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检测密集的正弦波
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考虑正弦曲线， F ( x ) = E J 2. π ν x ，用高斯窗口加窗， G ( T ) = E - π T 2. . 短时变换是

v G F ( T , η ) = E J 2. π ν T ∫ - ∞ ∞ E - π ( x - T ) 2. E - J 2. π ( x - T ) ( η - ν ) D x = E - π ( η - ν ) 2. E J 2. π ν T .

当看作是频率的函数时，这个变换结合了一个常数(在时间上)在 ν 远离高斯衰减。瞬时频率的同步压缩估计，

Ω G F ( T , η ) = 1. J 2. π E - π ( η - ν ) 2. ∂ ∂ T E J 2. π ν T E - π ( η - ν ) 2. E J 2. π ν T = ν ,

等于使用标准定义得到的值， ( 2. π ) - 1. D arg F ( x ) / D x . 对于正弦曲线的叠加，

F ( x ) = ∑ K = 1. K A. K E J 2. π ν K x ,

短时间变换变成

v G F ( T , η ) = ∑ K = 1. K A. K E - π ( η - ν K ) 2. E J 2. π ν K T .

创建1024个包含两个正弦波的信号样本。一个正弦波的归一化频率是 ω 0 = π / 5. rad/样本。另一个正弦波具有三倍的频率和三倍的振幅。 
N=1024；n=0:n-1；w0=pi/5；x=exp（1j*w0*n）+3*exp（1j*3*w0*n）；

计算信号的短时傅里叶变换。使用256采样高斯窗口与 α = 2. 0 ， 255个相邻路段重叠样本，1024个DFT点。画出变换的绝对值。 
Nw=256；nfft=1024；α=20[s、 w，t]=光谱图（x，高斯（Nw，阿尔法），Nw-1，nfft，“居中”); 冲浪（t、w/pi、abs），“EdgeColor”,“没有”(2)轴)视图紧包含(“样本”) ylabel ('标准化频率（\times\pi rad/sample）')

图中包含一个坐标轴。轴包含一个类型为曲面的对象。GydF4y2Ba

傅里叶同步压缩变换可以得到更清晰、更好的光谱局部化估计。 

[ss、西南圣]= fsst (x, [], gausswin (Nw,α));fsst (x,“桠溪”)

图中包含一个轴。标题为傅里叶变换的轴包含图像类型的对象。GydF4y2Ba

正弦曲线在预期频率值下以恒定振荡的形式可见。若要查看远离脊线的衰减是高斯的，请绘制变换的瞬时值，并叠加高斯曲线的两个实例。将高斯振幅和标准偏差表示为 α 还有窗户的长度。回想一下，频域窗口的标准偏差是时域窗口标准偏差的倒数。 

rstdev=（Nw-1）/（2*α）；amp=rstdev*sqrt（2*pi）；instransf=abs（s（：，128））；绘图（带pi、INSTRANST）保持在图（w/pi，[13]*amp.*exp（-rstdev^2/2*（w-[13]*w0）。^2），'--')举行关包含('标准化频率（\times\pi rad/sample）'lg =传奇(“转变”,“第一正弦波”,“第二正弦波”）;lg。位置=“最好的”;

图中包含一个轴。轴包含3个类型为line的对象。这些对象表示变换、第一正弦波、第二正弦波。GydF4y2Ba

傅里叶变换将信号的能量集中在估计的瞬时频率上。 

阀杆（sw/pi，abs（ss（：，128）））xlabel('标准化频率（\times\pi rad/sample）')头衔(“Synchrosqueezed变换”)

图中包含一个轴。具有标题的轴包含stem类型的对象。GydF4y2Ba

瞬时频率的同步压缩估计仅在正弦信号间隔大于 2. Δ 哪里

Δ = 1. σ 2. 日志 2.

对于高斯窗口和 σ 是标准差。

重复前面的计算，但现在指定第二个正弦的归一化频率为 ω 0 + 1. . 9 Δ rad/样本。 
D=sqrt（2*log（2））/rstdev；w1=w0+1.9*D；x=exp（1j*w0*n）+3*exp（1j*w1*n）[s、 w，t]=光谱图（x，高斯（Nw，阿尔法），Nw-1，nfft，“居中”）;instransf = abs (s (:, 20));情节(w /π,instransf)在绘图（w/pi，[13]*amp.*exp（-rstdev^2/2*（w-[w0 w1]）。^2），'--')举行关包含('标准化频率（\times\pi rad/sample）'lg =传奇(“转变”,“第一正弦波”,“第二正弦波”）;lg。位置=“最好的”;

图中包含一个轴。轴包含3个类型为line的对象。这些对象表示变换、第一正弦波、第二正弦波。GydF4y2Ba

傅里叶同步压缩变换不能很好地解析正弦信号，因为 | ω 1. - ω 0 | < 2. Δ . 谱估计值显著降低。 
[ss，sw，st]=fsst（x，[]，gausswin（Nw，alpha））；阀杆（sw/pi，abs（ss（：，128）））xlabel('标准化频率（\times\pi rad/sample）')头衔(“Synchrosqueezed变换”)

图中包含一个轴。具有标题的轴包含stem类型的对象。GydF4y2Ba

另见

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