用z变换求解差分方程
通过使用符号数学工具箱™中的z变换来解决差分方程。有关z变换的简单示例，请参见ztrans和iztrans．
定义:z变换
函数的z变换f（n)的定义为
概念:使用符号工作流
符号工作流程保持自然符号形式的计算而不是数字形式。此方法有助于您了解解决方案的属性并使用确切的符号值。只有当您需要数字结果时，才会替换数字代替符号变量，否则您无法符号。有关详细信息，请参阅选择数字或符号算术．通常，步骤是：
宣布方程式。
解决方程。
替代的价值观。
情节结果。
分析结果。
工作流程：使用Z-Transform解决“兔生长”问题
申报的方程
您可以使用z变换来解决差分方程，例如著名的“兔子生长”问题。如果有一对兔子在一年内成熟，然后每年生产另一对兔子，兔子的数量p（n）在一年n用这个差分方程来描述。
p（n+2）=p（n+ 1) +p（n）.
假设等式右边为表达式，将等式声明为表达式0．因为n代表年份，假设n为正整数。这个假设简化了结果。
信谊p (n) z假设(n > = 0 & (n,“整数”))f = p (n + 2) - p (n + 1) - p (n)
f = p（n + 2） - p（n + 1） - p（n）
解决方程
求方程的z变换。
FZT = ZTRANS（F，N，Z）
fzt = z * p（0） - z * ztrans（p（n），n，z） - z * p（1）+ z ^ 2 * ztrans（p（n），n，z） - z^ 2 * p（0） - ztrans（p（n），n，z）
功能解决只解决符号变量。因此,使用解决,第一个替代ztrans (p (n), n, z)与变量PZT.．
pZT = subs(fZT,ztrans(p(n)，n,z)，pZT)
fzt = z * p（0） - pzt - z * p（1） - pzt * z - z ^ 2 * p（0）+ pzt * z ^ 2
解决PZT.．
PZT =解决（FZT，PZT）
PZT = - （Z * P（1） - Z * P（0）+ Z ^ 2 * P（0））/（ - Z ^ 2 + Z + 1）
计算p（n）通过计算的z反变换PZT.．简化的结果。
PSOL = IZTRANS（PZT，Z，N）;psol =简化（psol）
pSol = 2 * (1) ^ (n / 2) * cos (n *(π/ 2 +的作用(1/2)* 1我))* p(1) +…(2 ^ (2 - n) * 5 ^ (1/2) * (5 ^ (1/2) + 1) ^ (n - 1) * (p (0) / 2 - p(1))) / 5 -…(2 * 2 ^ (1 - n) * 5 ^ (1/2) * (1 - 5 ^ (1/2)) ^ (n - 1) * (p (0) / 2 - p (1))) / 5
替代值
要绘制结果，首先代入初始条件的值。让p（0）和p（1）是1和2,分别。
psol = summ（psol，[p（0）p（1）]，[1 2]）
psol = 4 *（ - 1）^（n / 2）* cos（n *（pi / 2 + asinh（1/2）* 1i）） - （3 * 2 ^（2 - n）* 5 ^（1/ 2）* ...（5 ^（1/2）+ 1）^（n - 1））/ 10 +（3 * 2 ^（1 - n）* 5 ^（1/2）*（1 -5 ^（1/2））^（n - 1））/ 5
阴谋的结果
用图表显示兔子数量随时间的增长普罗尔．
nValues = 1:10;pSolValues =潜艇(pSol n nValues);pSolValues =双(pSolValues);pSolValues =实际(pSolValues);xlabel(' year (n)') ylabel('Population p(n)')) grid on . xlabel(' year (n)') title('Rabbit Population') xlabel(' Population p(n)') title('Rabbit Population') xlabel(' Population p(n)'
分析结果
从图中可以看出，解似乎呈指数增长。然而，因为解决方案普罗尔包含许多术语，查找产生此行为的术语需要分析。
因为所有的函数普罗尔可以用……来表示吗经验值,重写普罗尔来经验值．通过使用简化结果简化与80其他简化步骤。现在，你可以分析普罗尔．
pSol =重写(pSol,“经验值”);pSol =简化(pSol“步骤”,80)
psol =（2 * 2 ^ n）/（ - 5 ^（1/2） - 1）^ n - （3 * 5 ^（1/2）*（1/2 - 5 ^（1/2）/ 2）^ n）/ 10 + ...（3 * 5 ^（1/2）*（5 ^（1/2）/ 2 + 1/2）^ n）/ 10 - （3 *（1/2 -5 ^（1/2）/ 2）^ n）/ 2 + ...（5 ^（1/2）/ 2 + 1/2）^ n / 2
视觉检查普罗尔．请注意,普罗尔是各项的和。每一项都是一个比率，可以增加或减少n增加。对于每个术语，您可以通过几种方式确认这一假设：
检查是否限制
n = Inf.去0要么INF.通过使用限制．绘制递增项
n和检查的行为。计算一个大的值
n．
为了简单起见，使用第三种方法。计算n = 100.，然后验证该方法。首先，通过使用找到单个术语孩子们， 替代品n，并转换为双倍。
pSolTerms =孩子(pSol);pSolTermsDbl =潜艇(pSolTerms, n, 100);pSolTermsDbl =双(pSolTermsDbl)
pSolTermsDbl = 1.0e+20 * 0.0000 -0.0000 5.3134 -0.0000 3.9604
结果表明，某些项是0虽然其他术语具有较大的幅度。假设大幅度术语产生指数行为。近似普罗尔有这些条款。
idx = abs (pSolTermsDbl) > 1;%使用任意截止pApprox = pSolTerms(idx);pApprox =总和(pApprox)
pApprox = (3 * 5 ^ (1/2) * (5 ^ (1/2) / 2 + 1/2) ^ n) / 10 + (5 ^ (1/2) / 2 + 1/2) ^ n / 2
通过绘制之间的近似误差来验证假设普罗尔和pApprox．正如预期的那样，错误变成0作为n增加。这个结果演示了符号计算如何帮助您分析问题。
Perror = pSol - pApprox;nValues = 1:30;Perror =潜艇(Perror n nValues);xlabel(' year (n)') ylabel('Error (pSol - pApprox)') title('Error in Approximation')
参考
[1]安德鲁斯，l.c.， Shivamoggi, b.k.，工程师和应用数学家的整体变换，麦克米伦出版公司，纽约，1986
[2]克兰德尔右眼,科学计算项目，斯普林格出版社，纽约，1994
[3]斯特朗,G。,应用数学概论，Wellesley-Cambridge Mound，Wellesley，Ma，1986
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