如何构造样条
这个示例展示了如何使用曲线拟合工具箱™中的样条函数以各种方式构造样条。
插值
你可以构造一个三次样条interpolant它与余弦函数在以下位置相匹配x,使用csapi命令。
X = 2*pi*[0 1 .1:.2:.9];y = cos (x);c = csapi (x, y);
然后您可以通过使用fnplt．
fnplt (cs, 2);轴([-1 7 -1.2 1.2])保持在情节(x, y,“o”)举行从
检查Interpolant
余弦函数是2*周期函数。三次样条插值在这方面做得如何?一种检查方法是计算两个端点的一阶导数的差。
fnval(fnder(cs)， [0 2*pi]))
ans = -0.1375
要加强周期性，请使用csape而不是csapi．
CSP = cape (x, y，“周期”）;持有在fnplt (csp,‘g’)举行从
现在支票出了
fnval(fnder(csp)， [0 2*pi]))
ans = -2.2806 e-17
甚至二阶导数现在在端点上也匹配了。
fnval(fnder(csp, 2)， [0 2*pi]))
ans = -2.2204 e-16
的分段线性interpolant同样的数据可以通过spapi．在这里，我们将它添加到前面的图中，用红色表示。
Pl = spapi(2, x, y);持有在fnplt (pl,“r”, 2)从
平滑
如果数据有噪声，通常需要近似而不是插值。以这些数据为例
x = linspace(0, 2 *π,51);噪声y_y = cos(x) + 2*(rand(size(x))-.5);情节(x, noisy_y,“x”)轴([-1 7 -1.2 1.2])
插值将给出下面蓝色显示的摆动插值。
持有在Fnplt (csapi(x, noisy_y))保持从
相反，用适当的公差进行平滑
托尔=(. 05)^ 2 *(2 *π)
托尔= 0.0157
给出一个平滑的近似，如下红色所示。
持有在spaps(x, noisy_y, tol)，“r”2) hold从
在区间的端点附近，近似要差得多，而且远不是周期性的。为了增强周期性，对周期性扩展的数据进行近似，然后将近似限制在原始区间内。
Noisy_y ([1 end]) = mean(Noisy_y ([1 end]))lx =长度(x);lx2 =圆(lx / 2);Range = [lx2:lx 2:lx2:lx2];sps = spaps ([x (lx2: lx) 2 *π(2:lx) x (2: lx2) + 2 *π),noisy_y(范围),2 * tol);
这给出了更接近周期的近似，用黑色表示。
持有在fnplt (sps(0 2 *π)“k”, 2)从
最小二乘近似
或者，您可以使用最小二乘逼近噪声数据的样条具有几个自由度。
例如，您可以尝试只包含四个部分的三次样条。
Spl2 = spap2(4,4, x, noisy_y);fnplt (spl2“b”2);轴([-1 7 -1.2 1.2])保持在情节(x, noisy_y,“x”)举行从
选择结
当使用spapi或spap2，通常需要指定一个特定的样条空间。这是通过指定a来完成的结序列和一个订单，这可能会有一点问题。然而，当做样条插值时x, y数据使用样条顺序k，可以使用该函数optknt提供一个好的结序列，如下面的例子所示。
k = 5;%阶5，即，我们正在处理四次样条X = 2*pi*排序([0 1 rand(1,10)]);y = cos (x);Sp = spapi(optknt(x,k)， x, y);fnplt (sp 2‘g’）;持有在情节(x, y,“o”)举行从轴([-1 7 -1.1 1.1])
在进行最小二乘近似时，您可以使用当前近似来确定一个可能更好的结选择newknt．例如，下面对指数函数的近似并不是很好，这可以从它的误差中看出，用红色标出。
x = linspace (0, 10101);y = exp (x);Sp0 = spap2(augknt(0:2:10,4)， 4, x, y);情节(x, y-fnval (sp0 x),“r”，“线宽”, 2)
但是，你可以用这个初始近似来创建另一个相同结点的数量，但它们分布得更好。它的误差用黑色标出。
Sp1 = spap2(newknt(sp0)， 4, x, y);持有在情节(x, y-fnval (sp1, x),“k”，“线宽”, 2)从
网格数据
曲线拟合工具箱中的所有样条插值和逼近命令也可以处理任意数量的网格数据。
例如，这是一个墨西哥帽函数的双三次样条插值。
x =。+ (4:.2:4);y = 3: .2:3;(yy, xx) = meshgrid (y、x);r =π* sqrt (xx。^ 2 + yy。^ 2);z =罪(r)。/ r;BCS = csapi({x,y}， z);Fnplt (bcs)轴([-5 5 5 -。5 (1)
这是最小二乘逼近同一网格上同一函数的噪声值。
notsx = augknt(linspace(x(1)， x(end)， 21)， 4);= augknt(linspace(y(1)， y(end)， 15)， 4);bsp2 = spap2 ({knotsx, knotsy}, (4 - 4), {x, y}, z + .02 *(兰德(大小(z))));Fnplt (bsp2)轴([-5 5 5 -。5 (1)
曲线
曲线拟合工具箱可以方便地处理网格数据向量值样条函数。这也使得处理参数曲线变得容易。
例如，这里是一个近似无穷大，通过将三次样条曲线通过下图中标记的点得到。
t = 0:8;x = [0 0;1 1;]1 -1;0 0;1 1;-1.7 0;1 1;0 0]。”;inty = cape (t, xy，“周期”）;Fnplt (infty, 2)轴([-2 2 -1.1 1.1])保持在情节(xy (1:), xy (2:)“o”)举行从
这是同样的曲线，但在三维空间中有运动。
滚子= cape (t， [xy;0 1/2 1/2 0 1/2 0]，“周期”）;Fnplt(滚筒，2，[0 4]，“b”)举行在Fnplt(滚筒，2，[4 8]，“r”) plot3 (0, 0, 0,“o”)举行从
曲线的两半用不同的颜色画出来，原点被标记出来，这有助于可视化这条双翼空间曲线。
表面
值在R^3的二元张量积样条给出曲面。例如，这是一个很好的环面近似。
x = 0:4;y = 2:2;R = 4;r = 2;v = 0(3、5、5);v(3，:，:) = [0 (R-r)/2 0 (R-r)/2 0]。'*[1 1 1 1 1];v(2，:，:) = [R (R +R)/ 2r (R +R)/ 2r]。'*[0 1 0 -1 0];v(1，:，:) = [R (R +R)/ 2r (R +R)/ 2r]。'*[1 0 -1 0 1];dough0 = csape ({x, y}, v,“周期”）;fnplt (dough0)轴平等的,轴从
这是那个表面的法线冠。
nx = 43;nx的xy = [(1);linspace (2, 2, nx)];点= fnval (dough0 xy) ';各级= fnval (fndir (dough0、眼睛(2)),xy);法线=交叉(接单(4:6 -:),各级(1:3,:));法线= (normals. / repmat(√sum(法线。*法线)),3,1))';pn =[点,点+法线];持有在为j = 1: nx plot3 (pn ([j, j + nx], 1), pn ([j, j + nx], 2), pn ([j, j + nx], 3))结束持有从
最后，这是它在(x,y)平面上的投影。
fncmb(dough0， [1 0 0;([-5.25 5.25 -4.14 4.14])，轴从
分散的数据
也可以插值到平面上未网格化的数据点的给定值。例如，考虑将单元正方形平滑地映射到单元磁盘的任务。我们构造数据值(标记为圆)和相应的数据点(标记为x)。每个数据站点通过一个箭头连接到它的关联值。
n = 64;t = linspace(0, 2 *π,n + 1);t(结束)= [];值= (cost;罪(t)];:情节(值(1)、价值观(2:)”或“)轴平等的,轴从网站= values. / repmat (max (abs(值))、2、1);持有在情节(网站(1:),网站(2:)“xk”)箭袋(网站(1:),网站(2:)．..值(1:)网站(1:),值(2:)网站(2:))从
然后使用tpaps构造二元插值向量值薄板样条。
St = tpaps(sites, values, 1); / /指定站点
样条确实将单位平方平滑地(近似地)映射到单位圆盘上，因为它的绘图通过fnplt表示。该图显示了样条映射下的等间距正方形网格的图像圣．
持有在fnplt (st)从
你也可以从以下列表中选择一个网站:
