Pade近似值——MATLAB和Simulink Mat金宝apphWorks德国 - 金宝app,下载188bet金宝搏,金宝搏官方网站

Pade近似值

Pade的近似值(米,n]近似函数f(x周围)x=x₀作为

$\frac{{一个}_{0} + {一个}_{1} (x - x_{0}) + … + {一个}_{米} {(x - x_{0})}^{米}}{1 + b_{1} (x - x_{0}) + … + b_{n} {(x - x_{0})}^{n}} 。$

Pade的近似值是有理函数由两个幂级数的比率。因为它是一个有理函数,它比泰勒级数在近似函数更精确的波兰人。Pade的近似值是由符号数学工具箱™函数表示pade。

当存在一个杆或零扩张点x=x₀的准确性,Pade近似值减少。提高准确性,另一种形式的Pade近似值可以是使用

$\frac{{(x - x_{0})}^{p} ({一个}_{0} + {一个}_{1} (x - x_{0}) + … + {一个}_{米} {(x - x_{0})}^{米})}{1 + b_{1} (x - x_{0}) + … + b_{n} {(x - x_{0})}^{n}} 。$

的pade函数返回的替代形式Pade近似值当你设置OrderMode输入参数相对。

Pade的近似值是用于控制系统理论模型的响应时间延迟系统。出现时间延迟系统,如化学和运输过程中有一个输入和系统响应之间的延迟。这些输入建模时,他们被称为空载投入。这个例子展示了如何使用符号数学工具箱模型响应的一阶系统空载投入使用Pade近似值。

一阶系统的行为是由微分方程描述

$τ \frac{d y (t)}{d t} + y (t) = 一个 x (t) 。$

在MATLAB输入微分方程^®。

信谊τ一个x (t)y (t)xS (s)y (s)H(年代)tmpF =τ* diff (y) * x + y = =;

找到的拉普拉斯变换F使用拉普拉斯。

F =拉普拉斯(F, t, s)

F =
                  $拉普拉斯 (y (t), t, 年代) - - - - - - τ (y (0) - - - - - - 年代 拉普拉斯 (y (t), t, 年代)) = 一个 拉普拉斯 (x (t), t, 年代)$

假设系统的响应t = 0是0。使用潜艇来代替y (0) = 0。

F =潜艇(F, y (0), 0)

F =
                  $拉普拉斯 (y (t), t, 年代) + 年代 τ 拉普拉斯 (y (t), t, 年代) = 一个 拉普拉斯 (x (t), t, 年代)$

收集常用术语,使用简化。

F =简化(F)

F =
                  $(年代 τ + 1) 拉普拉斯 (y (t), t, 年代) = 一个 拉普拉斯 (x (t), t, 年代)$

可读性,取代的拉普拉斯变换x (t)和y (t)与xS (s)和y (s)。

F =潜艇(F,[拉普拉斯(x (t), t, s)拉普拉斯(y (t), t, s)], [x (s) y (s)))

F =
                  $y (年代) (年代 τ + 1) = 一个 xS (年代)$

传递函数的拉普拉斯变换y (s) / xS (s)。方程的两边xS (s)和使用潜艇来代替y (s) / xS (s)与H(年代)。

F = F / xS(年代);F =潜艇(F, y (s) / xS (s), H (s))

F =
                  $H (年代) (年代 τ + 1) = 一个$

解决的方程H(年代)。代替H(年代)哑变量,求出哑变量使用解决回,分配解决方案H(年代)。

F =潜艇(F、H (s), tmp);H (s) =解决(F, tmp)

H (s) =
                 
                   $\frac{一个}{年代 τ + 1}$

一阶系统的输入是一个阶跃输入。代表一个步骤的输入,使用亥维赛。延迟输入三个时间单位。发现使用拉普拉斯变换拉普拉斯。

一步=亥维赛(t - 3);一步=拉普拉斯(步骤)

一步=
                 
                   $\frac{e^{- - - - - - 3 年代}}{年代}$

发现系统的响应,这是传递函数和输入的产物。

y = H (s) *步骤

y =
                 
                   $\frac{一个 e^{- - - - - - 3 年代}}{年代 (年代 τ + 1)}$

允许策划的回应,设置参数一个和τ他们的价值观。为一个和τ,选择值1和3,分别。

y =潜艇(y)(τ),3 [1]);y = ilaplace (y,年代);

找到Pade近似值(2 - 2)阶跃输入使用订单输入参数pade。

stepPade22 = pade(步骤,“秩序”(2 - 2))

stepPade22 =
                 
                   $\frac{3 {年代}^{2} - - - - - - 4 年代 + 2}{2 年代 (年代 + 1)}$

找到应对输入乘以传递函数和Pade近似式的输入。

yPade22 = H (s) * stepPade22

yPade22 =
                 
                   $\frac{一个 (3 {年代}^{2} - - - - - - 4 年代 + 2)}{2 年代 (年代 τ + 1) (年代 + 1)}$

找到的拉普拉斯逆变换yPade22使用ilaplace。

yPade22 = ilaplace (yPade22年代)

yPade22 =
                 
                   $一个 + \frac{9 一个 e^{- - - - - - 年代}}{2 τ - - - - - - 2} - - - - - - \frac{一个 e^{- - - - - - \frac{年代}{τ}} (2 τ^{2} + 4 τ + 3)}{τ (2 τ - - - - - - 2)}$

情节响应,设置参数一个和τ他们的价值观1和3,分别。

yPade22 =潜艇(yPade22(τ),1 [3])

yPade22 =
                 
                   $\frac{9 e^{- - - - - - 年代}}{4} - - - - - - \frac{11 e^{- - - - - - \frac{年代}{3}}}{4} + 1$

画出系统的响应y并从Pade响应计算近似值yPade22。

持有在网格在fplot ([y yPade22],[0] 20日)标题(“Pade近似值空载阶跃输入的)传说(“空载阶跃输入响应”,…“Pade近似式(2 - 2)的,…“位置”,“最佳”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题Pade近似值为空载阶跃输入包含2 functionline类型的对象。这些对象代表空载阶跃输入响应,Pade近似式(2 - 2)。

的(2 - 2)Pade近似值并不代表响应因为一个钢管扩张点的存在0。增加的准确性pade当有一个杆或零膨胀点,设置OrderMode输入参数相对和重复这些步骤。有关详细信息,请参见pade。

stepPade22Rel = pade(步骤,“秩序”(2 - 2),“OrderMode”,“相对”)

stepPade22Rel =
                 
                   $\frac{3 {年代}^{2} - - - - - - 6 年代 + 4}{年代 (3 {年代}^{2} + 6 年代 + 4)}$

yPade22Rel = H (s) * stepPade22Rel

yPade22Rel =
                 
                   $\frac{一个 (3 {年代}^{2} - - - - - - 6 年代 + 4)}{年代 (年代 τ + 1) (3 {年代}^{2} + 6 年代 + 4)}$

yPade22Rel = ilaplace (yPade22Rel)

yPade22Rel =
                 
                   $\begin{array}{l} 一个 - - - - - - \frac{一个 e^{- - - - - - \frac{t}{τ}} (4 τ^{2} + 6 τ + 3)}{σ_{1}} + \frac{12 一个 τ e^{- - - - - - t} (因为 (\frac{\sqrt{3} t}{3}) - - - - - - \sqrt{3} 罪 (\frac{\sqrt{3} t}{3}) (\frac{36 一个 - - - - - - 72年 一个 τ}{36 一个 τ} + 1))}{σ_{1}} \\ 在哪里 \\ σ_{1} = 4 τ^{2} - - - - - - 6 τ + 3 \end{array}$

yPade22Rel =潜艇(yPade22Rel(τ),1 [3])

yPade22Rel =
                 
                   $\frac{12 e^{- - - - - - t} (因为 (\frac{\sqrt{3} t}{3}) + \frac{2 \sqrt{3} 罪 (\frac{\sqrt{3} t}{3})}{3})}{7} - - - - - - \frac{19 e^{- - - - - - \frac{t}{3}}}{7} + 1$

fplot (yPade22Rel 20] [0,“DisplayName的”,的相对Pade近似式(2 - 2)的)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题Pade近似值为空载阶跃输入包含3 functionline类型的对象。这些对象代表空载阶跃输入响应,Pade近似式(2 - 2),相对Pade近似式(2 - 2)。

的准确性Pade近似值也可以增加增加订单。增加订单5 [4]和重复这些步骤。的n (n - 1)Pade近似值在近似响应更好t = 0比[n n]Pade近似值。

stepPade45 = pade(步骤,“秩序”[4 - 5])

stepPade45 =
                 
                   $\frac{27 {年代}^{4} - - - - - - 180年 {年代}^{3} + 540年 {年代}^{2} - - - - - - 840年 年代 + 560年}{年代 (27 {年代}^{4} + 180年 {年代}^{3} + 540年 {年代}^{2} + 840年 年代 + 560年)}$

yPade45 = H (s) * stepPade45

yPade45 =
                 
                   $\frac{一个 (27 {年代}^{4} - - - - - - 180年 {年代}^{3} + 540年 {年代}^{2} - - - - - - 840年 年代 + 560年)}{年代 (年代 τ + 1) (27 {年代}^{4} + 180年 {年代}^{3} + 540年 {年代}^{2} + 840年 年代 + 560年)}$

yPade45 =潜艇(yPade45(τ),1 [3])

yPade45 =
                 
                   $\frac{27 {年代}^{4} - - - - - - 180年 {年代}^{3} + 540年 {年代}^{2} - - - - - - 840年 年代 + 560年}{年代 (3 年代 + 1) (27 {年代}^{4} + 180年 {年代}^{3} + 540年 {年代}^{2} + 840年 年代 + 560年)}$

yPade45 = ilaplace (yPade45)

yPade45 =
                 
                   $\begin{array}{l} \frac{101520年 (\sum_{k = 1}^{4} \frac{e^{σ_{2} t} σ_{2}}{12 (90年 σ_{2} + 45 {σ_{2}}^{2} + 9 {σ_{2}}^{3} + 70年)})}{143年} - - - - - - \frac{2721年 e^{- - - - - - \frac{t}{3}}}{1001年} + \frac{172560年 (\sum_{k = 1}^{4} \frac{e^{t σ_{2}}}{σ_{1}})}{143年} + \frac{294120年 (\sum_{k = 1}^{4} \frac{e^{t σ_{2}} {σ_{2}}^{2}}{σ_{1}})}{1001年} + \frac{46440年 (\sum_{k = 1}^{4} \frac{e^{t σ_{2}} {σ_{2}}^{3}}{σ_{1}})}{1001年} + 1 \\ 在哪里 \\ σ_{1} = 12 (9 {σ_{2}}^{3} + 45 {σ_{2}}^{2} + 90年 σ_{2} + 70年) \\ σ_{2} = 根 (z^{4} + \frac{20. z^{3}}{3} + 20. z^{2} + \frac{280年 z}{9} + \frac{560年}{27}, z, k) \end{array}$

yPade45 = vpa (yPade45)

yPade45 =
                  $3.2418384981662546679005910164486 e^{- - - - - - 1.930807068546914778929595950184 t} 因为 (0.57815608595633583454598214328008 t) - - - - - - 2.7182817182817182817182817182817 e^{- - - - - - 0.33333333333333333333333333333333 t} - - - - - - 1.5235567798845363861823092981669 e^{- - - - - - 1.4025262647864185544037373831494 t} 因为 (1.7716120279045018112388813990878 t) + 11.595342871672681856604670597166 e^{- - - - - - 1.930807068546914778929595950184 t} 罪 (0.57815608595633583454598214328008 t) - - - - - - 1.7803798379230333426855987436911 e^{- - - - - - 1.4025262647864185544037373831494 t} 罪 (1.7716120279045018112388813990878 t) + 1.0$

fplot (yPade45 20] [0,“DisplayName的”,“Pade近似值[4 - 5])

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题Pade近似值为空载阶跃输入包含4 functionline类型的对象。这些对象代表空载阶跃输入响应,Pade近似式(2 - 2),相对Pade近似式(2 - 2),Pade近似值[4 - 5]。

以下几点所示:

Pade近似值可以输入模型空载步骤。
的准确性Pade近似值随的增加近似式的顺序。
当存在一个杆或零膨胀点,Pade的近似值是不准确的扩张点。增加的准确性近似值,设置OrderMode选项相对。您还可以使用增加相对于分子分母的顺序。