求解刚性晶体管微分代数方程

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这个例子展示了如何使用ode23t来求解描述电路[1]的僵硬微分代数方程(DAE)。在示例文件中编码的单晶体管放大器问题amp1dae.m可以重写为半显式形式，但这个例子解决了它的原始形式 $米 u^{”} ＝ ϕ （ u ）$ ．这个问题包括一个常数的奇异质量矩阵 $米$ ．

晶体管放大电路由六个电阻、三个电容和一个晶体管组成。

初始电压信号为 $U_{e} （ t ）＝ 0 ． 4 罪（ 200 π t ）$ ．
工作电压为 $U_{b} ＝ 6$ ．
节点的电压是 $U_{我} （ t ）（我＝ 1 ， 2 ， 3. ， 4 ， 5 ）$ ．
电阻的值 $R_{我} （我＝ 1 ， 2 ， 3. ， 4 ， 5 ， 6 ）$ 是恒定的，通过每个电阻的电流满足 $我＝ U / R$ ．
电容器的值 $C_{我} （我＝ 1 ， 2 ， 3. ）$ 是恒定的，通过每个电容器的电流满足 $我＝ C \cdot 杜 / dt$ ．

目标是求出通过节点5的输出电压， $U_{5} （ t ）$ ．

要在MATLAB®中求解该方程，需要对方程进行编码，对质量矩阵进行编码，并在调用求解器之前设置初始条件和积分区间ode23t．您可以将所需的函数作为本地函数包含在文件的末尾(如这里所做的)，或者将它们作为单独的、命名的文件保存在MATLAB路径的一个目录中。

代码质量矩阵

利用基尔霍夫定律使通过每个节点(1到5)的电流相等，可以得到一个由五个方程组成的描述电路的方程组:

$\begin{array}{l} 节点 1 ： \frac{U_{e} （ t ）}{R_{0}} - \frac{U_{1}}{R_{0}} + C_{1} （ {U_{2}}^{”} - {U_{1}}^{”} ）＝ 0 ， \\ 节点 2 ： \frac{U_{b}}{R_{2}} - U_{2} （ \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} ） + C_{1} （ {U_{1}}^{”} - {U_{2}}^{”} ） - 0 ． 01 f （ U_{2} - U_{3.} ）＝ 0 ， \\ 节点 3. ： f （ U_{2} - U_{3.} ） - \frac{U_{3.}}{R_{3.}} - C_{2} {U_{3.}}^{”} ＝ 0 ， \\ 节点 4 ： \frac{U_{b}}{R_{4}} - \frac{U_{4}}{R_{4}} + C_{3.} （ {U_{5}}^{”} - {U_{4}}^{”} ） - 0 ． 99 f （ U_{2} - U_{3.} ）＝ 0 ， \\ 节点 5 ： - \frac{U_{5}}{R_{5}} + C_{3.} （ {U_{4}}^{”} - {U_{5}}^{”} ）＝ 0 ． \end{array}$

这个系统的质量矩阵，通过收集方程左边的导数项得到，有这样的形式

$米＝（ \begin{array}{ccccc} - c_{1} & c_{1} & 0 & 0 & 0 \\ c_{1} & - c_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - c_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - c_{3.} & c_{3.} \\ 0 & 0 & 0 & c_{3.} & - c_{3.} \end{array} ），$

在哪里 $c_{k} ＝ k \times 1 0^{- 6}$ 为 $k ＝ 1 ， 2 ， 3.$ ．

用适当的常数创建一个质量矩阵 $c_{k}$ ，然后使用odeset函数来指定质量矩阵。即使很明显质量矩阵是奇异的，也不要考虑“MassSingular”选项的默认值为“也许”测试解决程序对DAE问题的自动检测。

C = 1e-6 * (1:3);M = 0 (5,5);米(1,1)= - c (1);(1、2)= c (1);米(2,1)= c (1);米(2,2)= - c (1);(3) = - c (2);米(4,4)= - c (3);(4、5)= c (3);5米(4)= c (3); M(5,5) = -c(3); opts = odeset(“质量”, M);

代码方程

这个函数transampdae包含这个例子的方程组。该函数定义了所有电压和常数参数的值。方程左侧的导数被编码在质量矩阵中，并且transampdae对等式右边进行编码。

函数dudt = transampdae (t, u)定义电压和参数Ue = @(t) 0.4*sin(200*pi*t);乌兰巴托= 6;R0 = 1000;R15 = 9000;α= 0.99;β= 1 e-6;佛罗里达大学= 0.026;定义方程组f23 =β* (exp ((u (2) - (3)) / Uf) - 1);dudt =[(问题(t) - u (1)) / R0 -(乌兰巴托/ R15 - u (2) * 2 / R15 f23(1α)*)- (f23 - u (3) / R15) -((乌兰巴托- u (4)) / R15 -αf23 *) (u (5) / R15)];结束

注意:这个函数作为一个局部函数包含在示例的末尾。

代码的初始条件

设置初始条件。本例使用[1]中计算的当前通过每个节点的一致初始条件。

乌兰巴托= 6;情况(1)= 0;情况(2)=乌兰巴托/ 2;情况(3)=乌兰巴托/ 2;情况(4)=乌兰巴托;情况(5)= 0;

方程组的解

解决DAE系统在时间间隔内的问题0.05 [0]使用ode23t．

Tspan = [0 0.05];[t u] = ode23t (@transampdae, tspan情况,选择);

阴谋的结果

绘制初始电压图 $U_{e} （ t ）$ 和输出电压 $U_{5} （ t ）$ ．

Ue = @(t) 0.4*sin(200*pi*t);情节(t)问题(t)“o”t u (:, 5),“。”)轴([0 0.05 -3 2]);传奇(的输入电压U_e (t)”，的输出电压U_5 (t)”，“位置”，“西北”）;标题(“ODE23T解决了一个晶体管放大器DAE问题”）;包含(“t”）;

图中包含一个轴对象。标题为“One Transistor Amplifier DAE Problem Solved by ODE23T”的轴对象包含2个类型为line的对象。这些对象表示输入电压U_e(t)，输出电压U_5(t)。

参考文献

[1] hairrer, E.和Gerhard Wanner。解常微分方程II:刚性和微分代数问题．柏林，海德堡，1991，第377页。

本地函数

这里列出的是ODE求解器的本地helper函数ode23t调用来计算解决方案。或者，您可以将这个函数作为它自己的文件保存在MATLAB路径的一个目录中。

函数dudt = transampdae (t, u)定义电压和参数Ue = @(t) 0.4*sin(200*pi*t);乌兰巴托= 6;R0 = 1000;R15 = 9000;α= 0.99;β= 1 e-6;佛罗里达大学= 0.026;定义方程组f23 =β* (exp ((u (2) - (3)) / Uf) - 1);dudt =[(问题(t) - u (1)) / R0 -(乌兰巴托/ R15 - u (2) * 2 / R15 f23(1α)*)- (f23 - u (3) / R15) -((乌兰巴托- u (4)) / R15 -αf23 *) (u (5) / R15)];结束

另请参阅

ode23t|ode15s

求解刚性晶体管微分代数方程

代码质量矩阵

代码方程

代码的初始条件

方程组的解

阴谋的结果

参考文献

本地函数

另请参阅

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