微分方程和线性代数,5.5:线性代数的大图
从系列中:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
一个矩阵产生四个子空间——列空间、行空间(相同维数)、垂直于所有行的向量空间(零空间)和垂直于所有列的向量空间。
我想让你们看到线性代数的全貌。在这组视频中,我们不会讲完整的线性代数课程。这已经在1806开放课程上了。现在我要关注微分方程,但是你要这样看待线性代数。
这种方式意味着子空间。在大局中有四个。之前的视频描述了列空间和零空间。现在,我们又多了两个,一共四个。让我看看这个矩阵——它是子空间的——把它们放到大图像中。
第一个空间是行空间。行空间有这些行——有向量1,2,3和向量4,5,6,这两个向量,以及它们所有的组合。这是线性代数的关键思想,线性组合。所以1,2,3是三维空间中的一个向量。4 5 6是另一个。
现在,如果我取它们所有的组合,你能想象出如果我有两个向量,我把它们加起来,我得到在同一平面上的另一个向量吗?如果我减去它们,我仍然在这个平面上。或者一个取5个,另一个取3个,仍然在这个平面上。当我取所有的组合时,我就填满了平面。行空间,我能在这里画个图吗?
它是一架飞机。这是行空间。我只写上行。在这个平面上是向量1,2,3和向量4,5,6,这两行。平面填充了我们的组合。我在黑板上画不出无限平面。但你懂的。它是一架飞机。我们在三维空间中。
现在,另一个——还有更多。我们只有一个——一个平面,一个平面的部分,就像桌面,延伸到无限远,但没有填充3D,因为我们有另一个方向。在另一个方向上是零空间。这是件好事。
我想知道这个矩阵的零空间。我要解出零空间,N (A)我要解出Av = 0。所以这三列的某个组合会得到0列。我把它写成0列。
v可以是什么?这一列,这一列和这一列的什么组合是0,0 ?现在,我知道有一些有趣的组合因为我只等于两个方程,三个未知数,v1 v2 v3。我要把这个乘以v1,这个乘以v2,这个乘以v3。所以我有三个未知数,但我只有两个0,只有两个方程。
如果我有三个未知数和两个方程,就会有很多解。金宝搏官方网站我看到了一个。看到了吗,如果我把这个和这个相加,就得到,这是一样的,等于2乘以。
换句话说,我相信v等于,如果我取第一列的1个第三列的1个,如果我减去第二列的2个,那么Av就得到第一列的1个,第三列的1个,减去第二列的2个,就得到0,0。这是零空间。零空间向着这个方向,向着(1,- 2,1)的方向。
但是,当然,我可以通过v乘以任何一个数得到更多的解。金宝搏官方网站10乘以这个向量仍然是0,仍然在零空间。零空间是一整条向量组成的直线。它是这个向量和这个向量的任意倍数。所以这是一条无限直线,它是一个一维子空间,零空间。
所以图中的零空间,这是零空间。嗯,它不是很粗,因为它只是一条线。我把这条线称为N (A)你看,我试着画一个三维空间。这条线是双向的。但它垂直于平面。这是最棒的部分。这是美妙的。
这条直线,零空间,垂直于这个平面,行空间。你想知道为什么吗?你想看看吗?因为如果我用A乘以v,那就是1 2 3乘以v, 1 2 3垂直于它。如何检验两个向量的垂线?1,2,3点积。点积是1 * 1 - 2 * 2,就是4,加上3 * 1,就是3。1 - 4 + 3 = 0。类似地,4 - 10 + 6 = 0。
这是一个直角。这是一个直角,这两个子空间之间是90度。同样,在这个例子中,一个空间是二维的,一个平面。另一个空间是一维的,一条垂线。我可以用手画,但我不会在这块平黑板上画画。平面延伸到无穷远,直线垂直于平面,当然,在0处,在0向量处。
它解出了Av = 0,它也是一个组合,一个0行的组合。这是整体的一半,行空间和零空间。
现在,我已经为另一半做好了准备,也就是另一边的另一边——大图的右边首先包含了列空间。那么这个矩阵的列空间是什么?
所以矩阵的列空间,我们取这三列的所有组合。这样就能填满一个空间。现在,我有——我取向量。我取向量,可能在这里。然后我还要取向量。我有三列。所以我数出3,向上6。好。
取这些向量的组合,得到什么?这是二维空间中的图像因为这些列是二维的,1,4;2、5;3、6。当我取1 4和2 5的组合时,它们的方向是不同的。这些组合已经给出了所有的二维空间,所以列空间是整个空间,包括,因为我可以取1中的0加上另一个向量的0。
第三列不能提供任何新东西。它在列空间中。这是两者的结合。但前两个是独立的。它们的组合得到了整个平面。所以列空间就是整个平面。列空间。
第四个子空间没有多少空间了。但是在这个例子中,第四个子空间非常小。我来告诉你们第四个子空间。所以我们知道零空间,N (a)我们知道列空间,C (a)零空间在这个图中。列空间在图中。
行空间的名称是什么?如果我对矩阵转置,行空间就变成了列空间。把矩阵A的行转置成列。通过矩阵的转置,它把这两行变成了两列。这就是我得到的。
行空间是——这是转置矩阵的列空间。我喜欢它。我不想为行空间引入一个新的字母。我喜欢只有列空间和零空间。所以我可以用A转置。现在,第四个是什么?
哦,只是美丽,优雅的一般原则。如果我有A的列空间和零空间,如果我有A转置的列空间,第4项必须是A转置的零空间。不好意思,我写得太小了。不过我把这个写大了一点。
A转置的零空间,所有解这个方程的w。A ' w = 0。A转置的零空间是所有解这个方程的w。这个方程是什么样的?哈!这个方程,A转置有两列。那么A的转置,这就是第一列的w1。1 2 3,当我转置的时候。第二列的w2, 4 5 6等于0 0 0。
现在我有,对于这个零空间,因为我的矩阵是2 × 3,对于第四个子空间,我有三个方程只有两个未知数,w1和w2。事实上,唯一的解是w1 = 0, w2 = 0金宝搏官方网站,因为这是我能得到组合的唯一方式——这是这个向量和那个向量的唯一组合让我得到0就是这个取0,这个取0。
在这个例子中,A转置的零空间就是——A转置的零空间——就是我所说的0子空间。子空间中只有一个小向量,即0向量。不过没关系。它遵循子空间的规则。它完成了四个子空间的图像。
在其他例子中,我们可以让四个子空间都非零。但这里有两个,它们合在一起,就构成了整个N维空间。在这里,我们有两个在一起就构成了整个M维空间。这里,对于这个矩阵,M = 2,这样就完成了。在这种情况下,列空间都是R2。
所有的二维空间都是列空间,没有给左零空间留下任何空间,即A转置的零空间。你看到那张照片了吗?让我们用一块干净的板再画一遍。
所以我有行空间。我把它画成这样,行空间。垂直于它的是零空间。这是在N维空间中,这些空间是垂直的。
然后,在这里,我有列空间。垂直于它的是左零空间。这是M维空间。这是我们的四个子空间。它们在N维空间中,其中两个在M维空间中,相互垂直。我可以告诉你它们的尺寸。
所以这个行空间,在这个例子中,是二维的。那是一架飞机。一般来说,维数等于,比方说r,这是一个重要的数,a的秩,哦,这是一个关键的数。也许,我最好单独讲一下矩阵的秩。但我将在这里完成这个想法。
行空间的维数就是独立行数。我称它为r,美妙之处在于它们有相同的维数。维度也是秩r,我能把这个奇妙的事实说成一个句子吗?列空间和行空间有相同的维数。
独立的行数等于独立的列数。这对于一个巨大的矩阵来说是个奇迹,比如57乘212,可能有40行独立的行。那么,就有40个独立的列。然后零空间和左零空间有剩余的维数。零空间的维数是N - R,因为它们加在一起的维数是N。
这个的维数是M - R,因为它们加在一起的维数是M,这就是放入维数后的图像。让我在另一个视频中多讲一点维数的概念。谢谢你!
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