                           
                          
                         
                        
                       
                      
                      
                       )
                     
                    
                   

                 
fsym = symmatrix2sym (f)
fsym =
                  
                   
                    
                     
                      
                       罪
                     
                     
                      
                       (
                      
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               x
                             
                             
                              
                               1
                             
                            
                            
                            
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     一个
                                   
                                   
                                    
                                     1
                                    
                                     ,
                                    
                                     1
                                   
                                  
                                  
                                  
                                  
                                   
                                    
                                     x
                                   
                                   
                                    
                                     1
                                   
                                  
                                 
                                
                                
                                 +
                                
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     一个
                                   
                                   
                                    
                                     1
                                    
                                     ,
                                    
                                     2
                                   
                                  
                                  
                                  
                                  
                                   
                                    
                                     x
                                   
                                   
                                    
                                     2
                                   
                                  
                                 
                                
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                          
                           +
                          
                           
                            
                             
                              
                               x
                             
                             
                              
                               2
                             
                            
                            
                            
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     一个
                                   
                                   
                                    
                                     2
                                    
                                     ,
                                    
                                     1
                                   
                                  
                                  
                                  
                                  
                                   
                                    
                                     x
                                   
                                   
                                    
                                     1
                                   
                                  
                                 
                                
                                
                                 +
                                
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     一个
                                   
                                   
                                    
                                     2
                                    
                                     ,
                                    
                                     2
                                   
                                  
                                  
                                  
                                  
                                   
                                    
                                     x
                                   
                                   
                                    
                                     2
                                   
                                  
                                 
                                
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                         
                        
                       
                      
                      
                       )
                     
                    
                   
                  
Dsym = symmatrix2sym (D)
Dsym =
                  
                   
                    
                     
                      (
                     
                      
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              因为
                            
                            
                             
                              (
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     
                                      x
                                    
                                    
                                     
                                      1
                                    
                                   
                                   
                                   
                                   
                                    
                                     
                                      
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            一个
                                          
                                          
                                           
                                            1
                                           
                                            ,
                                           
                                            1
                                          
                                         
                                         
                                         
                                         
                                          
                                           
                                            x
                                          
                                          
                                           
                                            1
                                          
                                         
                                        
                                       
                                       
                                        +
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            一个
                                          
                                          
                                           
                                            1
                                           
                                            ,
                                           
                                            2
                                          
                                         
                                         
                                         
                                         
                                          
                                           
                                            x
                                          
                                          
                                           
                                            2
                                          
                                         
                                        
                                       
                                      
                                     
                                    
                                   
                                  
                                 
                                 
                                  +
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     
                                      x
                                    
                                    
                                     
                                      2
                                    
                                   
                                   
                                   
                                   
                                    
                                     
                                      
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            一个
                                          
                                          
                                           
                                            2
                                           
                                            ,
                                           
                                            1
                                          
                                         
                                         
                                         
                                         
                                          
                                           
                                            x
                                          
                                          
                                           
                                            1
                                          
                                         
                                        
                                       
                                       
                                        +
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            一个
                                          
                                          
                                           
                                            2
                                           
                                            ,
                                           
                                            2
                                          
                                         
                                         
                                         
                                         
                                          
                                           
                                            x
                                          
                                          
                                           
                                            2
                                          
                                         
                                        
                                       
                                      
                                     
                                    
                                   
                                  
                                 
                                
                               
                              
                             
                             
                              )
                            
                           
                           
                           
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  2
                                 
                                 
                                 
                                  
                                   
                                    一个
                                  
                                  
                                   
                                    1
                                   
                                    ,
                                   
                                    1
                                  
                                 
                                 
                                 
                                 
                                  
                                   
                                    x
                                  
                                  
                                   
                                    1
                                  
                                 
                                
                               
                               
                                +
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    一个
                                  
                                  
                                   
                                    1
                                   
                                    ,
                                   
                                    2
                                  
                                 
                                 
                                 
                                 
                                  
                                   
                                    x
                                  
                                  
                                   
                                    2
                                  
                                 
                                
                               
                               
                                +
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    一个
                                  
                                  
                                   
                                    2
                                   
                                    ,
                                   
                                    1
                                  
                                 
                                 
                                 
                                 
                                  
                                   
                                    x
                                  
                                  
                                   
                                    2
                                  
                                 
                                
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                         
                        
                       
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              因为
                            
                            
                             
                              (
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     
                                      x
                                    
                                    
                                     
                                      1
                                    
                                   
                                   
                                   
                                   
                                    
                                     
                                      
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            一个
                                          
                                          
                                           
                                            1
                                           
                                            ,
                                           
                                            1
                                          
                                         
                                         
                                         
                                         
                                          
                                           
                                            x
                                          
                                          
                                           
                                            1
                                          
                                         
                                        
                                       
                                       
                                        +
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            一个
                                          
                                          
                                           
                                            1
                                           
                                            ,
                                           
                                            2
                                          
                                         
                                         
                                         
                                         
                                          
                                           
                                            x
                                          
                                          
                                           
                                            2
                                          
                                         
                                        
                                       
                                      
                                     
                                    
                                   
                                  
                                 
                                 
                                  +
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     
                                      x
                                    
                                    
                                     
                                      2
                                    
                                   
                                   
                                   
                                   
                                    
                                     
                                      
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            一个
                                          
                                          
                                           
                                            2
                                           
                                            ,
                                           
                                            1
                                          
                                         
                                         
                                         
                                         
                                          
                                           
                                            x
                                          
                                          
                                           
                                            1
                                          
                                         
                                        
                                       
                                       
                                        +
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            一个
                                          
                                          
                                           
                                            2
                                           
                                            ,
                                           
                                            2
                                          
                                         
                                         
                                         
                                         
                                          
                                           
                                            x
                                          
                                          
                                           
                                            2
                                          
                                         
                                        
                                       
                                      
                                     
                                    
                                   
                                  
                                 
                                
                               
                              
                             
                             
                              )
                            
                           
                           
                           
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    一个
                                  
                                  
                                   
                                    1
                                   
                                    ,
                                   
                                    2
                                  
                                 
                                 
                                 
                                 
                                  
                                   
                                    x
                                  
                                  
                                   
                                    1
                                  
                                 
                                
                               
                               
                                +
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    一个
                                  
                                  
                                   
                                    2
                                   
                                    ,
                                   
                                    1
                                  
                                 
                                 
                                 
                                 
                                  
                                   
                                    x
                                  
                                  
                                   
                                    1
                                  
                                 
                                
                               
                               
                                +
                               
                                
                                 
                                  2
                                 
                                 
                                 
                                  
                                   
                                    一个
                                  
                                  
                                   
                                    2
                                   
                                    ,
                                   
                                    2
                                  
                                 
                                 
                                 
                                 
                                  
                                   
                                    x
                                  
                                  
                                   
                                    2
                                  
                                 
                                
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                         
                        
                       
                      
                     
                     
                      )

代入数值并找到最低

假设你有兴趣的情况的价值 一个 是[2 1;0 3]。把这个值代入函数fsym。

fsym =潜艇(fsym、Asym [2 1;0 3])
fsym =
                  
                   
                    
                     
                      
                       罪
                     
                     
                      
                       (
                      
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             3
                            
                            
                            
                             
                              
                               
                                
                                 x
                               
                               
                                
                                 2
                               
                              
                             
                             
                              
                               2
                             
                            
                           
                          
                          
                           +
                          
                           
                            
                             
                              
                               x
                             
                             
                              
                               1
                             
                            
                            
                            
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   2
                                  
                                  
                                  
                                   
                                    
                                     x
                                   
                                   
                                    
                                     1
                                   
                                  
                                 
                                
                                
                                 - - - - - -
                                
                                 
                                  
                                   x
                                 
                                 
                                  
                                   2
                                 
                                
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                         
                        
                       
                      
                      
                       )

替代的价值 一个 的导数Dsym

Dsym =潜艇(Dsym、Asym [2 1;0 3])
Dsym =
                  
                   
                    
                     
                      (
                     
                      
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              因为
                            
                            
                             
                              (
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    3
                                   
                                   
                                   
                                    
                                     
                                      
                                       
                                        x
                                      
                                      
                                       
                                        2
                                      
                                     
                                    
                                    
                                     
                                      2
                                    
                                   
                                  
                                 
                                 
                                  +
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     
                                      x
                                    
                                    
                                     
                                      1
                                    
                                   
                                   
                                   
                                   
                                    
                                     
                                      
                                       
                                        
                                         
                                          2
                                         
                                         
                                         
                                          
                                           
                                            x
                                          
                                          
                                           
                                            1
                                          
                                         
                                        
                                       
                                       
                                        - - - - - -
                                       
                                        
                                         
                                          x
                                        
                                        
                                         
                                          2
                                        
                                       
                                      
                                     
                                    
                                   
                                  
                                 
                                
                               
                              
                             
                             
                              )
                            
                           
                           
                           
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  4
                                 
                                 
                                 
                                  
                                   
                                    x
                                  
                                  
                                   
                                    1
                                  
                                 
                                
                               
                               
                                - - - - - -
                               
                                
                                 
                                  x
                                
                                
                                 
                                  2
                                
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                         
                        
                       
                       
                        
                         
                          
                           
                            - - - - - -
                           
                            
                             
                              
                               
                                因为
                              
                              
                               
                                (
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    
                                     
                                      3
                                     
                                     
                                     
                                      
                                       
                                        
                                         
                                          x
                                        
                                        
                                         
                                          2
                                        
                                       
                                      
                                      
                                       
                                        2
                                      
                                     
                                    
                                   
                                   
                                    +
                                   
                                    
                                     
                                      
                                       
                                        x
                                      
                                      
                                       
                                        1
                                      
                                     
                                     
                                     
                                     
                                      
                                       
                                        
                                         
                                          
                                           
                                            2
                                           
                                           
                                           
                                            
                                             
                                              x
                                            
                                            
                                             
                                              1
                                            
                                           
                                          
                                         
                                         
                                          - - - - - -
                                         
                                          
                                           
                                            x
                                          
                                          
                                           
                                            2
                                          
                                         
                                        
                                       
                                      
                                     
                                    
                                   
                                  
                                 
                                
                               
                               
                                )
                              
                             
                             
                             
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   
                                    x
                                  
                                  
                                   
                                    1
                                  
                                 
                                 
                                  - - - - - -
                                 
                                  
                                   
                                    6
                                   
                                   
                                   
                                    
                                     
                                      x
                                    
                                    
                                     
                                      2
                                    
                                   
                                  
                                 
                                
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                         
                        
                       
                      
                     
                     
                      )

然后,运用符号函数解决导数的根源。

[xmin, ymin] =解决(Dsym xsym,“PrincipalValue”,真正的);x0 = [xmin;ymin]
x0 =

                  

                   
                    
                     
                      
                       (
                      
                       
                        
                         
                          
                           0
                         
                        
                       
                       
                        
                         
                          
                           0
                         
                        
                       
                      
                      
                       )

绘制函数 f ( x ) 一起极值解 x 0 。设置情节间隔 - - - - - - 1 < x 1 < 1 和 - - - - - - 1 < x 2 < 1 作为第二个参数fsurf。使用fplot3绘制的坐标极值解。

fsurf (fsym [1 1 1 1])在ymin fplot3 (xmin,潜艇(fsym xsym, x0),“罗”)视图([-68]13日)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含2 functionsurface类型的对象,parameterizedfunctionline。

附近近似函数的最小值

你可以围绕一个多变量函数近似点 x 0 多项利用泰勒展开式。

f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + ∇ f ( x 0 ) ⋅ ( x - - - - - - x 0 ) + 1 2 ( x - - - - - - x 0 ) T H ( f ( x 0 ) ) ( x - - - - - - x 0 )

在这里,这个术语 ∇ f ( x 0 ) 梯度向量, H ( f ( x 0 ) ) 海赛矩阵的多元函数 f ( x ) 计算在 x 0 。

找到海赛矩阵作为一个象征性的矩阵变量并返回结果。

H = diff (f, x, x。”)
H =
                  
                   
                    
                     
                      
                       - - - - - -
                      
                       
                        
                         
                          
                           罪
                         
                         
                          
                           (
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   x
                                 
                                
                               
                               
                                
                                 T
                               
                              
                              
                              
                              
                               
                                
                                 一个
                               
                              
                              
                              
                              
                               
                                
                                 x
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                          
                           )
                         
                        
                        
                        
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   一个
                                 
                                
                               
                               
                                
                                 T
                               
                              
                              
                              
                              
                               
                                
                                 x
                               
                              
                             
                            
                            
                             +
                            
                             
                              
                               
                                
                                 一个
                               
                              
                              
                              
                              
                               
                                
                                 x
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                         
                        
                        
                        
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   x
                                 
                                
                               
                               
                                
                                 T
                               
                              
                              
                              
                              
                               
                                
                                 一个
                               
                              
                             
                            
                            
                             +
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   x
                                 
                                
                               
                               
                                
                                 T
                               
                              
                              
                              
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   一个
                                 
                                
                               
                               
                                
                                 T
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                         
                        
                       
                      
                      
                       +
                      
                       
                        
                         
                          
                           因为
                         
                         
                          
                           (
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  
                                   x
                                 
                                
                               
                               
                                
                                 T
                               
                              
                              
                              
                              
                               
                                
                                 一个
                               
                              
                              
                              
                              
                               
                                
                                 x
                               
                              
                             
                            
                           
                          
                          
                           )
                         
                        
                        
                        
                        
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 一个
                               
                              
                             
                             
                              
                               T
                             
                            
                            
                             +
                            
                             
                              
                               一个

把海赛矩阵 H ( f ( x 0 ) ) 到信谊数据类型,代表组件的矩阵形式。使用潜艇评估海赛矩阵 一个 = (2 1;0 3]在最小点 x 0 。

Hsym = symmatrix2sym (H);Hsym =潜艇(Hsym、Asym [2 1;0 3]);H0 =潜艇(Hsym xsym x0)
H0 =

                  

                   
                    
                     
                      
                       (
                      
                       
                        
                         
                          
                           4
                         
                        
                        
                         
                          
                           
                            
                             - - - - - -
                            
                             1
                           
                          
                         
                        
                       
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             - - - - - -
                            
                             1
                           
                          
                         
                        
                        
                         
                          
                           6
                         
                        
                       
                      
                      
                       )

评价梯度向量 ∇ f ( x 0 ) 在 x 0 。

D0 =潜艇(Dsym xsym x0)
D0 =
                  
                   
                    
                     
                      (
                     
                      
                       
                        
                         
                          0
                        
                       
                       
                        
                         
                          0
                        
                       
                      
                     
                     
                      )

计算函数的泰勒近似接近最小值。

fapprox =潜艇(fsym xsym x0) + D0 * (xsym-x0) + 1/2 * (xsym-x0)。* H0 * (xsym-x0)
fapprox =

                  

                   
                    
                     
                      
                       
                        
                         
                          
                           
                            x
                          
                          
                           
                            1
                          
                         
                         
                         
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                2
                               
                               
                               
                                
                                 
                                  x
                                
                                
                                 
                                  1
                                
                               
                              
                             
                             
                              - - - - - -
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  x
                                
                                
                                 
                                  2
                                
                               
                              
                              
                               
                                2
                              
                             
                            
                           
                          
                         
                        
                       
                       
                        - - - - - -
                       
                        
                         
                          
                           
                            x
                          
                          
                           
                            2
                          
                         
                         
                         
                         
                          
                           
                            
                             
                              
                               
                                
                                 
                                  x
                                
                                
                                 
                                  1
                                
                               
                              
                              
                               
                                2
                              
                             
                             
                              - - - - - -
                             
                              
                               
                                3
                               
                               
                               
                                
                                 
                                  x
                                
                                
                                 
                                  2

情节上的函数近似相同的图形显示 f ( x ) 和 x 0 。

持有在fsurf (fapprox [1 1 1 1) zlim (1 [3])

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含3 functionsurface类型的对象,parameterizedfunctionline。