线性最小二乘的雅可比矩阵乘函数

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使用雅可比矩阵乘函数，您可以解决这种形式的最小二乘问题

$\underset{x}{最小值} \frac{1}{2} {为 C \cdot x - d 为}_{2}^{2}$

这样lb≤x≤ub，对于问题在哪里C非常大，也许太大了。对于这种技术，使用'信任区域反光'算法。

例如，考虑一个问题在哪里C是一个基于循环矩阵的2n×n矩阵。的行C是行矢量的班次v。这个例子有行向量v使用表单的元素 $(- - - - - - 1)^{k + 1} / k$ :

$v = (1, - 1 / 2, 1 / 3., - 1 / 4, \dots, - 1 / n]$ ,

元素循环移位的地方。

$C = (\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 & - 1 / 2 & 1 / 3. & 。。。 & - 1 / n \\ - 1 / n & 1 & - 1 / 2 & 。。。 & 1 / (n - 1) \\ 1 / (n - 1) & - 1 / n & 1 & 。。。 & - 1 / (n - 2) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ - 1 / 2 & 1 / 3. & - 1 / 4 & 。。。 & 1 \\ 1 & - 1 / 2 & 1 / 3. & 。。。 & - 1 / n \\ - 1 / n & 1 & - 1 / 2 & 。。。 & 1 / (n - 1) \\ 1 / (n - 1) & - 1 / n & 1 & 。。。 & - 1 / (n - 2) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ - 1 / 2 & 1 / 3. & - 1 / 4 & 。。。 & 1 \end{array}] 。$

这个最小二乘例子考虑的问题是

$d = (n - 1, n - 2, \dots, - n]$ ,

约束条件是 $- 5 \leq x_{我} \leq 5$ 为 $我 = 1, \dots, n$ 。

足够大的 $n$ 、稠密矩阵C不适合计算机内存（ $n = 10, 000$ 在一个测试系统上太大)。

Jacobian乘法函数具有以下语法。

w = jmfcn(动力系统,Y,标志)

jinfo是矩阵相同的尺寸C，用作前提者。如果C太大，无法装入内存，jinfo应该是稀疏的。Y一个向量或矩阵的大小是这样的吗C * Y要么C ' * Y可以作为矩阵乘法。国旗告诉jmfcn要形成的产品:

国旗> 0⇒w = C * Y
国旗< 0⇒w = C ' * Y
国旗= 0⇒w C = C的* * Y

因为C这样一个简单的结构矩阵，你可以很容易地用这个向量写出雅可比矩阵乘函数吗v;也就是说，没有形成C。每一行的C * Y是循环移位版本的产品v时代Y。使用circshift循环移位v。

来计算C * Y,计算v * Y求第一行，然后移位v然后计算第二行，以此类推。

来计算C ' * Y，执行相同的计算，但使用移动版本临时，由第一行形成的矢量C ':

temp = [fliplr (v), fliplr (v)];

temp = [circshift (temp, 1 2) circshift (temp, 1, 2)];% Now temp = C'(1，:)

来计算C ' * C * Y，简单地计算C * Y使用班次v，然后计算C '乘以移位的结果fliplr (v)。

辅助函数lsqcirculant3.是一种实现此过程的Jacobian乘法功能;它出现在此示例的结尾。

的dolsqJac3的辅助函数此示例的结尾建立矢量v并调用求解器lsqlin使用lsqcirculant3.Jacobian乘法函数。

什么时候n= 3000,C是一个18,000,000元素的密集基质。确定结果dolsqJac3功能n选择值= 3000x，并显示输出结构。

[x, resnorm残留,exitflag,输出]= dolsqJac3 (3000);

局部最小值。lsqlin停止的原因是函数值的相对变化小于函数容差。

DISP（x（1））

5.0000

disp (x (1500))

-0.5201.

DISP（x（3000））

-5.0000

disp(输出)

迭代:16算法:“信任-区域-反射”firstorderopt: 5.9351e-05 cgiterations: 36约束:[]线性求解器:[]消息:“局部最小可能。↵↵lsqlin停止,因为函数的相对变化值小于该函数宽容。”

辅助函数

此代码创建lsqcirculant3.helper函数。

功能w = lsqcirculant3(动力系统,Y,国旗,v)%此函数计算雅可比矩阵乘函数对于2N-By-N循环矩阵示例的％如果flag > 0 w = Jpositive(Y);elseifflag < 0 w = Jnegative(Y);其他的w = Jnegative (Jpositive (Y));结束功能一个= Jpositive(问)%计算C * qtemp = v;一个= 0(大小(q));分配矩阵a的%a = [;];%结果是输入的两倍高。为a(r，:) = temp*q;%计算第r行temp = circshift (temp, 1 2);移循环液结束结束功能一个= Jnegative(问)%计算C ' * qtemp = pliplr（v）;temp = circshift (temp, 1 2);为C'改变循环len (q, 1) / 2 =大小;%返回的向量是原来长度的一半%作为输入向量。= 0 (len大小(q, 2));分配矩阵a的%为len (r，:) = [temp,temp]*q;%计算第r行temp = circshift (temp, 1 2);移循环液结束结束结束

此代码创建dolsqJac3helper函数。

功能[x, resnorm残留,exitflag,输出]= dolsqJac3 (n)%r = 1：n-1;生成向量的%索引v（n）=（-1）^（n + 1）/ n;％分配矢量vv (r) = (1) ^ (r + 1) / r;现在C应该是一个基于v的2n×n循环矩阵，%但它可能太大而无法装入内存。r = 1：2 * n;d（r）= n-r;jinfo = [speye（n）; speye（n）];用于预处理的稀疏矩阵％该矩阵是求解器所需的输入;在这个例子中没有使用预条件作用。%传递向量v，这样它就不需要%计算在雅可比矩阵乘函数中。选项= Optimoptions（'lsqlin',“算法”,'信任区域反光',…“JacobianMultiplyFcn”，@（jinfo，y，flag）lsqcirculant3（jinfo，y，flag，v））;lb = -5 *α（1，n）;UB = 5 *那些（1，n）;[x，Resnorm，剩余，ExitFlag，输出] =…lsqlin(动力系统d[]、[][],[],磅,乌兰巴托,[],选项);结束

另请参阅

circshift|fliplr

线性最小二乘的雅可比矩阵乘函数

辅助函数

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