多元t分布
定义
的概率密度函数d维多元学生的t分布由
在哪里x是1 -d向量，Σ是ad——- - - - - -d对称，正定矩阵，和ν是一个正标量。虽然可以定义多元Student’st对于奇异的Σ，密度不能写成上面的形式。对于奇异情况，只支持随机数生成。金宝app请注意，虽然大多数教科书定义多元学生的t与x面向作为列向量，对于数据分析软件来说，面向更方便x作为行向量，统计和机器学习工具箱™软件使用这个方向。
背景
多元学生的t分布是单变量学生的一种概括t到两个或多个变量。它是相关变量的随机向量的分布，每个元素都有一个单变量Student’st分布。就像单变量学生的t分布可以通过将一个标准的单变量正态随机变量除以一个单变量卡方随机变量(多元Student’s)的平方根来构造t分布可以通过将一个具有零均值和单位方差的多元正态随机向量除以一个单变量卡方随机变量来构造。
多元学生的t分布用相关矩阵Σ和一个正标量自由度参数参数化，ν．ν类似于一个单变量的自由度参数Student'st分布。Σ的非对角元素包含变量之间的相关性。需要注意的是，当Σ为单位矩阵时，变量不相关;然而，它们并不是独立的。
多元学生的t在已知单个变量的边际分布比正态分布有更宽的尾部的情况下，分布经常被用作多元正态分布的替代品。
例子
绘制多元的PDF和CDFt分布
绘制一个二元学生的pdft分布。您也可以将此分布用于更高的维度，尽管可视化并不容易。
Rho = [1 .6;6 1];ν= 5;x1 = 3: .2:3;x2 = 3: .2:3;(X1, X2) = meshgrid (X1, X2);F = mvtpdf([X1(:) X2(:)]，Rho,nu);F =重塑(F,长度(x2)、长度(x1));冲浪(x1, x2, F);caxis ([min (F(:))闲置*范围(F(:)),马克斯(F (:)))); axis([-3 3 -3 3 0 .2]) xlabel(x1的）;ylabel (“x2”）;zlabel (的概率密度）;
绘制一个二元学生的cdft分布。
F = mvtcdf([X1(:) X2(:)]，Rho,nu);F =重塑(F,长度(x2)、长度(x1));冲浪(x1, x2, F);caxis ([min (F(:))闲置*范围(F(:)),马克斯(F (:))));xlabel([-3 3 -3 3 0 1])x1的）;ylabel (“x2”）;zlabel (“累积概率”）;
因为二元学生的t分布是在平面上定义的，你也可以计算矩形区域的累积概率。例如，这幅等高线图说明了下图所示单位正方形中包含的概率的计算。
轮廓(x1, x2, F,[。0001 .001 .01 .05:.1:。9.99 .999 .9999]);包含(“x”）;ylabel (“y”）;Line ([0 0 1 1 0]，[1 0 0 1 1]，“线型”，“——”，“颜色”，“k”）;
计算包含在单位平方内的概率值。
F = mvtcdf([0 0]，[1 1]，Rho,nu)
F = 0.1401
计算多元累积概率比计算单变量概率需要多得多的工作。默认情况下,mvtcdf函数将计算出的值小于机器的精度，并返回错误估计，作为可选的第二输出。
[F,err] = mvtcdf([0 0]，[1 1]， r,nu)
F = 0.1401
呃= 1.0000 e-08
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