好的。更多关于特征值和特征向量。实际上,这将是相同的特征值和特征向量但我要用矩阵表示法。
所以,你还记得我有一个矩阵a, 2×2为例。它有两个特征向量。每个特征向量都有其特征值。所以我可以写世界特征值。我想把它写成矩阵形式。我想创造一个特征向量矩阵的两个特征向量并将它们在矩阵的列。
如果我有n个,让我给一个名字。特征向量矩阵,也许我会叫它为向量V。这是一个时代诉,现在,就耐心等我做次特征向量矩阵的乘法。
我得到了什么?我得到一个矩阵。这是2×2。这是2×2。你得到一个2×2的矩阵。第一列是什么?输出是一个时代的第一列的第一列输入。和x1是什么?嗯,λ1 x1 x1。所以,第一列是λ1 x1。 And A times the second column is Ax2, which is lambda 2 x2. So I'm seeing lambda 2 x2 in that column. OK.
矩阵表示法。那些特征向量。这是次诉的结果但我可以看看这个有点不同。我只能说,等一下,这是我的特征向量矩阵,x1和x2——这两个列乘以一个矩阵。是的。
第一列,λ1 x1,λ1 x1, x2 + 0倍。我做了一个矩阵乘法。我没有准备你。我要回去做准备。但是当我用一个矩阵乘以一个向量,我带一个λ1倍,0 *。我得到λ1 x1,这就是我想要的。
你能看到我想要的在第二列吗?我想要的结果是λ2 x2。所以我希望没有x1,λ2列。这就是0乘以这一列,列+λ2,倍。我们还好吗?
所以,我现在什么?我整件事情在一个美丽的形式,这是一次特征向量矩阵等于,又有特征向量矩阵,诉,这里是一个新的矩阵的特征值矩阵。和每个人都调用,因为这些是λλ1和2。所以自然信是一个资本λ。这是一个资本希腊λ,尽我所能做的。
所以你看到两个方程分别写,或四个方程n方程,结合成一个矩阵方程。这是这两个在一起一样。好。但是现在我有矩阵形式,我可以弄混。我可以两边同时乘以V逆。
如果我两边同时乘以V逆我发现,我在左边乘以V逆?是的,我会的。如果我在左边乘以V的逆逆AV。这是矩阵乘法和我的下一个视频回顾矩阵乘法。
所以我两边同时乘以V逆。V逆时代的身份。这就是逆矩阵。V逆,是身份。好了。我推了。这是非常好的。这是非常好的。这就是整个我斜向移动通过右边的特征向量矩阵,它的逆矩阵在左边,把这三个矩阵相乘,得到这对角矩阵。这是一个对角矩阵λ。
或者其他时间我可能要乘以双方通过V逆在右边。所以给我一个,V, V逆是身份。所以我可以移动V / V的逆。这就是它的数量。
我两边同时乘以V逆。这是一个这是V, V和λ,现在逆。太好了。
这是一个如何建立或分解成特征向量矩阵,特征值矩阵,乘以特征向量矩阵的逆。好的。让我用一会儿。所以你看看它是如何与我们已经知道关于特征值和特征向量。好的。
所以我将复制这伟大的事实,一个是Vλ,V逆。哦,我想做什么?我想看一个平方。如果我看一个平方,Vλ逆乘以另一个。对吧?有一个,有一个答:这是一个平方。
好吧,你可能会说我搞得一团糟的平方,但不是真的。V逆是身份。这只是身份坐在中间。所以V在最左边,然后我有λ,然后我有另λλ的平方,然后V逆在画面右边。这是一个平方。
如果我做到了n次,我将有一个第n个什么λ第n个权力V逆。这是什么?这是说什么呢?这是一个平方。我怎么知道方程?我说,A的特征值λ的平方。我只是每个特征值平方。
特征向量?一个平方的特征向量是什么?他们是相同的V,相同的向量,x1, x2,走进诉他们也的特征向量的平方,立方,的第n个,逆。
这就是整个一个矩阵的意义何在?整个一个矩阵是另一种方式,当我平方矩阵,这通常是一个大混乱,看着对面的特征值和特征向量是一个大混乱。很明显。的特征向量是一样的A的特征值都是正方形的特征值。
换句话说,我们可以把第n个权力和我们有一个漂亮的符号。我们学习了第n个力量已经第n个权力的特征值,特征向量相同。但是现在我只看到这里。这是第n个权力。
所以如果我把相同的矩阵一步1000次,重要的是什么?控制一个矩阵的一千次方什么?特征向量。他们只是集。这将是特征值的一千次方。
如果这是一个矩阵特征值大于1,那么一千次方是更大的。如果这是一个矩阵的特征值小于1,会有很小,当我带的一千次方。如果有一个特征值是1,这将是一个稳定的状态。和1的一千次方仍将1和不会发生任何改变。
因此,稳定。发生为我用,以权力的一个矩阵,是一个基本平行于问题的微分方程当我解决在时间吗?我认为这两个问题是完全平行。这是采取措施、单步骤、离散步骤。微分方程是不断前进。这是一个区别跳,跳,跳在离散情况下,向前不断在差的情况下运行。在这两种情况下,特征向量和特征值是随着时间的推移会发生什么指南。
好的。我要做更多使用矩阵的知识。让我来下一个。谢谢。
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