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写向量和矩阵目标函数

什么是向量和矩阵目标函数?

一些解算器，如fsolve和lsqcurvefit的目标函数是向量或矩阵。这些类型的目标函数和标量目标函数就是它们的导数。一个向量值或矩阵值函数的一阶偏导数称为雅可比矩阵;标量函数的一阶偏导数称为梯度。

有关复值目标函数的信息，请参见在最优化工具箱求解器中的复数．

向量函数的雅可比矩阵

如果x是由自变量和组成的向量吗F（x)是一个向量函数，即雅可比矩阵J（x)是

J 我 j （ x ） ＝ ∂ F 我 （ x ） ∂ x j ．

如果F有米组件和x有k组件,J是一个米——- - - - - -k矩阵。

例如,如果

F （ x ） ＝ ［ x 1 2 + x 2 x 3. 罪 （ x 1 + 2 x 2 − 3. x 3. ） ］ ，

然后J（x)是

J （ x ） ＝ ［ 2 x 1 x 3. x 2 因为 （ x 1 + 2 x 2 − 3. x 3. ） 2 因为 （ x 1 + 2 x 2 − 3. x 3. ） − 3. 因为 （ x 1 + 2 x 2 − 3. x 3. ） ］ ．

与这个例子相关的函数文件是:

函数[F (1)^2 + x(2)*x(3)];Sin (x(1) + 2*x(2) - 3*x(3))];if nargout > 1% need Jacobian jacF = [2*x(1)，x(3)，x(2);cos (x (1) + 2 * 3 * (2) x (3)), 2 * cos (x x (2) (1) + 2 * 3 * x(3)),…3 * cos (x x (2) (1) + 2 * 3 * x (3)));结束

为了告诉求解器你的目标函数包含雅可比矩阵，设置SpecifyObjectiveGradient选项真正的．例如:

选择= optimoptions (“lsqnonlin”，“SpecifyObjectiveGradient”,真正的);

矩阵函数的雅可比矩阵

定义一个矩阵的雅可比矩阵F（x)，将矩阵逐列变换为向量。例如，重写矩阵

F ＝ ［ F 11 F 12 F 21 F 22 F 31 F 32 ］

作为一个向量f

f ＝ ［ F 11 F 21 F 31 F 12 F 22 F 32 ］ ．

的雅可比矩阵F是由雅可比矩阵定义的f，

J 我 j ＝ ∂ f 我 ∂ x j ．

如果F是一个米——- - - - - -n矩阵,x是一个k-向量，雅可比矩阵是锰——- - - - - -k矩阵。

例如,如果

F （ x ） ＝ ［ x 1 x 2 x 1 3. + 3. x 2 2 5 x 2 − x 1 4 x 2 / x 1 4 − x 2 2 x 1 3. − x 2 4 ］ ，

那么雅可比矩阵F是

J （ x ） ＝ ［ x 2 x 1 − 4 x 1 3. 5 0 − 2 x 2 3. x 1 2 6 x 2 − x 2 / x 1 2 1 / x 1 3. x 1 2 − 4 x 2 3. ］ ．

具有矩阵值独立变量的雅可比矩阵

如果x是一个矩阵，定义雅可比矩阵F（x)通过改变矩阵x到一个向量，一列接着一列。例如,如果

X ＝ ［ x 11 x 12 x 21 x 22 ］ ，

梯度是用向量来定义的

x ＝ ［ x 11 x 21 x 12 x 22 ］ ．

与

F ＝ ［ F 11 F 12 F 21 F 22 F 31 F 32 ］ ，

和f的向量形式F的雅可比矩阵F（X)定义为的雅可比矩阵f（x）：

J 我 j ＝ ∂ f 我 ∂ x j ．

举个例子,

J （ 3. ， 2 ） ＝ ∂ f （ 3. ） ∂ x （ 2 ） ＝ ∂ F 31 ∂ X 21 ， 和 J （ 5 ， 4 ） ＝ ∂ f （ 5 ） ∂ x （ 4 ） ＝ ∂ F 22 ∂ X 22 ．

如果F是一个米——- - - - - -n矩阵和x是一个j——- - - - - -k矩阵，那么雅可比矩阵是锰——- - - - - -jk矩阵。

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