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线性混合效应模型

线性混合效应模型是分组收集和汇总数据的线性回归模型的扩展。这些模型描述了响应变量和自变量之间的关系，系数可以随一个或多个分组变量而变化。混合效应模型由固定效应和随机效应两部分组成。固定效应项通常是传统的线性回归部分，随机效应与从人群中随机抽取的单个实验单元相关。随机效应具有先验分布，而固定效应不具有先验分布。通过将公共随机效应与具有相同分组变量水平的观测值相关联，混合效应模型可以表示与数据分组相关的协方差结构。线性混合效应模型的标准形式是

$Y = \underset{F 我 x E D}{\underset{︸}{X β}} + \underset{R A. N D o M}{\underset{︸}{Z B}} + \underset{E R R o R}{\underset{︸}{ε.}},$

哪里

Y是个N-by-1响应向量，以及N是观察人数。
X是一个N-经过-P固定效果设计矩阵。
β是一个P- 1个固定效果矢量。
Z是一个N-经过-Q随机效应设计矩阵。
B是一个Q-by-1随机效应向量。
ε.是个N-by-1观测误差向量。

线性混合效应模型的假设是：

随机效应向量，B，以及误差向量，ε.，具有以下先前分配：

$\begin{array}{l} B ~ N (0, {σ.}^{2.} D (θ.)), \\ ε. ~ N (0, σ. {}^{2.}我), \end{array}$

哪里D是一个对称和正的半纤维矩阵，由方差分量矢量参数化θ.,我是一个N-经过-N单位矩阵，以及σ.^2.是误差方差。
随机效应向量，B，以及误差向量，ε.，彼此独立。

混合效应模型也被称为多层次模型要么层次模型根据上下文。混合效果模型比后两个更通用。混合效果模型可能包括不一定是多级或分层的因素，例如交叉的因素。这就是为什么混合效应是这里优选的术语。有时混合效果模型被表示为同时配合的多级回归模型（第一级和分组级模型）。例如，不同或随机拦截模型，具有一个连续的预测器变量x和一个分组变量M水平，可以表达为

$\begin{array}{l} Y_{我 M} = β_{0 M} + β_{1.} x_{我 M} + {ε.}_{我 M}, 我 = 1., 2., .., N, M = 1., 2., ..., M, {ε.}_{我 M} ~ N (0, {σ.}^{2.}), \\ β_{0 M} = β_{00} + B_{0 M}, B_{0 M} ~ N (0, {σ.}_{0}^{2.}), \end{array}$

哪里Y_{感应电动机}与观测数据相对应我和集团M,N是观察总数，b_0M和ε_{感应电动机}它们相互独立。在第一级模型中替换组级参数后，响应向量的模型变为

$Y_{我 M} = \underset{F 我 x E D E F F E C T S}{\underset{︸}{β_{00} + β_{1.} x_{我 M}}} + \underset{R A. N D o M E F F E C T S}{\underset{︸}{B_{0 M}}} + {ε.}_{我 M} .$

一种连续预测变量的随机拦截与斜率模型x，其中拦截和斜率都与分组变量独立不同M级别是

$\begin{array}{l} Y_{我 M} = β_{0 M} + β_{1. M} x_{我 M} + {ε.}_{我 M}, 我 = 1., 2., ..., N, M = 1., 2., ..., M, {ε.}_{我 M} ~ N (0, {σ.}^{2.}), \\ β_{0 M} = β_{00} + B_{0 M}, B_{0 M} ~ N (0, {σ.}_{0}^{2.}), \\ β_{1. M} = β_{10} + B_{1. M}, B_{1. M} ~ N (0, {σ.}_{1.}^{2.}), \end{array}$

要么

$B_{M} = (\begin{array}{l} B_{0 M} \\ B_{1. M} \end{array}) ~ N (0, (\begin{matrix} {σ.}_{0}^{2.} & 0 \\ 0 & {σ.}_{1.}^{2.} \end{matrix})) .$

你也可能有相关的随机效应。通常，对于具有随机截距和斜率的模型，随机效应的分布是

$B_{M} = (\begin{array}{l} B_{0 M} \\ B_{1. M} \end{array}) ~ N (0, σ. {}^{2.}D (θ.)),$

哪里D是一个2乘2对称半正定矩阵，由方差分量向量参数化θ..

在第一级模型中代替组级参数后，响应矢量的模型是

$Y_{我 M} = \underset{F 我 x E D E F F E C T S}{\underset{︸}{β_{00} + β_{10} x_{我 M}}} + \underset{R A. N D o M E F F E C T S}{\underset{︸}{B_{0 M} + B_{1. M} x_{我 M}}} + {ε.}_{我 M}, 我 = 1., 2., ..., N, M = 1., 2., ..., M .$

如果表达组级变量，x_{感应电动机}，在随机效应项中Z_{感应电动机}，此型号为

$Y_{我 M} = \underset{F 我 x E D E F F E C T S}{\underset{︸}{β_{00} + β_{10} x_{我 M}}} + \underset{R A. N D o M E F F E C T S}{\underset{︸}{B_{0 M} + B_{1. M} Z_{我 M}}} + {ε.}_{我 M}, 我 = 1., 2., ..., N, M = 1., 2., ..., M .$

在这种情况下，相同的术语出现在固定效果设计矩阵和随机效果设计矩阵中。每个Z_{感应电动机}和x_{感应电动机}与水平相对应M分组变量的名称。

通过添加更多的组水平预测变量，也可以解释更多的组水平变化。具有一个连续预测变量的随机截距和随机斜率模型x，其中拦截和斜率都与分组变量独立不同M级别，一个组级预测变量v_M是

$\begin{array}{l} Y_{我 M} = β_{0 我 M} + β_{1. 我 M} x_{我 M} + {ε.}_{我 M}, 我 = 1., 2., ..., N, M = 1., 2., ..., M, {ε.}_{我 M} ~ N (0, {σ.}^{2.}), \\ β_{0 我 M} = β_{00} + β_{01} v_{我 M} + B_{0 M}, B_{0 M} ~ N (0, {σ.}_{0}^{2.}), \\ β_{1. 我 M} = β_{10} + β_{11} v_{我 M} + B_{1. M}, B_{1. M} ~ N (0, {σ.}_{1.}^{2.}) . \end{array}$

该模型产生了组水平预测因子的主要影响，以及模型中响应变量的第一水平和组水平预测因子变量之间的交互项

$\begin{array}{l} Y_{我 M} = β_{00} + β_{01} v_{我 M} + B_{0 M} + (β_{10} + β_{11} v_{我 M} + B_{1. M}) x_{我 M} + {ε.}_{我 M}, 我 = 1., 2., ..., N, M = 1., 2., ..., M, \\ = \underset{F 我 x E D E F F E C T S}{\underset{︸}{β_{00} + β_{10} x_{我 M} + β_{01} v_{我 M} + β_{11} v_{我 M} x_{我 M}}} + \underset{R A. N D o M E F F E C T S}{\underset{︸}{B_{0 M} + B_{1. M} x_{我 M}}} + {ε.}_{我 M} . \end{array}$

期限β₁₁v_Mx_{感应电动机}在许多关于多层次模型的教科书中，通常被称为跨层次交互。响应变量的模型Y可以表示为

$\begin{array}{l} Y_{我 M} = [\begin{matrix} 1. & x_{1.}_{我 M} & v_{我 M} & v_{我 M} x_{1. 我 M} \end{matrix}] [\begin{matrix} β_{00} \\ β_{10} \\ β_{01} \\ β_{11} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1. & x_{1. 我 M} \end{matrix}] [\begin{matrix} B_{0 M} \\ B_{1. M} \end{matrix}] + {ε.}_{我 M}, 我 = 1., 2., ..., N, M = 1., 2., ..., M, \end{array}$