简化高阶植物模型

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这个例子展示了如何使用鲁棒控制工具箱™通过更简单的低阶模型来近似高阶对象模型。

介绍

鲁棒控制工具箱提供了处理大型模型的工具，如:

高阶植物:详细的第一性原理或有限元模型的工厂往往有高阶。通常我们想要简化这类模型以进行模拟或控制设计。
高阶控制器:鲁棒控制技术通常产生高阶控制器。例如，当我们使用频率加权函数来塑造开环响应时，这是常见的。我们希望简化这些控制器的实现。

为了控制目的，一般来说，在交叉频率附近有一个精确的模型就足够了。对于仿真而言，只要在激励信号的频率范围内捕捉到基本的动态就足够了。这意味着通常可以找到高阶模型的低阶近似。鲁棒控制工具箱提供了各种模型缩减算法，以最适合您的要求和您的模型特性。

模型约简过程

模型缩减任务通常包括以下步骤:

分析模型的重要特性，从其时域或频域响应得到步或波德例如
通过绘制原始模型的Hankel奇异值来确定适当的降阶(汉克尔斯夫)来确定哪些模式(状态)可以在不牺牲关键特性的情况下丢弃。
选择一个约简算法。工具箱中可用的一些还原方法有:平衡，bstmr，舒尔姆，hankelmr,中心

我们可以很容易地通过顶级接口访问这些算法减少。这些方法在原始模型和简化模型之间采用了不同的“贴近度”度量。选择取决于应用程序。让我们尝试每种方法，以研究它们的相对优点。

验证:我们通过比较简化模型和原始模型的动态来验证我们的结果。如果结果不令人满意，我们可能需要调整我们的约简参数(模型顺序的选择，算法，误差边界等)。

示例：建筑物刚体运动的模型

在本例中，我们将简化方法应用于洛杉矶大学医院大楼的模型。该模型取自SLICOT工作说明2002-2，“线性时不变动力系统模型简化的基准示例集合，”由Y.Chahlaoui和P.V.Dooren设计。它有八层，每层有三个自由度——两个位移和一个旋转。我们使用48状态模型表示这些位移中任何一个的输入-输出关系，其中每个状态表示位移或其变化率（速度）。

让我们为示例加载数据:

负载buildingData.mat

检验植物动态

让我们从分析模型的频率响应开始:

波德(G)网格在

图中包含2个轴对象。axis对象1包含一个类型为line的对象。这个对象表示G. Axes对象2包含一个类型为line的对象。这个对象表示G。

图1:波德图分析频率响应

从模型的频率响应可以看出，系统的本质动力学是在3 - 50弧度/秒的频率范围内。震级在极低和高频范围都下降。我们的目标是找到一个低阶模型，在这个频率范围内保持一个可接受的精度水平的信息内容。

计算汉克尔奇异值

要了解模型的哪些状态可以安全地丢弃，请查看模型的Hankel奇异值：

hsv_add=汉克尔斯夫（G）；酒吧（hsv_add）标题(“模型（G）的Hankel奇异值”）;包含(“国家数目”) ylabel (“奇异值(\ sigma_i)”)行([10.5 10.5]，[0 1.5e-3]，“颜色”，“r”，“线条样式”，“——”，“线宽”1)文本(6日,1.6 e - 3,“10占主导地位的国家。”）

图中包含一个轴对象。标题为Hankel模型奇异值(G)的坐标轴对象包含bar、line、text三个类型的对象。

图2:模型的Hankel奇异值（G）。

汉克尔奇异值图表明，该系统存在四种主导模态。然而，其余模式的贡献仍然是显著的。我们将在10个状态处画一条线，并丢弃剩下的状态，以找到一个10阶简化模型Gr这最接近于原始系统G．

使用附加误差界执行模型缩减

这个函数减少是工具箱中可用的所有模型简化例程的入口。我们将使用默认的平方根余额截断('balancmr')选项减少作为第一步，该方法使用“加法”误差界进行缩减，这意味着它试图在频率范围内保持绝对近似误差均匀较小。

%计算10阶简化模型(reduce默认使用balancmr方法)[Gr_add, info_add] =减少(G, 10);现在比较原始模型G和简化后的模型Gr_add波德(G,“b”，Gr_add，“r”)网格在头衔('比较原始(G)和简化模型(Gr\_add)')传奇(“G - 48州原创”，` Gr\_add - 10-state reduced `，“位置”，“东北”）

$图中包含2个轴对象。坐标轴对象1包含2个类型为line的对象。这些对象表示原始G - 48状态，还原Gr\\_add - 10状态。axis对象2包含2个类型为line的对象。这些对象表示原始G - 48状态，还原Gr\\_add - 10状态。$

图3:比较原始(G)和简化模型(Gr_add)

使用乘法误差界进行模型约简

从图3的Bode图中可以看出，简化模型可以很好地捕获低于30 rad/s的共振，但在低频区域(<2 rad/s)的匹配很差。此外，简化模型没有充分捕捉30-50 rad/s频率范围内的动态。低频误差大的一个可能解释是，模型在这些频率上的增益相对较低。因此，即使在这些频率上有很大的误差，对总体误差的贡献也很小。

为了解决这个问题，我们可以尝试乘法误差法，例如bstmr. 该算法强调相对误差而不是绝对误差。因为当增益接近零时，相对比较不起作用，所以我们需要添加一个最小增益阈值，例如添加一个馈通增益D假设我们不担心增益低于-100 dB时的误差，我们可以将馈通设置为1e-5。

GG=G；GG.D=1e-5；

现在，让我们看看乘法(相对)错误的奇异值(使用的'mult'选项)汉克尔斯夫）

hsv_mult=hankelsv（GG，“乘”）;标题栏(hsv_mult) (“模型乘法误差奇异值(G)”）;包含(“国家数目”) ylabel (“奇异值(\ sigma_i)”）

图中包含一个Axis对象。标题为“模型（G）的乘性误差奇异值”的Axis对象包含一个bar类型的对象。

图4:模型乘法误差奇异值(G)

26阶模型看起来很有希望，但为了与之前的结果进行比较，我们还是坚持减少10阶。

%使用bstmr算法选项进行模型简化[Gr_mult, info_mult] =减少(GG 10“算法”，“英国”）;%现在比较原始模型G和简化模型Gr_mult波德(G, Gr_add Gr_mult,{1飞行,1 e4}),网格在头衔(“将原始模型（G）与简化模型（Gr\\ U add和Gr\\ U mult）进行比较”)传奇(“G - 48州原创”，Gr \ _add (balancmr)”，“Gr\_mult（bstmr）”一词，“位置”，“东北”）

$图中包含两个轴对象。轴对象1包含3个line类型的对象。这些对象表示G-48状态原始、Gr\\\\ U添加（balancmr）、Gr\\\\ U mult（bstmr）。轴对象2包含3个line类型的对象。这些对象表示G-48状态原始、Gr\\\\ U添加（balancmr）、Gr\\\\ U mult（bstmr）。$

图5:比较原始(G)与简化模型(Gr_add和Gr_mult)

使用乘法误差法，原始模型和简化模型之间的拟合要好得多，即使在低频率下。我们可以通过比较阶跃响应来证实这一点:

步骤(G, Gr_add Gr_mult 15)%阶跃响应直到15秒传奇(“G:48州原文”，“Gr \ _add:十余个州(balancmr) '，“Gr \ _mult:十余个州(bstmr) '）

$图中包含一个轴对象。轴对象包含3个类型为line的对象。这些对象表示G: 48-state original, Gr\\_add: 10-state (balancmr)， Gr\\_mult: 10-state (bstmr)。$

图6:三种模型的阶跃响应

验证结果

所有的算法都提供近似误差的界限。对于加法错误方法平衡时，近似误差由误差模型的峰值(最大)增益测量G-Greduced在所有频率上。该峰值增益也称为误差模型的H无穷范数。加法误差算法的误差界如下所示：

$‖ G - G r_{一个 d d} ‖_{\infty} \leq 2 \sum_{我＝ 11}^{48} σ_{我} ：＝ E r r o r B o u n d$

其中，和等于G（第11条至第48条）高铁加)．我们可以通过比较不等式的两边来验证这个界是满足的:

标准（G-Gr_添加，inf）%实际误差

ans = 6.0251 e-04

%理论边界(存储在“INFO”的“ErrorBound”字段中)%由| reduce |返回的结构信息添加错误绑定

ans = 0.0047

对于乘法误差方法，例如bstmr，近似误差由相对误差模型跨频率的峰值增益来测量G\（G-减少）. 错误界限如下所示

$‖ G^{- 1} （ G - G r_{米 u l t} ） ‖_{\infty} \leq \prod_{我＝ 11}^{48} （ 1 + 2 σ_{我} （ σ_{我} + \sqrt{1 + σ_{我}^{2}} ）） - 1 ：＝ E r r o r B o u n d$

和在哪里乘法汉克尔奇异值的计算hankelsv (G,“乘”)．同样，我们可以比较简化模型的这些边界Gr_mult

标准（GG\（GG-Gr_mult），inf）%实际误差

ans = 0.5949

%的理论束缚信息多个错误绑定

ans=546.1730

画出相对误差以作确认

bodemag (GG \ (GG-Gr_mult){1飞行,1 e3})网格在文本(0.1,-50,峰值增益:-4.6 dB (59%)， 17.2 rad/s)头衔(“原始模型（G）和简化模型（Gr\\\ mult）之间的相对误差”）

图中包含一个Axis对象。Axis对象包含两个line、text类型的对象。该对象表示untitled1。

图7:原始模型(G)与简化模型(Gr_mult)的相对误差

从上面的相对误差图来看，17.2 rad/s的相对误差高达59%，这可能超过了我们愿意接受的范围。

选择与期望的精度水平兼容的最低顺序

提高准确度Gr_mult，我们需要增加阶数。为了达到至少5%的相对精度，我们能得到的最低阶数是多少？函数减少可以自动选择符合我们所需精度水平的最低阶模型。

%指定最大5%的近似误差[gre,信息]=减少(GG,“ErrorType”，“乘”，“MaxError”，0.05）；尺寸（灰色）

状态空间模型，包含1个输出，1个输入和35个状态。

该算法选择了一个34状态的简化模型格雷德．将实际误差与理论界限进行比较:

标准（GG\（GG Gred），inf）

ans = 0.0068

info.ErrorBound

ans = 0.0342

看看相对误差大小作为频率的函数。更高的精度是以更大的模型顺序为代价的(从10到34)。注意，实际的最大误差是0.6%，远远低于5%的目标。这种差异是函数的结果bstmr使用错误界限而不是实际错误来选择订单。

bodemag (GG \ (GG-Gred) {1 1 e3})网格在文本(-75,峰值增益:在73.8 rad/s时为-43.3 dB (0.6%))头衔(原始模型(G)与简化模型(Gred)的相对误差）

图中包含一个Axis对象。Axis对象包含两个line、text类型的对象。该对象表示untitled1。

图8:原始模型（G）和简化模型（Gred）之间的相对误差

比较博德的响应

bode（G，Gred，{1e-2,1e4}）格在传奇(“G-48国家原创”，“Gred-34州减少”）

图中包含2个轴对象。轴对象1包含2个line类型的对象。这些对象表示G-48状态原始，Gred-34状态简化。轴对象2包含2个line类型的对象。这些对象表示G-48状态原始，Gred-34状态简化。

图9:48态原始模型和34态简化模型的Bode图

最后比较了原始模型和简化模型的阶跃响应。它们实际上是无法区分的。

步骤（G），“b”，格雷德，“r——”,15)%阶跃响应直到15秒传奇(“G:48州原文”，'格雷德：34州（bstmr）')文本（5，-4e-4，“最大相对误差<0.05”）

图中包含一个Axis对象。Axis对象包含3个line、text类型的对象。这些对象表示G:48状态原始，Gred:34状态（bstmr）。

图10：48状态原始模型和34状态简化模型的阶跃响应图

另请参阅

汉克尔斯夫|减少

鲁棒控制工具箱文档

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