拟合的数据和模型

我们将使用收集到引起工业和生活废弃物研究水体污染的数据。这些数据被详细描述在盒，G.P.，W.G.亨特，和J.S.描述猎人，统计实验者（Wiley出版社，1978年，第483-487）。响应变量是毫克/升生化需氧量，和预测器变量是孵育时间以天。

x = [1 2 3 5 7 10]';y = [109 149 149 191 213];情节(x, y,'KO');包含('孵化（天）中，X');ylabel (“生化需氧量（毫克/升）中，Y”);

我们将假定已知的是，前两次观测的精度低于其余的观测。例如，它们可能是用另一种乐器制作的。重量数据的另一个常见原因是,每个记录观察实际上是几个度量值的平均值在相同的值(x)的数据,假设第一个两个值代表的是单一的原始测量,而其余四个都5原始测量值的平均值。然后，它将是适当的重量通过测量的数量，进入每个观察。

W = [1 1 5 5 5 5]';

我们将对这些数据进行拟合的模型是一个缩放的指数曲线，当x变大时，它将变得水平。

modelFun = @（B，X）B（1）*（1-EXP（-B（2）* X）。）。

根据粗略的视觉拟合，通过这些点绘制的曲线可能在x = 15附近的某个地方达到240左右的水平。我们用240作为b1的起始值，由于e^(- 5*15)比1小，我们用。5作为b2的起始值。

开始= [240;5);

配合而不权重模型

在忽略测量误差的危险是，在配合可以通过不精确的测量被过度地影响，并且可以因此不认为是精确已知的测量提供了良好的配合。让我们来适应没有重量的数据，并将其与分。

NLM = fitnlm（X，Y，modelFun，启动）;XX = linspace（0,12）';线（XX，预测（NLM，XX），“线型”,' - ',“颜色”,数k)

给模型加上重量

注意，拟合曲线被拉向前两个点，但似乎错过了其他点的趋势。让我们试着用重量来配合。

modelFun wnlm = fitnlm (x, y,开始,'重量'w)线(xx,预测(wnlm, xx),“颜色”,“b”)

wnlm =非线性回归模型:y ~ b1 * (1 - exp (- b2 * x))估计系数:估计SE tStat pValue说______ __________ b1 e-05 b2 0.40078 0.064296 6.2333 3.0134 225.17 10.7 21.045 0.0033745的观测数量:6,错误自由度:4根均方误差:24平方:0.908,调整平方0.885 f统计量与零模型:696年,假定值= 8.2 e-06

在这种情况下，估计的总体标准差描述了权重或测量精度为1的“标准”观测值的平均变化。

wnlm.RMSE

ans = 24.0096

任何分析的一个重要部分都是对模型拟合精度的估计。系数表显示了参数的标准误差，但我们也可以计算它们的置信区间。

coefCI（wnlm）

ANS = 195.4650 254.8788 0.2223 0.5793

估计响应曲线

接下来，我们将计算拟合响应值和置信区间为他们。默认情况下，这些宽度是逐点置信区间的预测值，但我们会要求同步间隔为整个曲线。

[ypred，ypredci] =预测（wnlm，XX，'同时',真正的);情节(x, y,'KO'xx ypred,'B-'，XX，ypredci，'B：');包含('X');ylabel ('Y');传奇({'数据',“加权拟合”,'95％置信区间}，'位置','东南');

注意两个downweighted点不被曲线剩余点适合为好。这是你所期望的加权拟合。

它也可以在x的特定值来估计未来的观测值预测区间。这些间隔将在效果假定的权重，或测量精度，1。

[ypred，ypredci] =预测（wnlm，XX，'同时',真的,'预测',“观察”);情节(x, y,'KO'xx ypred,'B-'，XX，ypredci，'B：');包含('X');ylabel ('Y');传奇({'数据',“加权拟合”,“95%预测限制”}，'位置','东南');

权重的绝对比例实际上并不影响参数估计。将权重调整为任意常数会得到相同的估计值。但它们确实影响置信度界限，因为界限代表的是权重为1的观测值。在这里您可以看到，与置信限相比，权重较高的点似乎太接近拟合线。

虽然预测方法不允许我们改变权重，我们可以做一些后处理，研究曲线如何寻找更精确的估计。假设我们对一个新的观测结果感兴趣，它是基于5次测量的平均值，就像图中最后4个点一样。我们可以把间隔的宽度减少一倍根号(5)。

半宽度= ypredci（：，2）-ypred;newwidth =半宽度/ SQRT（5）;newci = [ypred-newwidth，ypred + newwidth];情节(x, y,'KO'xx ypred,'B-'，XX，newci，'R：');包含('X');ylabel ('Y');传奇({'数据',“加权拟合”,“限制重量= 5”}，'位置','东南');

残留分析

除了绘图数据和配合，我们会从对预测的拟合残差绘图，诊断与模型的任何问题。残差应该出现独立同分布的，但与成比例的权重的逆的方差。我们可以规范这种变化使剧情更容易解释。

R = wnlm.Residuals.Raw;图（X，R。*的sqrt（W）'B ^');包含('X');ylabel ('残差，yFit  -  Y');

在这个残积图中有一些系统模式的证据。请注意最后四个残差是如何呈现线性趋势的，这表明随着x的增加，模型增长的速度可能不够快。同时，残差的大小随着x的增大而减小，说明测量误差可能与x有关。这些值得研究，但是数据点太少，很难对这些明显的模式赋予意义。