长死期过程的控制:史密斯预测器

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这个例子展示了PI控制在长死区过程中的局限性，并说明了一种名为“Smith Predictor”的控制策略的好处。

这个例子的灵感来自于:

陈志强，“死区补偿控制器的鲁棒调谐程序”，控制工程实践，9,2001，第1195-1208页。

流程模型

过程开环响应模型为一阶加死区时间，时间常数为40.2秒，延时为93.9秒:

s =特遣部队(“年代”）;P = exp(-93.9*s) * 5.6/(40.2*s+1);P.InputName =“u”；P.OutputName =“y”；P

P =从输入u到输出y: 5.6 exp(-93.9*s) * ---------- 40.2 s + 1连续时间传递函数。

注意延迟是时间常数的两倍多。这个模型代表了许多化学过程。它的阶跃响应如下所示。

步骤(P)、网格在

比例积分控制器

比例积分(PI)控制是过程控制中常用的控制方法。相应的控制体系结构如下所示。

补偿器C是一个标准形式的PI控制器，具有两个调谐参数:比例增益Kp积分时间“透明国际”．我们使用PIDTUNE命令设计PI控制器，开环带宽为0.006 rad/s:

Cpi = pidtune (P, pidstd (1, 1), 0.006);消费者价格指数

Cpi = 1 1 Kp *(1 + ---- *——)Ti s, Kp = 0.0501, Ti = 47.3标准形式的连续时间PI控制器

为了评估PI控制器的性能，关闭反馈回路并模拟参考信号的阶跃变化的响应ysp输出干扰信号d．由于反馈路径的延迟，需要进行转换P或消费者价格指数的状态空间表示党卫军命令:

Tpi =反馈(P * Cpi, 1, 1, 1, 1);闭环模型[ysp;dTpi。InputName = {“ysp”' d '};步骤(Tpi)、网格在

闭环响应具有可接受的超调量，但有点迟缓(大约在600秒内稳定下来)。增加比例增益Kp会加快响应速度，但也会显著增加超调量，并迅速导致不稳定:

Kp3 = (0.06; 0.08; 0.1);尝试增加三个Kp值Ti3 = repmat (Cpi.Ti 3 1);% Ti保持不变C3 = pidstd (Kp3 Ti3);%对应三个PI控制器T3 =反馈(P * C3, 1);T3。InputName =“ysp”；步骤(T3)标题(增加Kp时的稳定性损失）

长死区时间严重限制了PI控制器的性能。这是因为PI控制器不知道死区时间，当实际输出时反应太“不耐烦”y不符合期望的设定值ysp．每个人在淋浴时都经历过类似的现象，水温需要很长时间来调整。在这种情况下，不耐烦通常会导致热水和冷水交替咒骂。一个更好的策略是等待温度设定的变化生效，然后再做进一步的调整。一旦我们知道了哪个旋钮设定的温度是我们最喜欢的，我们就能在淋浴发生反应的时间内获得合适的温度。这种“最优”控制策略是Smith Predictor方案背后的基本思想。

史密斯预测器

Smith Predictor控制结构如下图所示。

史密斯预测器使用一个内部模型全科医生预测过程的无延迟响应yp(例如，给定的旋钮设置将提供的水温)。然后将这个预测yp与期望的设定值ysp进行比较，以决定需要哪些调整(控制u)。为了防止漂移和拒绝外部干扰，史密斯预测器还将实际过程输出与预测进行比较日元这也考虑到了死时间。的差距dy = y-y1通过滤波器F反馈，并对整体误差信号作出贡献e．请注意,dy等于感知到的温度失配后等着淋浴有反应。

部署Smith Predictor方案需要

一个模型全科医生过程动力学和估计τ进程死时间

适当的补偿器和滤波器动态设置(C和F）

基于流程模型，我们使用:

$$ G_p (s) ={5.6 \ /(1 + 40.2年代}\τ= 93.9 $$

为F，使用一个20秒时间常数的一阶滤波器来捕获低频干扰。

F = 1 / (20 * s + 1);F.InputName =“dy”；F.OutputName =“迪拜”；

为C，我们重新设计了PI控制器与整体工厂看到的PI控制器，其中包括动力学从P，全科医生，F和死时间。在史密斯预测器控制结构的帮助下，我们能够增加开环带宽，以实现更快的响应，并增加相位裕度，以减少超调。

%的过程P = exp(-93.9*s) * 5.6/(40.2*s+1);P.InputName =“u”；P.OutputName =“y0”；%预测模型Gp = 5.6 / (40.2 * s + 1);全科医生。InputName =“u”；全科医生。OutputName =“yp”；Dp = exp (-93.9 *);Dp。InputName =“yp”；Dp。OutputName =“日元”；%整体植物S1 = sumblk ('ym = yp + dp'）;S2 = sumblk ('dy = y0 - y1'）;工厂=连接(P, Gp, Dp, F, S1, S2,“u”，“ym”）;%设计PI控制器，具有0.08 rad/s带宽和90度相位裕度选择= pidtuneOptions (“PhaseMargin”, 90);C = pidtune(植物、pidstd(1, 1), 0.08,选项);C.InputName =“e”；C.OutputName =“u”；C

C = 1 1 Kp *(1 + ---- *——)Ti s带有Kp = 0.574, Ti = 40.2的标准形式的连续时间PI控制器

PI控制器与Smith预测器的比较

为了比较两种设计的性能，首先推导出闭环传递函数ysp d来y用于Smith Predictor体系结构。为了方便连接所涉及的所有块，命名它们所有的输入和输出通道并让连接做连接:

%从[y_sp,d]到y组装闭环模型Sum1 = sumblk ('e = ysp - yp - dp'）;Sum2 = sumblk ('y = y0 + d'）;Sum3 = sumblk ('dy = y - y1'）;T =连接(P, Gp, Dp, C、F Sum1, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“y”）;

使用一步比较Smith Predictor(蓝色)和PI控制器(红色):

步骤(T)“b”Tpi,“r——”网格)在传奇(“史密斯预测器”，比例积分控制器的）

史密斯预测器提供了更快的响应，没有超调。这种差异在频域也可见，通过绘制闭环波德响应ysp来y．请注意Smith Predictor的更高带宽。

波德(T (1, 1),“b”Tpi (1,1),“r——”1}、{1 e - 3)网格在传奇(“史密斯预测器”，比例积分控制器的）

模型失配的鲁棒性

在前面的分析中，内部模型

$$ G_p(s) e^{-\ s}$

匹配流程模型P完全正确。在实际情况中，内部模型只是真实过程动态的一个近似，因此理解Smith Predictor对过程动态和死时间的不确定性的鲁棒性是很重要的。

考虑两个代表过程参数不确定性范围的受扰植物模型:

P1 = exp(-90*s) * 5/(38*s+1);P2 = exp(-100*s) * 6/(42*s+1);波德(P, P1, P2),网格在标题(“标称和扰动过程模型”）

为了分析鲁棒性，将标称模型和扰动模型收集到一组过程模型中，重建PI和Smith Predictor设计的闭环传递函数，并模拟闭环响应:

植物=堆栈(1,P, P1, P2);%流程模型数组T1 =连接(植物、全科医生、Dp、C、F, Sum1, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“y”）;%史密斯Tpi =反馈(植物* Cpi, 1, 1, 1, 1);%π步骤(T1,“b”Tpi,“r——”网格)在传奇(“史密斯预测器1”，比例积分控制器的）

两种设计都对模型不匹配很敏感，闭环Bode图证实了这一点:

波德(T1 (1, 1),“b”Tpi (1,1),“r——”网格)在传奇(“史密斯预测器1”，比例积分控制器的）

提高鲁棒性

为了降低Smith Predictor对建模错误的敏感性，检查内圈和外圈的稳定裕度。内循环C有开环传输C *的全科医生因此，稳定性裕度由

利润(C * Gp)标题(“内循环的稳定裕度(C)”）

内环有舒适的增益和相位裕度，所以接下来关注外环。使用连接导出开环传递函数l从ysp来dp内环关闭时:

Sum1o = sumblk ('e = ysp - yp'）;%在dp处打开回路L =连接(P, Gp, Dp, C、F Sum1o, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“迪拜”）;bodemag (L (1,1))

这个传递函数本质上是零，这是当过程和预测模型完全匹配时所期望的。为了深入了解外环的稳定边际，我们需要使用一个扰动过程模型，例如，P1：

H =连接(植物(:,:2),Gp, Dp, C, Sum1o, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“dy”）;H = H (1,1);%开环转移L = f * h;保证金(L)标题(“外环的稳定裕度(F)”网格)在；xlim([1依照1]);

增益曲线在0.04 rad/s附近有一个驼峰，这降低了增益裕度并增加了闭环阶跃响应中的驼峰。要解决这个问题，请选择一个过滤器F更早、更迅速地完成:

F = (1 + 10 * s) / (1 + 100 * s);F.InputName =“dy”；F.OutputName =“迪拜”；

验证增益裕度在0.04 rad/s相位交叉点附近得到改善:

L = f * h;保证金(L)标题(“修正F外环的稳定裕度”网格)在；xlim([1依照1]);

最后，用改进后的滤波器模拟闭环响应:

T2 =连接(植物、全科医生、Dp、C、F, Sum1, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“y”）;步骤(T2,“b”Tpi,“r——”网格)在传奇(《史密斯预测2》，比例积分控制器的）

改进的设计提供了更一致的性能，但牺牲了稍慢的标称响应。

提高抗干扰性

的闭环传递函数的公式d来y说明。的最优选择F是

$F(s) = e^{\tau s}$

在哪里τ是内部模型的死时间。这种选择实现了完美的干扰抑制，不管之间的不匹配P和全科医生．不幸的是，这种“消极延迟”不是因果关系，也无法实施。摘要:

黄,H.-P。，et al., "A Modified Smith Predictor with an Approximate Inverse of Dead Time," AiChE Journal, 36 (1990), pp. 1025-1031

作者建议使用相位超前近似:

$e $ $ ^{\τs} \大约{1 + B (s) \ / (1 + B (s) e ^{- \τs}} $ $$

在哪里B低通滤波器是否与内部模型具有相同的时间常数全科医生．您可以测试该方案如下:

定义B(s)和F(s)

40 * s + B = 0.05 / (1);τ= totaldelay (Dp);F = (1 + B) / (1 + B * exp(τ* s));F.InputName =“dy”；F.OutputName =“迪拜”；

重新设计带带宽的PI控制器

工厂=连接(P, Gp, Dp, F, S1, S2,“u”，“ym”）;C = pidtune(植物、pidstd (1, 1), 0.02, pidtuneOptions (“PhaseMargin”, 90));C.InputName =“e”；C.OutputName =“u”；C

C = 1 1 Kp *(1 + ---- *——)Ti s with Kp = 0.144, Ti = 40.1 standard形式的连续时间PI控制器

计算闭环模型T3

T3 =连接(植物、全科医生、Dp、C、F, Sum1, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“y”）;

比较T3、T2和Tpi

步骤(T2,“b”T3,‘g’Tpi,“r——”网格)在传奇(《史密斯预测2》，“史密斯预测3 '，比例积分控制器的）

这个比较表明，我们最后的设计以较慢的设定值跟踪为代价，加快了抗扰能力。