从系列中:解决matlab的杂物
Moller,Mathworks
把一个有三个不同长度边的长方形物体(如谷类食品盒)抛向空中。可以使长方体围绕其最长轴或最短轴稳定地翻滚。但是如果你试着让它绕中轴线翻滚,你会发现它的运动是不稳定的。角动量模型是一个由三个微分方程组成的非线性系统。有六个临界点:长轴和短轴对应的四个临界点是稳定的;中轴对应的两个不稳定。
这是一个翻滚箱角动量的微分方程。试着把一本书,或一个盒子,或任何一个三个维度都不一样的直线物体,扭曲一下扔到空中,使之翻滚。
你可以绕着它的最长轴旋转,也可以绕着它的最短轴旋转。但你不能绕着它的中轴线旋转。让我们用数值的方法来研究这个现象。
这是定义三个第一阶微分方程的那些系统的匿名函数。现在我将从第一个关键点附近的初始条件开始。1,0,0是关键点。我将花一个随机数量的0.2倍,以靠近临界点,然后归一化它,使其具有长度为1。
所以最大的分量是第一个分量。另外两个很小,但不太小。这是一个简单的问题。这里没有僵硬。所以我将使用ode23,从0到10积分,这里是解决方案。
蓝色分量是第一个,它保持在1附近。另外两个是周期性的,围绕0旋转。让我们回到另一个开始条件。又来了。
另外两个组成部分非常小。当我们积分时,蓝色分量在1附近保持不变,另外两个几乎不动。
现在我要到第三个临界点,0,0,1,做同样的事情。在附近取一个随机数。使用ODE23。现在黄色部分保持在1附近。另外两个周期性地在0左右移动。
再次运行。第三个组件接近1.另外两个不是太大。并运行ode 23.另一个组件保持近1.,另一个两个围绕0旋转。
现在我们要到中间临界点。我们要试着让盒子绕着中轴线旋转。第二个部分是接近1的部分,现在我们看到了完全不同的行为。
这个Sienna组件没有靠近1.它靠近-1℃,然后返回。让我们在更长的时间内整合,所以我们可以看到这种行为。
所以它是定期的。但它变得下降到-1并返回到1.另一两个在大幅度上移动。这是该中间临界值的不稳定性。
我们再来一次。同样的事情。1降到-1,然后后退。它是周期性的。这些解都是周期性的。但中间临界点是不稳定的。现在我想用一种不同的方式,图形化的方式来看待这些。金宝搏官方网站
微分方程有这三个关键点。在这些初金宝搏官方网站始条件中完全启动的任何解决方案都在那里留下来。但是,如果你在这些初始条件附近开始会发生什么?
好吧,事实证明,X和Z是稳定的关键点。但是Y是一个不稳定的临界点。如果角动量靠近X或附近的Z,则会靠近那里。但如果它在y附近开始,它会很快移动。
您可以将x视为短轴,z是长轴。短轴附近的旋转是稳定的。并且在长轴附近旋转稳定。但是中轴附近的旋转是不稳定的。
我们可以在下图中看到这一点。结果表明,如果一个解的初始条件是范数为1,它就保持在范数为1,所以解就存在于单位球面上。
这是我们的单位与我们的三个关键点,x,y和z分享。如果这是地球,Z将是北极。第0个子午线交叉赤道的轴。那是东大西洋,有点偏离西非。y将是第90次子午线交叉赤道的地方。那是在印度洋,苏门答腊西部。
如果我们从X附近的初始条件开始,则解决方案轨道曲线。在短轴周围旋转稳定。如果我们从Z附近的初始条件开始,则Z的解决方案轨道。这在长轴周围稳定。
但是,如果我们从y附近开始,解决方案起飞,越过近在咫尺,转身,回到y。定期,但在全球范围内清楚地清楚。结果结果,实际上是一个圆圈,X周围的轨道。
如果我们上升到略高于y的位置,就会有一个围绕z的轨道。向下一点,我们得到一个围绕-z的轨道。在y的右边,我们得到一个围绕-x的轨道。
让我们放大一点。我们可以看到y是一个经典的不稳定临界点。最后我们画几个轨道。
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