你好。我是克里夫硅藻土,创始人之一兼数学家MathWorks。这一系列的视频是关于在MATLAB求解常微分方程。我们可以首先回忆导数的定义。一个函数的导数点的切线的斜率是函数的图形。
我们的数值近似将依靠割线的斜率图。通过两个点的一条线,相隔一段距离h。我们会有很多要说的步长h。重要的是意识到的是,当h趋于0,割线的斜率方法切线的斜率。
左右摇摆的等号意味着约等于。t0的地方我们找到近似。导数的值在t0约等于割线的斜率。割线的斜率是y值的变化/ t值的变化。y值的变化是y的两个值之间的差别。t值的变化步长h。
如果我们重写这个,我们得到y的值在t0 + h约等于y的值在t0 + h * y '在t0的价值。这是我们的第一个数值方法的基础,欧拉方法。
欧拉是十八世纪的瑞士数学家,可能他的时代最具影响力的数学家。他作出了重要贡献广泛的领域数学、物理学和天文学。例如,他发明了函数的概念。
微分方程是由这两个变量的函数f t y。和任务,一般来说,是要找到一个导数的函数y = f。现在,有很多导数的函数y = f。那里有一个初始条件,to,或t0,和一个值y0,初始条件是y在t0应该等于y0。
这里有一些例子。复利问题就是利率乘以y。这里的t、y的函数实际上并不取决于t,它在y。初始条件是线性时间0。有指定值y,像100美元。这就是复利问题。
这是逻辑斯蒂方程。非线性方程,这里f (t)和y又不依赖t。这是另一个常数乘以常数乘以y - y的平方。逻辑斯蒂方程。再一次,在指定的值是0。假设y (0 = 1。
这是另一个非线性方程。f (t)和y是t方+ y的平方。不可能找到一个这个方程解析解。我们将使用这些找到一些数值方法解这个方程。初始条件,y为0 = 0。这是t的函数和y的一个例子。
欧拉方法实际上并不是一个实际的数值方法,。我们只是用它来让我们开始思考的想法基本数值方法。欧拉方法t an涉及一系列的点,由一个固定的步长h。然后y an近似t下标n值的解决方案。
近似来自割线的斜率,y的值之差的比值和步长h。微分方程说,这个比例应该的价值函数t下标n。如果我们重新安排这个方程,我们得到欧拉方法,yn + 1 = yn + h乘以评估函数f d an和y下标n。这是欧拉方法。
我们现在准备好了我们的第一个MATLAB程序,ODE1。它叫做ODE1因为它是我们的第一个项目,因为它评估函数,定义了微分方程一次每一步。有五个输入参数。第一个是f,一个函数,定义了微分方程。这是一个匿名函数。我要多讨论那个问题。
其他四个是标量数值。前三个定义区间的集成。我们要从t0 tfinal步骤h。第五个输入参数是y0,初始值。输出是一个矢量。向量你解决方案的价值点的间隔。
我们先把y0,初始值,然后把y到输出向量。函数的主体是一个for循环。t从t0的步骤h缺tfinal一步,最后通过代码的身体需要t tfinal。
我们评估函数f t、y。这给了我们一个斜率s s是斜坡。这是欧拉的一步。的当前值y。添加h乘以斜率。给了我们一个新值,y, y是附加到你。这个MATLAB建设方括号向量y,增加了另一个价值,让它长一个元素,并将结果回你。这是整个代码。这是它。这是实现ODE1欧拉方法。
第一个参数的MATLAB解决歌唱是一个函数的名称指定了微分方程。这就是所谓的一个处理函数。得到一个函数处理最简单的方法是使用一个匿名函数创建&或标志。所有的微分方程涉及匿名函数的两个变量,t和y。所以我们在括号f = t逗号y闭括号。这是紧随其后的任何表达式包括t或y。和他们中的许多人不依赖t。
这是一个匿名函数定义我们的兴趣问题。我们可以评估这像任何普通的函数。当y = 1时,f(1)是0.06。这里有一个例子的一个函数,取决于两个t、y的函数可以包含常量值。这里我们可以定义两个常数。然后我们可以使用这两个常量定义逻辑斯蒂方程,f的y - b * y的平方。再次,这是一个自治方程实际上并不取决于t。
让我们看看欧拉方法和ODE1工作在这个简单的示例中,y ' = 2 y与初始条件之间的间隔t y(0) = 10 0和3。我们定义匿名函数f (t)和y y = 2。初始条件在t0 = 0。我们需要一个步长为1。去tfinal = 3,从y0 = 10。这是我们的电话到ODE1。
我们有一个动画显示这些步骤。在t0 = 0开始,y0 = 10。这是我们的第一点。我们评估函数。我们得到一个20的斜率。这是2乘以10。我们把一个欧拉步的长度是1的第一步。这就引出了第二个,0.30。评估函数。2 * 30 = 60。 That's our slope.
采取第二步y2。y2是90。评估函数。得到2乘以90等于180。这给了我们斜率。一步跨间隔与斜率和让我们第三点。第三点是270。这是结束的集成。这是三个欧拉步骤从t0 tfinal。
欧拉方法计算复利实际上是一样的。让我们来做一个复利问题。定义的利率。定义我们的匿名函数使用,利率。在时刻0开始。一个月走的步骤。去10年。从100美元开始。这是我们的结果使用ODE1计算复利。,121年的数字。
MATLAB实际上有一个格式看美元和美分。在这里他们是美元和美分。从100美元开始,每月复利计算,我们得到了略高于180美元。我要的情节。所以我想要一个月时间向量。
和我真正想要的比较简单的兴趣。这是你如何计算单利,0.50美元一个月。然后现在我们这两个情节。直线是单利,高达160美元。和蓝线是复利。有一个轻微向上弯曲,让我们达到180美元。这里每个月一个点,当我们显示欧拉方法的结果,,就像我说的,是一样的计算复利。
最后,这是一个练习。找到产生的微分方程线性增长。并重新运行这个示例使用ODE1两次,一次计算复利,一次计算单利。
