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构建Watts-Strogatz小世界图模型

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这个例子展示了如何构建和分析Watts-Strogatz小世界图。Watts-Strogatz模型是一个具有小世界网络属性的随机图，例如聚类和较短的平均路径长度。

算法描述

创建Watts-Strogatz图有两个基本步骤:

  1. 用。创建一个环状格子N美元平均度节点2 k美元．每个节点都连接到它的K美元两边的最近邻居。

  2. 对于图表中的每个边，具有概率的目标节点β\美元．重新连接的边缘不能是重复或自循环。

在第一步之后，图是一个完美的环格。所以,当$ \ beta = 0 $，没有边被重新连接，模型返回一个环晶格。相反,当\β= 1美元，所有的边被重新布线，环格被转换成一个随机图。

该文件WattsStrogatz.m实现此图算法以获取无向图形。输入参数是N，K， 和bet根据上述算法描述。

查看文件WattsStrogatz.m．

％版权所有2015 Mathworks，Inc。功能h = WattsStrogatz (N, K,β)% H = WattsStrogatz(N,K,beta)返回带有N的WattsStrogatz模型图％节点，n * k边，平均节点2 * k和重新加热概率β。％％beta = 0是环格，并且BETA = 1是随机图。％将每个节点连接到下一个和以前的邻居。这个构造环格的%指数。s = repelem（（1：n）'，1，k）;t = s + repmat（1：k，n，1）;t = mod（t-1，n）+1;％重新绕每个边缘的目标节点，概率β为source = 1：n switchedge = rand（k，1）“下”）;t(source, switchEdge) = ind(1:nnz(switchEdge));结束h =图（s，t）;结束

环格

构造一个有500个节点的环格Wattsstrogatz.功能。什么时候bet为0时，函数返回一个节点都具有度的环晶格2 k．

h = WattsStrogatz(0) 500年25日;情节(h,“NodeColor”，'K'，“布局”，“圆”）;标题('Watts-Strogatz Graph with $N = 500$ nodes， $K = 25$， and $\beta = 0$'，．..'口译员'，“乳胶”）

一些随机边缘

通过提高增加图表中的随机性量bet来0．15和0．50．

H2 = Wattsstrogatz（500,25,0.15）;绘图（H2，“NodeColor”，'K'，“EdgeAlpha”, 0.1);标题('Watts-strogatz图形以$ n = 500 $ nodes，$ k = 25 $，$ \ beta = 0.15 $'，．..'口译员'，“乳胶”）

h3 = WattsStrogatz(500年,25岁,0.50);情节(h3,“NodeColor”，'K'，“EdgeAlpha”, 0.1);标题('Watts-Strogatz Graph with $N = 500$ nodes， $K = 25$， and $\beta = 0.50$'，．..'口译员'，“乳胶”）

随机图

通过增加来生成完全随机图bet到它的最大值1.0．这将重新束所有边缘。

H4 = WATTSSTROGATZ（500,25,1）;绘图（H4，“NodeColor”，'K'，“EdgeAlpha”, 0.1);标题('Watts-Strogatz Graph with $N = 500$ nodes， $K = 25$， and $\beta = 1$'，．..'口译员'，“乳胶”）

程度分布

不同瓦特 - Strogatz图中节点的度分布变化。什么时候bet是0，节点都具有相同程度，2 k，所以度分布只是一个狄拉克函数的中心2 k，\δ(x-2K)美元．然而,随着bet增加，度分布改变。

这张图显示了的非零值的度分布bet．

直方图(学位(h2),“BinMethod”，“整数”，“FaceAlpha”, 0.9);持有在直方图(学位(h3),“BinMethod”，“整数”，“FaceAlpha”, 0.9);直方图(学位(h4),“BinMethod”，“整数”，“FaceAlpha”, 0.8);持有离开标题(瓦茨- strogatz模型图的节点度分布）Xlabel（节点的度）ylabel（'节点数量')传说(‘\β= 1.0，‘\β= 0.50，‘\β= 0.15，'地点'，“西北”）

中心的形成

Watts-Strogatz图具有较高的聚类系数，因此节点倾向于形成小团体，即紧密相连的节点组成的小团体。作为bet增加到最大值1.0，您会看到越来越多的轮毂节点，或相对程度高的节点。枢纽是图中其他节点和派系之间的公共连接。集线器的存在允许小团体的形成，同时保持较短的平均路径长度。

计算每个值的平均路径长度和轮毂节点数bet．对于本例来说，中心节点是度数大于或等于55的节点。这些节点的度都比原来的环点阵增加了10%或更多。

n = 55;d = [意思（平均值（距离（h））），nnz（度（h）> = n）;．..平均值（平均值（距离（H2））），NNZ（度（H2）> = N）;．..平均(平均(距离(h3))), nnz(学位(h3) > = n);平均(平均(距离(h4))), nnz(学位(h4) > = n)];T = table([0 0.15 0.50 1]'， d(:，1)， d(:，2)，．..“VariableNames”，{“β”，“AvgPathLength”，'numberofhubs'}）
T = 4x3 table Beta AvgPathLength NumberOfHubs ____ _____________ ____________ 0 5.48 0 0.15 2.0715 20 0.5 1.9101 85 1 1.9008 92

作为bet增加，图中的平均路径长度迅速降至其限制值。这是由于形成高度连接的轮毂节点，这变得更加多bet增加。

绘图\β= 0.15美元Watts-Strogatz模型图，使每个节点的大小和颜色成比例到其学位。这是可视化集线器的形成的有效方法。

COLOROMAP.hsvDEG =度（H2）;NSIZE = 2 * SQRT（DEG-MIN（DEG）+0.2）;ncolors = deg;绘图（H2，'Markersize'，nsizes，“NodeCData”nColors,“EdgeAlpha”, 0.1)标题('Watts-strogatz图形以$ n = 500 $ nodes，$ k = 25 $，$ \ beta = 0.15 $'，．..'口译员'，“乳胶”）彩色栏

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