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eig

特征值和特征向量

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语法

e = eig (A)
[V D] = eig (A)
[V D W] = eig (A)
e = eig (A, B)
[V D] = eig (A, B)
[V D W] = eig (A, B)
(___balanceOption] = eig(一个)
(___]= eig (A, B,算法)
(___)= eig (___eigvalOption)

描述

例子

e= eig (一个)返回一个列向量,其中包含方阵的特征值一个。

例子

(V,D)= eig (一个)返回对角矩阵D矩阵的特征值和V的列对应的特征向量,这样吗* V = V * D。

例子

(V,D,W)= eig (一个)还返回完整的矩阵W的列对应的左特征向量,这样吗W * = D * W的。

特征值问题是确定的方程的解一个v=λv,在那里一个是一个n——- - - - - -n矩阵,v是一个列向量的长度n,λ是一个标量。的值λ满足方程的特征值。相应的值v满足的方程是正确的特征向量。左特征向量,w满足的方程,w”一个=λw”。

例子

e= eig (一个,B)返回一个包含广义特征值的平方矩阵的列向量一个和B。

例子

(V,D)= eig (一个,B)返回对角矩阵D广义特征值和全矩阵V的列对应的特征向量,这样吗* V = B * * D。

(V,D,W)= eig (一个,B)还返回完整的矩阵W的列对应的左特征向量,这样吗W W * = D *的* B。

广义特征值问题是确定的方程的解一个v=λBv,在那里一个和B是n——- - - - - -n矩阵,v是一个列向量的长度n,λ是一个标量。的值λ满足方程的广义特征值。相应的值v是广义特征向量。左特征向量,w满足的方程,w”一个=λw”B。

例子

(___)= eig (一个,balanceOption),在那里balanceOption是“nobalance”,禁用初步平衡算法步骤。的默认值balanceOption是“平衡”,使平衡。的eig函数可以返回任何输出的参数在以前的语法。

例子

(___)= eig (一个,B,算法),在那里算法是“胆固醇”,采用柯列斯基分解的B计算广义特征值。的默认值算法取决于的属性一个和B,但通常是“求”使用的算法求出。

如果一个埃尔米特,B埃尔米特正定,那么默认算法是“胆固醇”。

例子

(___)= eig (___,eigvalOption)返回指定的特征值的形式eigvalOption使用任何输入或输出参数在以前的语法。指定eigvalOption作为“向量”返回一个列向量或特征值“矩阵”返回一个对角矩阵的特征值。

例子

全部折叠

打开生活的脚本

使用画廊创建一个对称正定矩阵。

一个=画廊(“黄土”4)
一个=1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 1.0000 0.6667 0.5000 0.3333 0.6667 1.0000 0.7500 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000

特征值的计算一个。结果是一个列向量。

e = eig (A)
e =0.2078 0.4078 0.8482 2.5362

另外,使用eigvalOption返回一个对角矩阵的特征值。

D = eig (,“矩阵”)
D =0.2078 0.8482 0.4078 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.5362
打开生活的脚本

使用画廊创建一个循环矩阵。

一个=画廊(“线性”3)
一个=1 2 3 3 1 2 2 3 1

计算特征值和特征向量的一个。

[V D] = eig (A)
我0.2887 - 0.5000 V = -0.5774 + 0.0000 0.2887 -0.5774 + 0.0000 + 0.5000我-0.5774 -0.5774我-0.5774 + 0.0000 + 0.0000 + 0.0000我0.2887 + 0.5000 0.2887 - 0.5000
D = 6.0000 + 0.0000我0.0000 + 0.0000 0.0000 + 0.0000 0.0000 -1.5000 + 0.8660 + 0.0000我0.0000 + 0.0000我0.0000 + 0.0000 + 0.0000 0.0000 -1.5000 - 0.8660我

验证结果满足* V = V * D。

* V - V * D
ans e-14 = 1.0 * -0.2665 + 0.0000我-0.0333 + 0.1110 -0.0333 - 0.1110 0.0888 0.0000 + 0.1221 + 0.0000我0.0000 - 0.1221我-0.0111 + -0.0444 + 0.0000 0.1221 -0.0111 - 0.1221我

理想情况下,特征值分解满足的关系。自eig执行分解使用浮点计算* V可以,在最好的情况下,方法V * D。换句话说,* V - V * D接近,但不完全是0。

打开生活的脚本 
(3.0 - -2.0 = -0.9 - 2 *每股收益;-2.0 4.0 1.0每股收益;eps / 4 eps / 2 -1.0 0;-0.5 -0.5 0.1 1.0);

计算特征值和右特征向量使用默认(平衡)的行为。

(VB, DB) = eig (A)
VB =0 0.6153 -0.4176 -0.0000 -0.1528 -0.7881 -0.3261 0.1345 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.9781 0.0189 0.8481 -1.0000 0.0443
DB =5.5616 1.0000 1.4384 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0000

验证结果满足一个VB = VB * * DB。

一个VB * * VB - DB
ans =1.0 e-14 * -0.1776 -0.0111 -0.0559 -0.0167 0.3553 0.1055 0.0336 -0.0194 0.0017 0.0002 0.0007 0 0.0264 -0.0222 0.0222 0.0097

这个结果不满足一个VB = VB * * DB。理想情况下,特征值分解满足这个关系。自eig执行分解使用浮点计算* V可以,在最好的情况下,方法V * D。换句话说,* V - V * D接近,但不完全是0。

现在,试着计算特征值和特征向量,而平衡的步骤。

(VN, DN) = eig (,“nobalance”)
VN =0 0.6153 -0.4176 -0.0000 -0.1528 -0.7881 -0.3261 0.1345 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.9781 0.0189 0.8481 -1.0000 0.0443
DN =5.5616 1.0000 1.4384 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0000

验证结果满足* VN = VN * DN。

* VN - VN * DN
ans =1.0 e-14 * -0.1776 -0.0111 -0.0559 -0.0167 0.3553 0.1055 0.0336 -0.0194 0.0017 0.0002 0.0007 0 0.0264 -0.0222 0.0222 0.0097

* VN - VN * DN更接近于0,所以“nobalance”在这种情况下选择产生更精确的结果。

打开生活的脚本

创建一个3×3的矩阵。

(1 = 7 3;2 9日12;5 22 7];

计算正确的特征向量,V特征值,D左特征向量,W。

[V D W] = eig (A)
V =-0.2610 -0.9734 0.1891 -0.5870 0.2281 -0.5816 -0.7663 -0.0198 0.7912
D =25.5548 0 0 0 0 0 0 -0.5789 -7.9759
W =-0.1791 -0.9587 -0.1881 -0.8127 0.0649 -0.7477 -0.5545 0.2768 0.6368

验证结果满足W * = D * W的。

W * A - D * W的
ans =1.0 e-13 * 0.1155 -0.0711 -0.0711 -0.0033 -0.0215 -0.0408 0.0022 0.0266 0.0178

理想情况下,特征值分解满足的关系。自eig执行分解使用浮点计算W”*可以,在最好的情况下,方法D * W '。换句话说,W * A - D * W的接近,但不完全是0。

打开生活的脚本

创建一个3×3的矩阵。

一个= [3 1 0;0 3 1;0 0 3];

计算特征值和特征向量的一个。

[V D] = eig (A)
V =0.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 0.0000 - -0.0000 0 0
D =3 0 0 0 3 0 0 0 3

一个重复的特征值和特征向量并不是独立的。这意味着一个不是对角化的,因此,有缺陷的。

验证V和D满足的方程,* V = V * D,即使一个是有缺陷的。

* V - V * D
ans =1.0 e15汽油0.0000 * 0.8882 - -0.8882 0 0 0 0 0

理想情况下,特征值分解满足的关系。自eig执行分解使用浮点计算* V可以,在最好的情况下,方法V * D。换句话说,* V - V * D接近,但不完全是0。

打开生活的脚本

创建两个矩阵,一个和B,然后求解广义特征值问题的特征值和右特征向量(A, B)。

一个= [1 /√(2)0;0 1];B = [0 1;1 /√(2)0];[V D] = eig (A, B)
1.0000 V = 1.0000 + 0.0000 + 0.0000我0.0000 - 0.7071 0.0000 + 0.7071
D = 0.0000 + 1.0000我0.0000 + 0.0000 + 0.0000 0.0000 0.0000 - 1.0000我

验证结果满足* V = B * * D。

* V - B * * D
ans =0 0 0 0

剩余误差* V - B * * D就是零。

打开生活的脚本

创建一个严重条件对称矩阵包含值接近机器精度。

格式长e=诊断接头([10 ^ -16年^ -15))
= 1.000000000000000 e-16 0 0 1.000000000000000 e15汽油

计算右特征向量的广义特征值和一组使用默认的算法。在这种情况下,默认的算法“胆固醇”。

(V1, D1) = eig (,)
V1 = 1.000000000000000 e + e + 07年08年0 0 3.162277660168380
D1 = 9.999999999999999 e-01 0 0 1.000000000000000 e + 00

现在,计算广义特征值和特征向量使用一组权利“求”算法。

(V2, D2) = eig(一个,“求”)
V2 = 1 0 0 1
D2 = 1 0 0 1

检查如何“胆固醇”结果满足* V1 =一个* * D1。

格式短* V1 - * * D1
ans =1.0 e-23 -0.6617 * 0.1654 0 0

现在,检查的“求”结果满足一个* V2 * * V2 = D2。

* V2 - * V2 * D2
ans =0 0 0 0

当矩阵都是对称的,eig使用“胆固醇”默认的算法。在这种情况下,求出算法返回更准确的结果。

打开生活的脚本

创建一个2×2的单位矩阵,一个和奇异矩阵,B。

一个=眼(2);B = [3 6;4 8];

试着计算矩阵的广义特征值,。

[V D] = eig (B \)

警告:矩阵是奇异的工作精度。

错误使用eig

输入EIG不得包含南或正无穷。

现在计算广义特征值和特征向量通过两个矩阵eig函数。

[V D] = eig (A, B)
V =-0.7500 -1.0000 -1.0000 0.5000
D =0.0909 0 0正

最好是通过矩阵分别,和让eig选择最好的算法来解决这个问题。在这种情况下,eig (A, B)返回一组特征向量和至少一个真正的特征值,即使B是不可逆的。

验证第一特征值和特征向量。

eigval = D (1,1);eigvec = V (: 1);* eigvec——eigval * B * eigvec
ans =1.0 e15汽油0.2220 * 0.1110

理想情况下,特征值分解满足的关系。使用浮点计算自分解执行,然后A * eigvec可以,在最好的情况下,方法eigval * B * eigvec,在这种情况下。

输入参数

全部折叠

输入矩阵,指定为一个真正的或复杂的方阵。

数据类型:双|单
复数的支持:金宝app是的

输入矩阵广义特征值问题,指定为一个方阵的或复杂的值。B必须是一样的尺寸吗一个。

数据类型:双|单
复数的支持:金宝app是的

平衡选项,指定为:“平衡”,使初步平衡步骤,或“nobalance”禁用它。在大多数情况下,平衡一步提高的条件一个产生更精确的结果。然而,在某些情况下,平衡产生不正确的结果。指定“nobalance”当一个包含值的规模大大不同。例如,如果一个包含非零的整数,以及非常小的(接近于零)值,那么平衡步骤可能规模小的值使其显著的整数和产生不准确的结果。

“平衡”是默认的行为。关于平衡的更多信息,请参阅平衡。

数据类型:字符

广义特征值的算法,指定为“胆固醇”或“求”,选择算法用于计算的广义特征值对。

算法 描述
“胆固醇” 计算的广义特征值一个和B使用的柯列斯基分解B。
“求” 使用算法求出,也被称为广义舒尔分解。该算法忽略了对称的一个和B。

总的来说,这两个算法返回相同的结果。求算法可以更稳定的某些问题,比如涉及严重条件矩阵。

当你忽略算法参数,eig函数性质的基础上选择一个算法一个和B。它使用“胆固醇”对称算法(埃尔米特)一个和埃尔米特对称正定B。否则,它使用“求”算法。

无论您所指定的算法,eig时总是使用算法求出函数一个或B不对称的。

特征值选项,指定为“向量”或“矩阵”。这个选项允许您指定是否返回特征值在一个列向量或一个对角矩阵。默认行为变化根据指定的数量的输出:

  • 如果您指定一个输出,例如e = eig (A),那么默认特征值作为一个列向量返回。

  • 如果指定两个或三个输出,例如[V D] = eig (A),然后返回为一个对角矩阵,特征值D默认情况下,。

例子:D = eig (A,“矩阵”)返回一个对角矩阵的特征值与一个输出语法。

数据类型:字符

输出参数

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特征值,作为一个列向量返回包含特征值(或广义特征值的一对)与多样性。

  • 当一个是真实的和对称的或复杂的埃尔米特,的值e满足一个v=λv是真实的。

  • 当一个是真实的和斜对称的或斜厄密,的值e满足一个v=λv纯粹是虚构或零。

右特征向量,作为一个方阵的返回列的右特征向量一个或广义特征向量的一对,(A, B)。形式和正常化V取决于输入参数的组合:

  • [V D] = eig (A)收益矩阵V正确的特征向量的列一个这样* V = V * D。的特征向量V是规范化的2-norm是1。

    如果一个是真正的对称,那么正确的特征向量,V正交。

  • [V D] = eig (A,“nobalance”)还返回矩阵V。然而,每一个特征向量的2-norm不一定是1。

  • [V D] = eig (A, B)和[V D] = eig (A, B,算法)返回V作为一个矩阵的列是广义特征向量满足* V = B * * D。每个特征向量的2-norm不一定是1。在这种情况下,D包含的广义特征值对,(A, B),沿着主对角线。

    如果一个是对称的,B是对称的正定,特征向量在吗V归一化,这样吗B规范的是1。

特征值,作为一个对角矩阵的特征值返回一个在主对角线或两人的特征值,(A, B)多重性,在主对角线上。

  • 当一个是真实的和对称的或复杂的埃尔米特,的值D满足一个v=λv是真实的。

  • 当一个是真实的和斜对称的或斜厄密,的值D满足一个v=λv纯粹是虚构或零。

左特征向量,作为一个方阵的返回列的左特征向量一个或广义的左特征向量,(A, B)。形式和正常化W取决于输入参数的组合:

  • [V D W] = eig (A)收益矩阵W的左特征向量的列一个这样W * = D * W的。的特征向量W是规范化的2-norm是1。如果一个是对称的,然后W是一样的V。

  • [V D W] = eig (A,“nobalance”)还返回矩阵W。然而,每一个特征向量的2-norm不一定是1。

  • [V D W] = eig (A, B)和[V D W] = eig (A, B,算法)返回W作为一个矩阵的列是广义左特征向量满足W W * = D *的* B。每个特征向量的2-norm不一定是1。在这种情况下,D包含的广义特征值对,(A, B),沿着主对角线。

    如果一个和B是对称的,然后W是一样的V。

提示

  • 的eig函数可以计算稀疏矩阵的特征值是真实的和对称的。计算特征向量的稀疏矩阵,计算稀疏矩阵的特征值,并不是真实的和对称的,使用eigs函数。

扩展功能

另请参阅

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