MEMS设备

MEMS器件通常由悬浮在固定电极上的可移动细梁或高纵横比电极组成。

驱动、开关和其他信号和信息处理功能可利用可移动和固定电极之间施加电压引起的电极变形。FEM为表征MEMS器件的内部工作提供了方便的工具，并可预测温度、应力、动态响应特性，最常见的MEMS开关之一是悬挂在接地电极上的一系列悬臂梁。

此示例使用以下几何图形来模拟MEMS交换机。顶部电极的长度为150μm，厚度为2μm。杨氏模量e是170 gpa，泊松比υ为0.34。底部电极的长度为50μm，厚度为2μm，并且距离顶电极的最左端100μm。顶部和底部电极之间的间隙为2μm。

施加在顶部电极和接地层之间的电压会在导体表面产生静电荷，进而导致垂直于导体表面的静电力。由于接地层是固定的，静电力只会使顶部电极变形。当光束变形时，电荷会重新聚集分布在导体表面。合成的静电力和梁的变形也会发生变化。这一过程持续到系统达到平衡状态。

机电耦合分析方法

为简单起见，该示例使用基于松弛的算法而不是牛顿方法来耦合静电和机械域。该示例遵循以下步骤：

1.求解具有恒定电势的非变形几何体中的静电有限元问题V0在可移动电极上。

2.使用沿可移动电极的电荷密度计算值，计算机械解的载荷和边界条件。可移动电极上的静电压力由下式给出：

$$P=\frac{1.}{2.ϵ}|D{|}^{2.}$$,

哪里 $$|D|$$是电量密度的幅度和 $$ϵ$$是可动电极旁边的电介质。

3.通过解决机械FEA问题来计算可动电极的变形。

4.使用计算出的移动电极位移，更新沿移动电极的电荷密度，

哪里 $$|D_{DEF}\left(x\right)|$$是变形电极中电通量密度的大小， $$|D_0\left(x\right)|$$是未变形电极中电通量密度的大小， $$G$$是在没有驱动的情况下，可移动电极和固定电极之间的距离，以及 $$v\left(x\right)$$是可移动电极在x位置沿其轴线的位移。

5.重复步骤2-4，直到最后两次迭代中的电极变形值收敛。

静电分析

在该示例的静电分析部分中，您将在电极周围计算电位。

首先，使用构造实体几何（CSG）建模方法创建悬臂开关几何体。静电分析几何体由矩阵表示的三个矩形组成。矩阵的每列描述一个基本形状。

rect_域=[3 4 1.75e-4 1.75e-4-1.75e-4-1.75e-4-1.75e-4...-1.7e-5 1.3e-5 1.3e-5-1.7e-5]；rect_movable=[3 4 7.5e-5 7.5e-5-7.5e-5-7.5e-5-7.5e-5...2.0e-6 4.0e-6 4.0e-6 2.0e-6]；rect_固定=[3 4 7.5e-5 7.5e-5 2.5e-5 2.5e-5-2.0e-6 0-2.0e-6]；gd=[rect_域，rect_移动，rect_固定]；

为每个基本形状创建名称。将名称指定为矩阵，其列包含基本形状矩阵中相应列的名称。

ns = char（'rect_domain',“可移动的矩形”,“rect_fixed”）;ns = ns';

创建一个描述联合和基本形状的交叉口的公式。

科幻小说='矩形域-（矩形可移动+矩形固定）';

通过使用德斯格作用

dl=decsg（gd，sf，ns）；

创建PDE模型并在模型中包含几何图形。

模型=createpde；geometryFromEdges（模型，dl）；

绘制几何图形。

pdegplot（模型，“EdgeLabels”,“开”,“人脸标签”,“开”)xlabel(“x坐标，米”)伊拉贝尔('Y-CONORATNE，MINK')轴（[-2e-4，2e-4，-4e-5，4e-5]）轴广场

该几何中的边缘数字如下：

将可移动电极的恒定电位值设置为20 V，将固定电极和畴边界的恒定电位值设置为0 V。

V0=0；V1=20；应用边界条件（模型，“迪里克莱”,...“边缘”,[4,8,9,10],“你”，v0）;ApplyBoundaryCondition（模型，“迪里克莱”,...“边缘”,[1,2,5,6],“你”，v0）;ApplyBoundaryCondition（模型，“迪里克莱”,...“边缘”,[3,7,11,12],“你”，V1）；

控制这个问题的偏微分方程是泊松方程，

$$-\nabla \cdot (ϵ\nabla v)=\rho$$,

哪里 $ϵ$是介质和介质系数 $$\rho$$是充电密度。只要系数是恒定的，介电常数系数不会影响该示例中的结果。假设域中没有收费，可以将泊松方程简化为拉普拉斯方程，

$$\Delta v=0$$.

指定系数。

特定系数（型号，“我是，0，“d”，0，“c”，1，“a”，0，'F',0);

生成相对精细的网格。

hmax = 5e-6;generatemesh（型号，“Hmax”，hmax）；pdeplot（模型）xlabel(“x坐标，米”)伊拉贝尔('Y-CONORATNE，MINK')轴（[-2e-4，2e-4，-4e-5，4e-5]）轴广场

解决模型。

结果=solvepde（模型）；

绘制外部域中的电位。

u=结果。节点解；图pdeplot（型号，'xydata'，results.NodalSolution，...'colormap','喷射')；头衔(“电势”)；xlabel(“x坐标，米”)伊拉贝尔('Y-CONORATNE，MINK')轴（[-2e-4，2e-4，-4e-5，4e-5]）轴广场

力学分析

在本示例的机械分析部分中，您将计算可移动电极的变形。

创建结构模型。

structureModel=createpde(“结构性”,'静态 - 刹车'）;

创建可移动电极几何图形并将其包含在模型中。绘制几何图形。

DL = DECSG（RECT_MOVABLE）;几何重组（StrafturalModel，DL）;Pdegplot（结构模型，“EdgeLabels”,“开”)xlabel(“x坐标，米”)伊拉贝尔('Y-CONORATNE，MINK')轴（[-1e-4，1e-4，-1e-5，1e-5]）轴广场

指定结构特性：杨氏模量 $$E$$为170 GPa，泊松比 $$\nu$$是0.34。

结构性（结构模型，“杨斯穆卢斯”，170e9，...'Poissonsratio'，0.34）;

将压力指定为边缘上的边界载荷。无论表面电荷的符号如何，压力都会将导体拉入磁场。对于计算静电压力功能，参见静电压力函数.

压力fcn=@（位置、状态）-...计算静电力（结果，[]，位置）；结构边界荷载（结构模型，“边缘”,[1,2,4],...“压力”，pressureFcn，...“矢量化”,“开”）;

指定可移动电极固定在边缘3处。

结构模型，“边缘”3.'约束','固定的'）;

生成网格。

hmax=1e-6；生成网格（结构模型，“Hmax”，hmax）；pdeplot（结构模型）；xlabel(“x坐标，米”)伊拉贝尔('Y-CONORATNE，MINK')轴（[-1e-4，1e-4，-1e-5，1e-5]）轴广场

解方程。

r =解决（结构模型）;

绘制可移动电极的位移图。

Pdeplot（结构模型，'xydata'，r.vonmisesstress，...“变形”，R.位移，...“DeformationScaleFactor”,10,...'colormap','喷射')；头衔('von在偏转电极中误解了压力')xlabel(“x坐标，米”)伊拉贝尔('Y-CONORATNE，MINK')轴（[-1e-4，1e-4，-1e-5，1e-5]）轴广场

求最大位移。

maxdisp=最大值（abs（R.Displacement.uy））；fprintf('有限元最大尖端挠度为：%12.4e\n',...maxdisp）；

有限元最大尖端挠度为：1.5630e-07

重复更新沿可移动电极的电荷密度并求解模型，直到电极变形值收敛。

olddisp=0；虽然ABS（（maxdisp-olddisp）/ maxdisp）> 1e-10％施加边界条件压力fcn=@（位置、状态）-...CARCULATEELTORTALLURE（结果，R，位置）;BL =结构间荷兰（结构模型，...“边缘”,[1,2,4],...“压力”，pressureFcn，...“矢量化”,“开”）;％解决方程R=求解（结构模型）；olddisp=maxdisp；maxdisp=max（abs（R.Displacement.uy））；删除（bl）结尾

绘制位移。

Pdeplot（结构模型，'xydata'，r.vonmisesstress，...“变形”，R.位移，...“DeformationScaleFactor”,10,...'colormap','喷射')；头衔('von在偏转电极中误解了压力')xlabel(“x坐标，米”)伊拉贝尔('Y-CONORATNE，MINK')轴（[-1e-4，1e-4，-1e-5，1e-5]）轴广场

求最大位移。

maxdisp=最大值（abs（R.Displacement.uy））；fprintf('有限元最大尖端挠度为：%12.4e\n'，maxdisp）;

有限元最大尖端偏转是：1.8162E-07

工具书类

[1] Sumant，P.S.，N.R.R.Aluru和A.C. cangellis。“静电驱动MEMS快速有限元建模的方法论。”国际工程中数学杂志。第77卷，第13期，2009年，1789-1808年。

静电压力函数

可移动电极上的静电压力由下式给出

$$P=\frac{1.}{2.ϵ}|D{|}^{2.}$$,

哪里 $$|D|=ϵ|E|$$是电通量密度的大小， $$ϵ$$是可移动电极旁边的介电常数，以及 $\left|\mathit{E}\right|$是电场的大小。电场 $\mathit{E}$是电势的梯度 $\mathit{v}$:

$\mathit{E}=-\nabla \mathit{v}$.

解决机械FEA来计算可动电极的变形。使用所计算的可动电极的位移，更新沿可动电极的电荷密度。

哪里 $$|D_{DEF}\left(x\right)|$$是变形电极中电通量密度的大小， $$|D_0\left(x\right)|$$是未变形电极中电通量密度的大小， $$G$$是在没有驱动的情况下，可移动电极和固定电极之间的距离，以及 $$v\left(x\right)$$是位置处可移动电极的位移x沿其轴线。最初，可移动电极未变形， $$v\left(x\right)=0$$，因此， $\left|{\mathit{D}}_{\mathrm{def}}\left(\mathit{x}\right)\right|\approx \left|{\mathit{D}}_0\left(\mathit{x}\right)\right|$.

作用电子压力=...计算静电压力（电气结果、结构结果、位置）%函数来计算静电压力。%structuralBoundaryLoad用于指定％可动电极上的压力负载。%投入：％ELECRESULTS：静电FEA结果％structResults：机械fea结果（可选）％位置：x，y坐标%获得压力的位置%％ 输出：％eFressure：位置处的静电压力%%位置x：点的x坐标%位置y：点的y坐标xq=位置.x；yq=位置.y；%计算电场的大小%从电位差来看。[gradx，grady]=评估梯度（elecResults，xq，yq）；absE=sqrt（梯度x.^2+grady.^2）；％真空介电常数为8.854 * 10 ^ -12巴拉/米。ε0=8.854e-12；%计算电通量密度的大小。absd0 = epsilon0 * abse;absd = absd0;%如果structResults（变形）可用，%更新沿可移动电极的电荷密度。如果〜isempty（结构）可移动电极在位置x的％位移interluisp =插值等剥离（结构，xq，yq）;vdisp = abs（interqdisp.uy）;g = 2e-6;%间隙2微米absD=absD0.*G./（G-vdisp）；结尾%计算静电压力。efressure = absd。^ 2 /（2 * epsilon0）;结尾