求解一个非线性的ODE - MATLAB & Simulink金宝appgydF4y2Ba - 金宝app,下载188bet金宝搏,金宝搏官方网站

求解非线性ODEgydF4y2Ba

本节讨论非线性ODE问题的这些方面:gydF4y2Ba

你可以运行这个例子:“通过搭配求解带有边界层的非线性ODE”。gydF4y2Ba

问题gydF4y2Ba

考虑非线性奇摄动问题:gydF4y2Ba

$\begin{matrix} εgydF4y2Ba {DgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba {（gydF4y2Ba ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} ＝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba & ogydF4y2Ba ngydF4y2Ba & ［gydF4y2Ba 0 . . 1gydF4y2Ba ］gydF4y2Ba \end{matrix}$

$DgydF4y2Ba ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$

近似空间gydF4y2Ba

求近似解gydF4y2Ba搭配的gydF4y2BaCgydF4y2Ba^1gydF4y2Ba具有适当中断序列的分段三次函数;例如,gydF4y2Ba

休息时间= (0:4)/ 4;gydF4y2Ba

因为三次方程是4阶的gydF4y2Ba

k = 4;gydF4y2Ba

得到对应的结序列为gydF4y2Ba

节= augknt(休息,k, 2);gydF4y2Ba

这就得到了0和1处的四重结，这和三次结是一致的，也就是4阶。gydF4y2Ba

这意味着你有gydF4y2Ba

n =长度(节)- k;n = 10;gydF4y2Ba

例如,10gydF4y2Ba的自由度。gydF4y2Ba

离散化gydF4y2Ba

你gydF4y2Ba每个多项式块在两个地点配置，即在总共八个地点。这个，加上这两个gydF4y2Ba边条件，给了我们10个条件，匹配10个自由度。gydF4y2Ba

选择两个gydF4y2Ba每个区间的高斯点。为gydF4y2Ba标准gydF4y2Ba长度为1的区间[-0.5,0.5]，这是两个位点gydF4y2Ba

高斯= .5773502692 * [1/2;1/2);gydF4y2Ba

由此，您可以获得整个搭配站点的集合gydF4y2Ba

ninterv =长度(减免)1;temp =((优惠(2:ninterv + 1) +优惠(1:ninterv)) / 2);Temp = Temp ([1 1]，:) + gauss*diff(breaks); / /去掉所有的空colsites =临时(:)。';gydF4y2Ba

数值问题gydF4y2Ba

有了这个，你想要解决的数值问题就是gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba \ingydF4y2Ba {年代gydF4y2Ba}_{4gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ngydF4y2Ba ogydF4y2Ba tgydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba}$ 它满足非线性方程组gydF4y2Ba

$\begin{matrix} DgydF4y2Ba ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba \\ {（gydF4y2Ba}^{ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba εgydF4y2Ba {DgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 为gydF4y2Ba xgydF4y2Ba \ingydF4y2Ba colsitesgydF4y2Ba \\ ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba \end{matrix}$

线性化gydF4y2Ba

如果gydF4y2BaygydF4y2Ba你现在的近似值是解，还是解的线性问题gydF4y2BazgydF4y2Ba通过gydF4y2Ba牛顿法读取gydF4y2Ba

$\begin{matrix} DgydF4y2Ba zgydF4y2Ba （gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba \\ {wgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba zgydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba εgydF4y2Ba {DgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} zgydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba bgydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba 为gydF4y2Ba xgydF4y2Ba \ingydF4y2Ba colsitesgydF4y2Ba \\ zgydF4y2Ba (1) = 0gydF4y2Ba \end{matrix}$

与gydF4y2BawgydF4y2Ba_0gydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba) = 2gydF4y2BaygydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba),gydF4y2BabgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba) = (gydF4y2BaygydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba））gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba＋1gydF4y2Ba．事实上，通过选择gydF4y2Ba

$\begin{array}{l} {wgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ：gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba {wgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ：gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba \\ {wgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ：gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba {wgydF4y2Ba}_{2gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ：gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba εgydF4y2Ba 为gydF4y2Ba xgydF4y2Ba \ingydF4y2Ba colsitesgydF4y2Ba \end{array}$

选择其他的价值观gydF4y2BawgydF4y2Ba_0gydF4y2Ba，gydF4y2BawgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba，gydF4y2BawgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba，gydF4y2BabgydF4y2Ba还没有指定为零，您可以给您的系统一个统一的形状gydF4y2Ba

$\begin{matrix} {wgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba zgydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba {wgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba DgydF4y2Ba zgydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba {wgydF4y2Ba}_{2gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba {DgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} zgydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba bgydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba & 为gydF4y2Ba & xgydF4y2Ba \ingydF4y2Ba 网站gydF4y2Ba \end{matrix}$

与gydF4y2Ba

colsites网站= [0,1];gydF4y2Ba

待解线性方程组gydF4y2Ba

因为gydF4y2BazgydF4y2Ba∊gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba_{4,结gydF4y2Ba}，将最后一个系统转换为b样条系数的系统gydF4y2BazgydF4y2Ba．这需要在每个点的一阶导数和二阶导数的值gydF4y2BaxgydF4y2Ba∊gydF4y2Ba网站gydF4y2Ba以及所有相关的b样条。命令gydF4y2BaspcolgydF4y2Ba是专门为此目的而写的。gydF4y2Ba

使用gydF4y2BaspcolgydF4y2Ba提供矩阵gydF4y2Ba

colmat =…spcol(节,k, brk2knt(网站,3));gydF4y2Ba

从这里，你得到搭配矩阵通过组合的行三gydF4y2BacolmatgydF4y2Ba为gydF4y2BaxgydF4y2Ba使用重量gydF4y2BawgydF4y2Ba_0gydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba),gydF4y2BawgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba),gydF4y2BawgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2BaxgydF4y2Ba实际矩阵的。对于这个，你需要一个电流近似gydF4y2BaygydF4y2Ba．一开始，你通过插值一些合理的初始猜测从分段多项式空间得到它gydF4y2Ba网站gydF4y2Ba．用抛物线gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba，满足结束条件作为初始猜想，并从全矩阵中选取矩阵gydF4y2BacolmatgydF4y2Ba．以下是一些谨慎的步骤:gydF4y2Ba

Intmat = colmat([2 1+(1:(n-2))*3,1+(n-1)*3]，:);Coefs = intmat\[0 colsites。* colsites-1 0]。”;y = spmak(节,系数。');gydF4y2Ba

绘制最初的猜测，然后继续进行后续的绘制:gydF4y2Ba

fnplt (y,‘g’);传奇(“初始猜测(x ^ 2 - 1)”,“位置”,“西北”);轴([-0.01 1.01 -1.01 0.01]);抓住gydF4y2Ba

迭代gydF4y2Ba

你现在可以完成线性系统的构造和求解，得到改进的近似解gydF4y2BazgydF4y2Ba根据你目前的猜测gydF4y2BaygydF4y2Ba．事实上，根据最初的猜测gydF4y2BaygydF4y2Ba可用时，您现在设置一个迭代，在更改时终止gydF4y2BazgydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2BaygydF4y2Ba是gydF4y2Ba足够小gydF4y2Ba．选择相对温和的gydF4y2Baε= 1。gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

公差= 6. e-9;ε= 1;而1 vtau = fnval(y,colsites);重量= [0 1 0;(2 * vtau。0 (n - 1) repmat(ε- 1));1 0 0];colloc = 0 (n, n);j = 1: n colloc (j:) =重量(j:) * colmat (3 * (j - 1) + (1:3):);End coefs = colloc\[0 vtau.]* vtau + 1 0]。'; z = spmak(knots,coefs.'); fnplt(z,'k'); maxdif = max(max(abs(z.coefs-y.coefs))); fprintf('maxdif = %g\n',maxdif) if (maxdif

结果打印输出的错误是:gydF4y2Ba

Maxdif = 0.206695 Maxdif = 0.01207 Maxdif = 3.95151e-005 Maxdif = 4.43216e-010gydF4y2Ba

如果现在减小ε，就会在右端点附近产生更多的边界层，这就需要一个非均匀网格。gydF4y2Ba

使用gydF4y2BanewkntgydF4y2Ba从当前的近似值构建一个适当的更细的网格:gydF4y2Ba

结点= newknt(z, ninterv+1);休息= knt2brk(节);节= augknt(休息,4,2);n =长度(节)- k;gydF4y2Ba

从新的gydF4y2Ba打破序列，你生成新的搭配站点序列:gydF4y2Ba

ninterv =长度(减免)1;temp =((优惠(2:ninterv + 1) +优惠(1:ninterv)) / 2);Temp = Temp ([1 1]，:) + gauss*diff(breaks); / /去掉所有的空colpnts =临时(:)。';colpnts网站= [0,1];gydF4y2Ba

使用gydF4y2BaspcolgydF4y2Ba提供矩阵gydF4y2Ba

Colmat = spcol(结点，k，排序([sites sites sites]));gydF4y2Ba

用你现在的近似解gydF4y2BazgydF4y2Ba如最初猜测:gydF4y2Ba

Intmat = colmat([2 1+(1:(n-2))*3,1+(n-1)*3]，:);Y = spmak(结点，[0 fnval(z,colpnts) 0]/intmat.');gydF4y2Ba

这样设置，将ε除以3，然后从语句开始重复前面的计算gydF4y2Ba

公差= 1. e-9;而1 vtau = fnval (y, colpnts);。gydF4y2Ba

重复通过这个过程，产生ε = 1/10, 1/30, 1/90, 1/270, 1/810的一系列解。金宝搏官方网站所得到的解，在0处越来越平坦金宝搏官方网站，在1处越来越陡峭，如图所示。该情节还显示了最后的中断序列，作为一系列竖条。要查看这些图，运行示例“通过搭配求解带有边界层的非线性ODE”。gydF4y2Ba

至少在这个例子中，gydF4y2BanewkntgydF4y2Ba表现令人满意。gydF4y2Ba