问题

您希望构建给定数据的最小二乘近似(X.那y）来自空间S.具有给定休息的“自然”立方样条B（1）<......b (l + 1)．

一般决议

如果你知道线性空间的一组基(f1 f2…，fmS.所有具有断点序列的“自然”三次样条B.，然后您已经学会了发现表单中最小二乘近似值C（1）f1 +c (2)f2 +……+C（m）fm，与矢量C.线性方程组的最小二乘解a * c = y，其系数矩阵为

a（i，j）= fj（x（i）），i = 1：长度（x），j = 1：m。

换句话说，c = a \ y．

需要一个基础地图

通解似乎要求你知道一组基。然而，为了构造系数序列C.，你只需要知道矩阵A.．为此，手头就足够了基础地图，即函数F.说,这f（c）返回特定加权和给出的样条C（1）F1+ c (2)F2.+......+ C（m）FM。因为，有的话，你可以获得j = 1：m，这jth列A.as.fnval（f（ej），x）,ej.当jth列眼睛（m），阶单位矩阵m．

更好的是，曲线拟合工具箱样条函数可以处理矢量值功能，所以您应该能够构建基础地图F.处理矢量值系数C（i）也然而，根据协议，在这个工具箱中，向量值系数是a列向量，因此序列C必须是列向量的一排矢量，即，a矩阵．那样，F(眼(m))向量值样条是谁的我-th组件是基元素f我那我= 1：m．因此，假设向量X.数据站点是一排矢量，fnval（f（眼睛（m）），x）是矩阵(i, j)- 输入是f的价值我当x (j)，即，翻倒矩阵的A.你正在寻求。另一方面，正如刚刚指出的那样，你的基础地图F.期望系数序列C.是一排矢量，即矢量转换\ y．因此，相应地，假设向量y数据值是行向量，您可以从中获得最小二乘近似值S.数据（X.那y),

f（y / fnval（f（眼睛（m）），x）））

要确定，如果你想准备好X.和y是任意向量（相同的长度），您将使用

f（y（:)。'/ fnval（f（眼睛（m）），x（:)。'））

“自然”立方样条的基础地图

究竟需要什么基础地图F.对于线性空间S.与断裂序列的“自然”立方样条b(1) <…< b (l + 1)还是假设这种线性空间的尺寸是m，地图F.应该在介于之间设置线性一对一的对应关系m- 查看和元素S.．但这正是csape（b，。，'var'）所做的事。

为了明确起见，考虑以下函数F.：

函数s = F(c) s = cape (b,c，'var');

对于给定的向量C.（与b的长度相同），它提供了独特具有断裂序列B的“自然”立方样条，其取值C（i）当b(我)那i = 1：l + 1．唯一性是关键。它确保了向量之间的对应关系C.和得到的样条f（c）是一对一的。特别是,m=长度（b）．不仅如此，因为它的价值F.（T.）功能F.在一个点T.依赖于线性依据F.，这种唯一性确保了f（c）依赖于线性依据C.(因为C.=fnval (F (c), b)可逆线性映射的逆也是线性映射)。

单行解决方案

将其全部放在一起，您到达以下代码

csape (b, y(:)。/ fnval (csape (b,眼睛(长度(b)),“var”),x (:).'),...“var”)

用带断点序列的“自然”三次样条进行最小二乘逼近B.．

正确推断的必要性

让我们在Matlab中提供的人口普查数据，在某些数据上尝试它^®通过命令

负载的人口普查

它供给了岁月，1790:10:1990，原样cdate值为pop．使用break序列1810：40：1970．

B = 1810：40：1970;s = csape（b，... pop（：）'/ fnval（csape（b，眼睛（长度（b）），'var'），cdate（:)'），'var'）;fnplt（s，[1750,2050]，2.2）;在情节上（Cdate，Pop，'或'）;hold

看一看由三个内部断裂的“自然”立方样条逼近的最小平方用深蓝表示得到的近似值，以及给定的数据。

这看起来是一个很好的近似，除了它不像一个“自然的”三次样条。回想一下，一个“自然的”三次样条必须在第一次中断的左边和最后一次中断的右边是线性的，而这个近似不满足任何条件。这是由于以下事实。

提供给定数据的“自然”立方样条嵌段csape.在ppform中，由数据站点所跨越的间隔是它的基本间隔。另一方面，在MATLAB中计算pform的基本区间之外的值ppval或曲线拟合工具箱样条函数fnval.，通过使用ppform的相关多项式端块，即全阶外推。对于“自然的”三次样条，您需要的是二阶外推。这意味着，在第一个断点的左边，要有一条与三次样条值和斜率一致的直线。这样的推断是由fnxtr．由于“自然的”三次样条在第一次断裂时二阶导数为零，因此这种外推是偶三阶的，即满足三个匹配条件。同样地，在三次样条的最后一次中断之后，你想要的直线在最后一次中断时的值和斜率与样条一致，这也是由fnxtr．

正确的单行解决方案

下面的一行代码提供了对数据的正确的最小二乘近似(X.那y)的“自然”三次样条与中断序列B.：

fnxtr (csape (b, y(:)。' /…fnval (fnxtr (csape (b、眼(长度(b)),“var”)),x(:)。”),“var”))

但不可否认，这是一条相当长的线。

以下代码使用这种正确的公式和绘图，在更薄的红线中，结果近似在早期的图中，如图所示由三个内部断裂的“自然”立方样条逼近的最小平方．

ss = fnxtr（csape（b，pop（：）'/ ... fnval（fnxtr（b，眼睛（b），'var'），cdate（:)'），'var'））;保持ON，FNPLT（SS，[1750,2050]，1.2，'R'），网格，持续传奇（'不正确的近似'，'人口'，...'正确近似'）

三次样条的最小二乘逼近

如果你想用空间来近似的话，一行的解决方案是完美的S.给定断点序列的所有三次样条B.．您甚至不必使用曲线拟合工具箱样条函数，因为您可以依赖Matlab样条．你知道，有C.多包含两个条目的序列B.那样条（B，C）提供具有断点序列的独特三次样条B.这是价值c (i + 1)当b(我),所有我，并占领斜坡C（1）当B（1），以及斜率c(结束)当B（结束）．因此，样条（B，。）是一个基础地图S.．

不止这些，你知道的样条(b, c, xi)提供价值xi.插值样条。最后，你知道的样条可以处理矢量值数据。因此，以下一行代码由具有中断序列的立方样条构造最小二乘近似B.数据（X.那y）：

样条素（B，Y（：）'/样条（B，眼睛（长度（b）），x（:)'））