微分方程和线性代数,6.3:解决线性系统
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
dy/ dt =一个y包含解决方案金宝搏官方网站y= eλtx在哪里λ和x的特征值和特征向量对吗一个。
这是视频的关键解决n常系数线性方程组。所以我怎么写这些方程呢?现在Y是一个向量,向量与n组件。而不是一个标量,只是一个数字y,你想让我把箭y ?不,我不会再重复一遍。但这是强调y是一个矢量。它的一阶导数,这是一个一阶系统。系统即可以有,不止一个未知,y1, y2, yn。
那么我们如何解决这样的一个系统?的矩阵相乘y和他们等同起来。y矩阵的耦合在一起。他们结合在一起,我们分开他们吗?这是神奇的特征值和特征向量。
特征向量向量,用自己的方式去。所以当你有一个特征向量,它就像你有一个一个接一个的问题,就只是一个数字,λ。所以对于一般的矢量,一切都是混合在一起。但对于一个特征向量,一切都保持一维。特殊的变化只是一个λ的方向。
当然,与往常一样,我们需要n的特征向量,因为我们想把起始值。就像我们的权力,我们现在正在做的微分方程。我开始向量,这可能不是一个特征向量。我想使它成为一个特征向量的组合。我很好,因为我假设我有n个独立特征向量。
现在我按照每个起始值c1 x1——这有什么呢?如果我的方向x1,那么所有的混乱就消失了。它的作用就像λ1 x1。这是你得到的。c1,这只是一个数字,乘以e的λ1 t x1。你看到,而不是权力,我们——我们已经λ1 k次方当我们正在做的一个矩阵,现在我们解微分方程。所以我们得到一个e的λ1 t。
当然,接下来通过叠加,我可以添加一个解决方案,这是e的λ2 t x2 +等等,加上cne的λnt xn。你可以看到,我可以问,当这是稳定的吗?什么时候的解决方案去0吗金宝搏官方网站?当t变大,这个数字将为0,提供λ1是负的。或提供它的实部是负的。我们可以理解从这一块一块的公式。
让我来举个例子。把一个矩阵a的权力矩阵——在那个视频我马尔可夫矩阵——让我把这里的等效微分方程。这将给我们一个马尔可夫微分方程。现在让我带一个。
一个马尔可夫矩阵的列添加到1但在微分方程的情况下,他们会增加0。- 1,1,- 2和2。有1的特征值为我们的力量就像微分方程的特征值0。因为e 0 t是1。
总之,让我们找到它的特征值。第一个特征值是0。这就是我感兴趣的。这一列添加到0,列增加0。告诉我有一个特征值为0。
其特征向量是什么?可能2,1,因为如果我把这个矩阵乘以向量,得到0。λ1 = 0。我的第二个特征值,跟踪- 3,λ1 +λ2必须给- 3。和它的特征向量,这可能是1 - 1。
所以我做了初步的工作。鉴于这个矩阵,我们得到了特征值和特征向量。现在我把情况——我们应该说什么情况?情况,y0, y为0开始。Y(0)为一些c1 x1 + c2 x2。是的,没有问题,没有问题。无论我们有什么,我们把这个向量和特征向量的组合会给我们y为0。
现在t的y c1 e 0 t—e的λ1 x1,对吧?你看,我们从c1x1但在时间t,要么是lambda t和c2。E的λ2 - 3 t x2。马尔可夫过程的进化,一个连续马尔可夫过程。一个矩阵的权力相比,这是一个不断进化的进化这个向量。
现在,我感兴趣的稳定状态。稳定状态是当t大时会发生什么。当t变大,这个数字很快0。在马尔可夫矩阵的例子中,我们有1/2的权力,迅速到0。现在我们有指数- 3,趋于零。E 0 t是1。这个e 0 t = 1。所以,1是一个稳定的状态的信号。没有改变,没有根据,只是坐在那里。所以我有c1x1是稳定状态。
和x1是这样的。所以我在想什么?我认为无论你如何开始,无论y(0)是什么,随着时间的推移,x2的部分会消失。如果你只有x1参与这一比例2:1。再一次,如果我们有运动Y1 Y2或者我们之间的事情发展,稳定状态——这是稳定状态。
有一个微分方程的例子,正好有一个马尔可夫矩阵。和一个马尔可夫矩阵,然后我们知道我们将有一个特征值——在连续情况和负特征值会随着时间的推移消失。E - 3 t趋于0。好。
我想我可能会加一点这个视频,这是解释为什么是0时一个特征值时,如果该列添加到0,- 1 + 1 = 0。2 - 2是零。告诉我一个特征值是0。对于一个马尔可夫矩阵赋予的列添加到1和1是一个特征值。
所以我猜我现在下面的两个例子。如果所有列添加一些——我说的和,求和,然后λ等于年代是一个特征值。这是重点从马尔可夫矩阵s是1。每一列添加到1然后λ= 1是一个特征值。和视频,每一列添加到0然后λ等于0是一个特征值。
而且,这是另一个点特征值,好。转置矩阵的特征值与特征值相同的所以我也可以说如果添加的所有行,然后λ= s是一个特征值。我说转置一个矩阵的特征值和特征值是相同的。也许你想知道为什么这是真的。
如果我想要一个矩阵的特征值,我看看行列式λ- a给我如果我想要的特征值的特征值转置,我会看看这个= 0,对吧?这等于0。这个方程的特征值会给我'就像给我的特征值。
但是为什么他们是一样的吗?因为一个矩阵的行列式和其转置矩阵的行列式是相等的。其转置矩阵和行列式相同。让我检查与A, B, C, d和转置将A、C、B、d和行列式在这两种情况下是AD - BC, AD - BC。更换不影响。
这,这是一样的。和λ是相同的。因此我们可以看看列或行添加到年代。
这就解释了为什么这两个语句都是真因为我可以看看行或列,得出这个结论。如果所有列添加到s——为什么,或添加到s所有行吗?我来,我就给你的特征向量。
在这种情况下,一次将所有的特征向量。假设矩阵是4×4。如果我用的,当你用一个矩阵乘以一个向量的,然后这一行的点积之和,是+ + +,将我们。这将是年代因为这第一行——这是第一行的增加。
所以这些数字增加s, s。这些数字增加,我得到了。这些数字增加。而这些,最后这些数字添加到s, s * 1, 1, 1, 1。
你还好吗?当所有的行添加到年代,我可以告诉你什么是特征向量,1,1,1,1。特征值,我可以看到,这是和s。所以,对于特殊矩阵,在这种情况下以马尔可夫的名字命名,我们能够对他们的特征值识别重要的事实,这是常见的行和等于1的权力和年代等于0在这个视频,让我降低的情况。
这里,每一列添加到0。它没有发生,行添加到0。我不要求。我只是说不管怎样,或转置有相同的特征值,其中一个是0,另一个是任何跟踪告诉我们,那个。
这些收集有用的事实特征值出现当你有一个特殊的矩阵和你需要了解它的特征值。好的,谢谢你。
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