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傅里叶变换与逆傅里叶变换

本页显示符号数学工具箱中傅里叶变换和逆傅里叶变换的工作流程™. 有关简单示例，请参见傅立叶变换和伊弗利尔这里，傅里叶变换的工作流程通过计算梁在力作用下的挠度来演示。相关微分方程通过傅里叶变换求解。

傅里叶变换定义

图像的傅里叶变换F(x)关于x在W是

$F (W) = \int_{- \infty}^{\infty} F (x) E^{- 我 W x} D x .$

逆傅里叶变换是

$F (x) = \frac{1.}{2. π} \int_{- \infty}^{\infty} F (W) E^{我 W x} D W .$

概念：使用符号工作流

符号工作流将计算保持为自然符号形式，而不是数字形式。这种方法可以帮助您理解解决方案的属性并使用精确的符号值。只有在需要数字结果或无法符号化继续时，才能用数字代替符号变量。有关详细信息，请参阅选择数字或符号算术。通常，步骤包括：

声明方程式。
解方程。
替换值。
绘制结果。
分析结果。

用傅里叶变换计算梁挠度

定义方程式

傅立叶变换可用于求解常微分方程和偏微分方程。例如，可以在点力作用下模拟弹性地基上无限长的梁的挠度。一个相应的真实例子是地基上的铁路轨道。有弹力的

让

E梁（或铁路轨道）的弹性。
我为梁横截面面积的第二力矩。
K是基础的弹簧刚度。

微分方程是

$\frac{D^{4.} Y}{D x^{4.}} + \frac{K}{E 我} Y = \frac{1.}{E 我} δ (x), - \infty < x < \infty .$

定义函数y（x）以及变量。假定E,我，及K这些都是积极的。

syms Y（x）w E I k f假设（[E I k]>0）

通过使用为变量指定单位符号单位.

u=符号单位；欧盟=E*u.Pa；%帕斯卡Iu=I*u.m^4；%米^4 ku=k*u.N/u.m^2；%牛顿/米^2 X=X*u.m；F=F*u.N/u.m；

定义微分方程。

方程n=diff（Y，X，4）+ku/（Eu*Iu）*Y==F/（Eu*Iu）

等式N（x）=diff（Y（x），x，x，x）*（1/[m]^4）+（k*Y（x））/（E*I））*（[N]/[Pa]*[m]^6））==。。。（f/（E*I））*（[N]/（[Pa]*[m]^5））

代表原力F通过狄拉克三角函数δ(x).

eqn=subs（eqn，f，dirac（x））

方程N（x）=微分（Y（x），x，x，x）*（1/[m]^4）+（k*Y（x））/（E*I））*（[N]/（[Pa]*[m]^6））==…（狄拉克（x）/（E*I））*（[N]/（[Pa]*[m]^5））

解方程

计算图像的傅里叶变换方程利用傅立叶变换两边方程. 傅里叶变换将微分转换为W.

eqnFT=fourier（lhs（eqn））==fourier（rhs（eqn））

eqnFT=w^4*fourier（Y（x），x，w）*（1/[m]^4）+（k*fourier（Y（x，x，w））/（E*I））*（[N]/（[Pa]*[m]^6））…==（1/（E*I））*（[N]/（[Pa]*[m]^5））

隔离傅里叶（Y（x），x，w）在方程式中。

eqnFT=隔离（eqnFT，傅里叶（Y（x），x，w））

eqnFT=fourier（Y（x），x，w）=（1/（E*I*w^4*[Pa]*[m]^2+k*[N]）*[N]*[m]

算计Y（x）通过计算右侧的傅里叶逆变换。简化结果。

YSol=ifourier（rhs（eqnFT））；YSol=simplify（YSol）

YSol=（（exp（-（2^（1/2）*k^（1/4）*abs（x））/（2*E^（1/4）*I^（1/4））*sin（（2*2^（1/2）*k^（1/4）*abs（x）+pi*E^（1/4）*I^（1/4））/（4*E^（1/4）*I^（1/4））/（2*E^（1/4）*I^[3]

检查一下伊索尔通过替换使尺寸正确伊索尔进入方程使用检查单位功能。检查单位返回逻辑1.(真的)，意思是方程现在有相同物理尺寸的兼容单元。

检查单位（接头（eqn、Y、YSol））

ans=带字段的结构：一致：1兼容：1

使用将表达式与单元分开分离单元.

YSol=分离单元（YSol）

YSol=（exp（-（2^（1/2）*k^（1/4）*abs（x））/（2*E^（1/4）*I^（1/4））*sin（（2*2^（1/2）*k^（1/4）*abs（x）+pi*E^（1/4）*I^（1/4））/（4*E^（1/4）*I^（1/4））/（2*E^（1/4）*I^（1/4））/（2*E^（1/4）*

替代值

使用这些值E= 10^6.帕,我= 10^-3M^4.，及k=10^6.不适用^2..将这些值替换为伊索尔并使用vpa精度为16位。

值=[1e6 1e-3 1e5]；YSol=subs（YSol[eik]，值）；YSol=vpa（YSol，16）

YSol=0.00001581388308419*exp（-2.23606797749979*abs（x））*sin（2.23606797749979*abs（x）+…0.785398163397483）

绘图结果

使用fplot.

fplot（YSol）xlabel（'x'）ylabel（'y（x）'））

分析结果

该图显示，点力引起的梁挠度高度局部化。在碰撞点偏转最大，然后迅速减小。符号结果使您能够分析结果的属性，这在数值结果中是不可能的。

注意伊索尔是术语的产物。术语与罪结果表明，响应为振动振荡行为。术语与经验结果表明，随着距离撞击点的距离增加，振荡行为会迅速被指数衰减所抑制。