资本资产定价模型

资本资产定价模型(CAPM)是一种古老但经常被恶意中伤的工具，用来描述资产和市场价格之间的变动。尽管在其实施和解释中出现了许多问题，但实践者面临的一个问题是在不完整的股票价格数据下估计CAPM的系数。

假设参考文献中有大量的假设(见Sharpe [3]， Lintner [2]， Jarrow[1]，和Sharpe等[4])，CAPM得出结论，资产回报与市场回报呈线性关系。具体来说，给定构成市场的所有股票的回报为米无风险资产的收益记为C， CAPM表示每种资产的回报R(我)在市场上具有预期的形式

E[R(i)] = C + b(i) * (E[M] - C)

的资产I = 1，…n,在那里b(我)是指定给定资产与标的市场之间变动程度的参数。换句话说，每项资产的预期收益等于无风险资产的收益加上经风险调整后的预期市场收益减去无风险资产收益。参数的集合(1),…b (n)称为资产贝塔。

注意，资产的beta具有以下形式

(我)= x (R (i), M) / var (M)

也就是资产和市场收益的协方差除以市场收益的方差。如果一项资产的贝塔值等于1，那么该资产就会随市场移动;如果一项资产的贝塔系数大于1，那么该资产比市场更不稳定;如果一项资产的贝塔值小于1，那么该资产的波动性小于市场。

CAPM的估计

CAPM估计模型的标准形式是一个线性模型，每个资产都有附加参数来描述残差。为每个n资产与米观察到的资产回报样本R (k,我)、市场回报M (k)，以及无风险的资产回报C (k)，估计模型有形式

R (k, i) =(我)+ C (k) + b(我)* (M (k) - C (k)) + V (k,我)

为样本K = 1，…,米和资产I = 1，…n,在那里(我)是指定资产的非系统性回报的参数，b(我)资产是贝塔吗V (k,我)是否每个资产的剩余误差与相关的随机变量V(我)．

参数的集合(1)……(n)称为资产。CAPM的严格形式规定α必须为零，而离零的偏差是临时不平衡的结果。然而，在实践中，资产可能具有非零的阿尔法，在这种情况下，许多积极的投资管理都致力于寻找具有可利用的非零阿尔法的资产。

为了考虑到非零阿尔法的可能性，估计模型通常寻求估计阿尔法，并执行测试，以确定阿尔法在统计上是否等于零。

剩余的错误V(我)是有时间的吗

E (V (i)) = 0

和

E[V(i) * V(j)] = S(i,j)

的资产I,j = 1，…n，其中参数(1,1),……S (n, n)称为残差或非系统方差/协方差。

各资产剩余方差的平方根，即:√(我))为I = 1，…n，被称为资产的剩余风险或非系统风险，因为它描述了无法用市场价格变化解释的资产价格的剩余变化。

缺失数据估计

尽管可以估算具有足够长的资产回报历史的公司的贝塔系数，但要估算近期ipo的贝塔系数却极其困难。然而，如果存在一组足够可观察到的公司，这些公司可以预期与新公司的股价走势有某种程度的相关性，例如，与新公司属于同一行业的公司，那么就可以通过Financial Toolbox™中的缺失数据回归例程获得新公司beta的估算估计值。

一些技术股票beta的单独估计

为了说明如何使用缺失数据回归例程，我们将对12只科技股进行测试，其中有一只(GOOG)正在进行IPO。

首先，载入mat文件中12只股票的日期、总回报率和股票代码CAPMuniverse．

负载CAPMuniverse谁资产数据日期

Name Size Bytes Class Attributes Assets 1x14 1568 cell Data 1471x14 164752 double date 1471x1 11768 double

模型中的资产有以下符号，其中后两个系列是市场和无风险资产的代理。

资产(1:7)

ans =1 x7单元格列1到6{“apple”}{amazon的}{cisco的}{“戴尔”}{“易趣”}{“google”}列7{“hp”}

资产(14)

ans =1 x7单元格列1到6{“IBM”}{intel的}{“微软”}{‘ORCL}{“yahoo”}{‘市场’}列7{“现金”}

数据涵盖2000年1月1日至2005年11月7日期间的日总回报率。在这个宇宙中有两支股票缺少nan所代表的值。这两只股票中有一只在此期间进行了首次公开募股，因此其数据明显少于其他股票。

第一步是为每个股票计算单独的回归，其中缺少数据的股票将有反映其降低的可观察性的估计。

[NumSamples, NumSeries] = size(数据);NumAssets = NumSeries - 2;StartDate可以=日期(1);EndDate =日期(结束);Alpha = NaN(1, length(NumAssets));Beta = NaN(1, length(NumAssets));Sigma = NaN(1, length(NumAssets));StdAlpha = NaN(1, length(NumAssets));StdBeta = NaN(1, length(NumAssets));StdSigma = NaN(1, length(NumAssets)); / / NumAssets的长度为我= 1:NumAssets%建立独立的资产数据和设计矩阵TestData = 0 (NumSamples, 1);TestDesign = 0 (NumSamples, 2);TestData(:) = Data(:，i) - Data(:，14);TestDesign (: 1) = 1.0;TestDesign(:，2) = Data(:，13) - Data(:，14);分别估算每项资产的CAPM[Param, Covar] = ecmmvnrmle(TestData, TestDesign);估计协方差参数的理想标准误差[StdParam, StdCovar] = ecmmvnrstd(测试数据，测试设计，Covar，“雪”）;%估计模型参数的样本标准误差StdParam = ecmmvnrstd(测试数据，测试设计，Covar，“海赛”）;%设置输出结果α(i) =参数(1);β(i) =参数(2);σ(i) =√柯伐合金);StdAlpha (i) = StdParam (1);StdBeta (i) = StdParam (2);StdSigma (i) =√StdCovar);结束displaySummary (“独立”，起始日期，结束日期，NumAssets, Assets, Alpha, StdAlpha, Beta, StdBeta, Sigma, StdSigma)

从2000年1月03日到2005年11月07日的日总收益数据的分离回归…αβσ  ---- -------------------- -------------------- -------------------- apple 0.0012 (1.3882) 1.2294 (17.1839) 0.0322 (0.0062) amazon 0.0006 (0.5326) 1.3661 (13.6579) 0.0449 (0.0086) cisco -0.0002 0.0298 1.5653(0.2878)(23.6085)(0.0057)戴尔的-0.0000 (0.0368)1.2594 (22.2164)0.0255 (0.0049)EBAY 0.0014 (1.4326) 1.3441 (16.0732) 0.0376 (0.0072) google 0.0046 0.0252 0.3742 (3.2107) (1.7328) (0.0071) (0.1747) 0.0001 hp IBM -0.0000 1.3745 0.0255 (24.2390) (0.0049) (0.0312) 1.0807 (28.7576) 0.0169 (0.0032) intel 0.0001 0.0263 1.6002(0.1608)(27.3684)(0.0050)微软-0.0002 0.0193 1.1765 (0.4871)(27.4554)(0.0037)ORCL 0.0000 (0.0389) 1.5010 (21.1855)yhoo 0.0001 (0.1282) 1.6543 (19.3838) 0.0384 (0.0074)

的α列包含每个股票的alpha估计，如预期的接近于零。此外，t统计量(括号中)通常拒绝假设在99.5%的显著性水平上alpha是非零的。

的β列包含每只股票的估计，括号中还包含t-statistics。对于除GOOG以外的所有股票，在99.5%的显著性水平上，都接受贝塔系数非零的假设。然而，谷歌似乎没有足够的数据来获得对beta的有意义的估计，因为它的t统计量意味着拒绝非零beta假设。

的σ列包含残差标准差，即对非系统性风险的估计。剩余标准差的相关标准误差用括号括起来，而不是t统计量。

一些技术股票beta的分组估计

为了估计所有12只股票的贝塔值，建立一个联合回归模型，将所有12只股票组合在一个单一的设计中(因为每只股票都有相同的设计矩阵，这个模型实际上是一个看似不相关的回归例子)。估计模型参数的函数为ecmmvnrmle估计标准误差的函数是ecmmvnrstd．

由于GOOG有大量的缺失值，直接利用缺失的数据函数ecmmvnrmle需要482次迭代才能收敛。这可能需要很长时间来计算。为了简洁起见，前480次迭代后的参数和协方差估计包含在MAT-file中(CAPMgroupparam)，并将作为初步估计，以计算股票贝塔。

负载CAPMgroupparam谁Param0Covar0

Name Size Bytes Class Attributes Covar0 12x12 1152 double Param0 24x1 192 double

现在估计一下这12只股票的参数。

NumParams = 2 * NumAssets;%建立分组资产数据和设计矩阵TestData = 0 (NumSamples, NumAssets);TestDesign = cell(NumSamples, 1);设计= 0 (NumAssets, NumParams);为k = 1: NumSamples为i = 1:NumAssets TestData(k,i) = Data(k,i) - Data(k,14);设计(i,2*i - 1) = 1.0;设计(i,2*i) = Data(k,13) - Data(k,14);结束TestDesign {k} =设计;结束%估算所有资产的CAPM和初始参数估计[Param, Covar] = ecmmvnrmle(TestData, TestDesign， []， []， []， Param0, Covar0);估计协方差参数的理想标准误差[StdParam, StdCovar] = ecmmvnrstd(测试数据，测试设计，Covar，“雪”）;%估计模型参数的样本标准误差StdParam = ecmmvnrstd(测试数据，测试设计，Covar，“海赛”）;%设置输出结果α=参数(1:2:end-1);β=参数(2:2:结束);σ=√诊断接头(柯伐合金));StdAlpha = StdParam (1:2: end-1);StdBeta = StdParam(2:2:结束);StdSigma =√诊断接头(StdCovar));displaySummary (“分组”，起始日期，结束日期，NumAssets, Assets, Alpha, StdAlpha, Beta, StdBeta, Sigma, StdSigma)

从2000年1月03日到2005年11月07日的日总回报数据的分组回归…αβσ  ---- -------------------- -------------------- -------------------- apple 0.0012 (1.3882) 1.2294 (17.1839) 0.0322 (0.0062) amazon 0.0007 (0.6086) 1.3673 (13.6427) 0.0450 (0.0086) cisco -0.0002 0.0298 1.5653(0.2878)(23.6085)(0.0057)戴尔的-0.0000 (0.0368)1.2594 (22.2164)0.0255 (0.0049)EBAY 0.0014 (1.4326) 1.3441 (16.0732) 0.0376 (0.0072) google 0.0041 0.0337 0.6173 (2.8907) (3.1100) (0.0065) (0.1747) 0.0001 hp IBM -0.0000 1.3745 0.0255 (24.2390) (0.0049) (0.0312) 1.0807 (28.7576) 0.0169 (0.0032) intel 0.0001 0.0263 1.6002(0.1608)(27.3684)(0.0050)微软-0.0002 0.0193 1.1765 (0.4871)(27.4554)(0.0037)ORCL 0.0000 (0.0389) 1.5010 (21.1855)yhoo 0.0001 (0.1282) 1.6543 (19.3838) 0.0384 (0.0074)

尽管对全数据股票的结果是相同的，但请注意，AMZN和GOOG(这两支股票的缺失值)的贝塔估计与分别对这两支股票的估计是不同的。由于AMZN的缺失值很少，所以估算的差异很小。然而，在谷歌，这种差异更加明显。

GOOG的beta估计的t统计量现在达到了99.5%的显著性水平。然而，请注意，贝塔估计的t统计量是基于来自样本Hessian的标准误差，与Fisher信息矩阵相反，它解释了由于缺失值而增加的估计的不确定性。如果t统计量由较为乐观的Fisher信息矩阵得到，则GOOG的t统计量为8.25。因此，尽管由于数据缺失而增加了不确定性，但谷歌公司对贝塔的估计在统计学上非常重要。

最后，请注意，GOOG的beta估计值是0.62，这个值可能需要一些解释。在这段时间里，市场波动剧烈，价格横向波动，而谷歌的价值却稳步升值。因此，它的相关性小于市场，这反过来意味着，它的波动性小于贝塔系数小于1的市场。

参考文献

R. A.贾罗，《金融理论》，普伦蒂斯-霍尔公司，1988。

[2]林特纳，“风险资产的估值和股票风险投资的选择”，《经济学与统计评论》，1965年第14卷，第13-37页。

[3] W. F.夏普，“资本资产价格:风险条件下的市场均衡理论”，《金融期刊》，1964年第19卷，第425-442页。

W. F. Sharpe, G. J. Alexander和J. V. Bailey，投资，第6版，Prentice-Hall, Inc.， 1999。

效用函数

函数displaySummary(regressionType, StartDate, EndDate, NumAssets, Assets, Alpha, StdAlpha, Beta, StdBeta, Sigma, StdSigma) fprintf(1，'%s回归，每日总返回数据从%s到%s…\n'，．..regressionType datestr (StartDate可以,1),datestr (EndDate,1));流(1,' %4s %-20s %-20s %-20s\n'，＇ ＇，“α”，“β”，“σ”）;流(1,' ---- -------------------- -------------------- --------------------\ n '）;为i = 1:NumAssets fprintf(' % 4 s % 9.4 f (% 8.4 f) % 9.4 9.4 8.4 (%) % f (% 8.4 f) \ n '，．..{我}资产,α(i), abs(α(我)/ StdAlpha(我)),．..β(i)、abs(β(i) / StdBeta(我)),σ(i), StdSigma (i));结束结束