拉普拉斯算子的特征值

开立真实脚本

此示例示出了如何解决上的L形区域拉普拉斯算子的特征值问题。

膜质量问题

考虑一个固定在边界上的膜 $\partial Ω$ 一个区域的 $Ω$ 在平面上。它的位移 $u (x, y)$ 由本征值问题描述 $Δ u = λ u$ ，其中 $Δ u = u_{x x} + u_{y y}$ 是拉普拉斯算子吗 $λ$ 是一个标量参数。边界条件 $u (x, y) = 0$ 对所有人 $(x, y) \in \partial Ω$ 。

拉普拉斯算子是自伴和负定的，也就是说，只有实的负特征值 $λ$ 存在。存在一个极大的(负的)离散特征值，对应的特征函数 $u$ 被称为基态。在这个例子中, $Ω$ 为l形区域，与此区域相关的基态为l形膜，即MATLAB®徽标。

九点有限差分近似

以特征值问题的最简单的方法是近似拉普拉斯 $Δ u$ 由有限差分近似（一模版)在一个由点和距离构成的正方形网格上hx在 $x$ 方向和距离沪元在 $y$ 方向。在这个例子中，是近似值 $Δ u$ 用一笔S_H围绕中点9个规则的网格点 $(x, y)$ 。未知数就是权重 ${一个}_{- 1 - 1}, \dots, {一个}_{11}$ 。

SYMSU（X，Y）每股收益A11A10A1_1A01A00a0_1a_11a_10a_1_1SYMShx沪元正S_H = a_11 * U（X  - 每股收益* HX，Y +每股收益* HY）+...A01 * U（X，Y +每股收益* HY）+...A11 * U（X +每股收益* HX，Y +每股收益* HY）+...a_10 * U（X  - 每股收益* HX，Y）+...A00 * U（X，Y）+...A10 * U（X +每股收益* HX，Y）+...a_1_1 * U（X  - 每股收益* HX，Y  - 每股收益* HY）+...a0_1 * U（X，Y  - 每股收益* HY）+...A1_1 * U（X +每股收益* HX，Y  - 每股收益* HY）;

使用象征性的参数每股收益排序这个表达式的由权力膨胀hx和沪元。知道了权值，您就可以通过设置来近似拉普拉斯行列式EPS = 1。

T =泰勒（S_H，EPS，'订购'7);

使用多项式系数函数的作用是:提取幂次相同的项的系数每股收益。每个系数都是幂的表达式hx,沪元，以及u关于 $x$ 和 $y$ 。自S_H代表 $u_{x x} + u_{y y}$ 的所有其他导数的系数u必须为零。通过替换的所有衍生提取的系数u,除了 $u_{x x}$ 和 $u_{y y}$ ,0。取代 $u_{x x}$ 和 $u_{y y}$ 1。这就把泰勒展开式化为你想要计算的系数，从而得到下面六个线性方程。

C =式（coeffs（吨，EPS，“所有”））;EQ0 =潜艇（C（7）中，u（X，Y），1）== 0;eq11 =潜艇（C（6），[DIFF（U，X），DIFF（U，Y）]，[1,0]）== 0;eq12 =潜艇（C（6），[DIFF（U，X），DIFF（U，Y）]，[0,1]）== 0;EQ21 =潜艇（C（5），[DIFF（U，X，X），DIFF（U，X，Y），DIFF（U，Y，Y）]，[1,0,0]）== 1;eq22 =潜艇（C（5），[DIFF（U，X，X），DIFF（U，X，Y），DIFF（U，Y，Y）]，[0,1,0]）== 0;eq23 =潜艇（C（5），[DIFF（U，X，X），DIFF（U，X，Y），DIFF（U，Y，Y）]，[0,0,1]）== 1;

由于有九个未知的权重S_H，要求所有的三阶导数u都是0。

eq31 =潜艇（C（4），[DIFF（U，X，X，X），DIFF（U，X，X，Y），DIFF（U，X，Y，Y），DIFF（U，Y，Y，Y）]，[1,0,0,0]）== 0;eq32 =潜艇（C（4），[DIFF（U，X，X，X），DIFF（U，X，X，Y），DIFF（U，X，Y，Y），DIFF（U，Y，Y，Y）]，[0,1,0,0]）== 0;eq33 =潜艇（C（4），[DIFF（U，X，X，X），DIFF（U，X，X，Y），DIFF（U，X，Y，Y），DIFF（U，Y，Y，Y）]，[0,0,1,0]）== 0;eq34 =潜艇（C（4），[DIFF（U，X，X，X），DIFF（U，X，X，Y），DIFF（U，X，Y，Y），DIFF（U，Y，Y，Y）]，[0,0,0,1]）== 0;

解决为九点未知的权重产生的10式。使用ReturnConditions求出包括任意参数在内的所金宝搏官方网站有解。

[A11，A10，A1_1，A01，A00，a0_1，a_11，a_10，a_1_1，参数，条件] =...解决（[EQ0，eq11，eq12，EQ21，eq22，eq23，eq31，eq32，eq33，eq34]...[A11，A10，A1_1，A01，A00，a0_1，a_11，a_10，a_1_1]...'ReturnConditions'，真正）;扩大（[a_11，A01，A11;...a_10，A00，A01;...a1_1、a0_1 a_1_1])

ans =
                 
                   $(\begin{array}{c} z & \frac{1}{{沪元}^{2}} - 2 z & z \\ \frac{1}{{hx}^{2}} - 2 z & 4 z - \frac{2}{{hx}^{2}} - \frac{2}{{沪元}^{2}} & \frac{1}{{沪元}^{2}} - 2 z \\ z & \frac{1}{{沪元}^{2}} - 2 z & z \end{array})$

参数

参数=
                  $z$

使用潜艇函数以其计算值替换权重。

C =简化（潜艇（C））;

的表情C（7）,C（6）和C（4）包含的0阶，1阶和3阶导数u消失。

[C（7），C（6），C（4）]

ans =
                  $(\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array})$

表达方式C（5）是的拉普拉斯u。

C（5）

ans =
                 
                   $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u (x, y) + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} u (x, y)$

因此，使用上面计算的权重值，模板S_H接近拉普拉斯高达秩序hx ^ 2,hy ^ 2对于任意参数的任意值z,前提是z被选为有秩序的O（1 / HX ^ 2,1 / HY ^ 2）。

含条款第四，高阶导数

尽管解决方案包含一个自由参数z,该表达式C（3）含的第四阶导数u不能由适当选择变成零z。另一种选择是把它变成拉普拉斯算子的平方的倍数。

SYMSd拉普拉斯= @(u)拉普拉斯(u，[x,y]);扩大(d *拉普拉斯(拉普拉斯(u)))

ANS（X，Y）=
                 
                   $d \frac{\partial^{4}}{\partial x^{4}} u (x, y) + 2 d \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u (x, y) + d \frac{\partial^{4}}{\partial y^{4}} u (x, y)$

挑的不同衍生物u在C（3），并使它们的系数与相应的项相等。

潜艇(C (3), [diff (u, x, x, x, x), diff (u, x, x, y, y), diff (u, y, y, y, y)], [1, 0, 0)) = = d

ans =
                 
                   $\frac{{hx}^{2}}{12} = d$

潜艇（C（3），[DIFF（U，X，X，X，X），DIFF（U，X，X，Y，Y），DIFF（U，Y，Y，Y，Y）]，[0，1,0]）== 2 * d

ans =
                  ${hx}^{2} {沪元}^{2} z = 2 d$

潜艇（C（3），[DIFF（U，X，X，X，X），DIFF（U，X，X，Y，Y），DIFF（U，Y，Y，Y，Y）]，[0，0,1]）== d

ans =
                 
                   $\frac{{沪元}^{2}}{12} = d$

因此，你可以选择d = HX ^ 2/12 = HY ^ 2/12和z = 2 * d / (hx hy ^ ^ 2 * 2),这意味着hx =沪元和Z = 1 /（6 * * HX HY）。因此，模板S_H近似于改进的拉普拉斯上的正方形格子HX = HY = H。

${年代}_{h} = Δ u + \frac{h^{2}}{12} Δ^{2} u + O (h^{3.}) 。 (1)$

SYMShhx = h;hy = h;d = h ^ 2/12;

取代hx和沪元通过h。

C =潜艇(C);

取代z通过它的价值，1 /（6 * H ^ 2）。因为z不存在于MATLAB®工作空间中，您只能将其作为值存储在参数数组中。

C =潜艇（C，参数，1 /（6 * H ^ 2））;

验证式（1）。

简化（C（3） -  d *拉普拉斯（拉普拉斯（U）））

ANS（X，Y）=
                  $0$

现在，考虑第三阶项hx,沪元。

简化(C (2))

ans =
                  $0$

由于在模版的膨胀不存在这样的术语中，术语 $O (h^{3.})$ in(1)实际上是有序的 $O (h^{4})$ 。考虑模具的第四阶术语。

因子(简化(C (1)))

ans =
                 
                   $(\begin{array}{c} \frac{1}{360} & h & h & h & h & \frac{\partial^{6}}{\partial x^{6}} u (x, y) + 5 \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \frac{\partial^{4}}{\partial x^{4}} u (x, y) + 5 \frac{\partial^{4}}{\partial y^{4}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u (x, y) + \frac{\partial^{6}}{\partial y^{6}} u (x, y) \end{array})$

检查这些条款可与拉普拉斯算子的又一力量来识别。然而，与比较

拉普拉斯(拉普拉斯(拉普拉斯(u)))

ANS（X，Y）=
                 
                   $\frac{\partial^{6}}{\partial x^{6}} u (x, y) + 3. \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \frac{\partial^{4}}{\partial x^{4}} u (x, y) + 3. \frac{\partial^{4}}{\partial y^{4}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u (x, y) + \frac{\partial^{6}}{\partial y^{6}} u (x, y)$

表示的是有序的表达式 $O (h^{4})$ 不能被认定为拉普拉斯算子的第三功率的某个倍数，因为系数不能匹配。

总结

对于方形网格的距离h在相邻的网格点与上述权值的选择之间，得到:

${年代}_{h} = Δ u + \frac{h^{2}}{12} Δ^{2} u + O (h^{4}) 。 (2)$

使用这个扩展的数值方法特征值问题 $Δ u = λ u$ 。加上某个倍数 $Δ^{2} u = λ^{2} u$ 到特征值方程。

$Δ u + \frac{h^{2}}{12} Δ^{2} u = (λ + \frac{h^{2}}{12} λ^{2}) u 。$

这个等式的左边用模板很好地近似了 ${年代}_{h}$ 。因此，使用(2)，一个数值特征值 $μ$ 令人满意的模板 ${年代}_{h} u = μ u$ 一定是特征值的近似值吗 $λ$ 拉普拉斯算子与

$μ = λ + \frac{h^{2}}{12} λ^{2} + O (h^{4}) 。$

对于给定 $μ$ ，解决 $λ$ 获得的拉普拉斯特征值的更好近似。需要注意的是，在二次方程式的解 $λ$ 平方根的正确的符号是由要求，即给定的 $λ \to μ$ 为 $h \to 0$ 。

$λ = \frac{6}{h^{2}} (\sqrt{1 + \frac{μ h^{2}}{3.}} - 1) = \frac{2 μ}{\sqrt{1 + \frac{μ h^{2}}{3.}} + 1} 。 (3.)$

用符号矩阵求解特征值问题

考虑一个l形区域 $Ω$ 由三个单位正方形。

$Ω = {(x, y); - 1 \leq x \leq 0, - 1 \leq y \leq 0} \cup {(x, y); 0 \leq x \leq 1, - 1 \leq y \leq 0} \cup {(x, y); - 1 \leq x \leq 0, 0 \leq y \leq 1} 。$

定义区域角的坐标值。

XMIN = -1;XMAX = 1;YMIN = -1;YMAX = 1;

考虑一个正方形网格组成的奇数的NX = 2 * NX-1在网格点x方向和奇数NY = 2 * NY-1在网格点y方向。

nx = 6;Nx = 2 * nx-1;hx = (xmax-xmin) / (Nx-1);纽约= 6;纽约= 2 * ny-1;hy = (ymax-ymin) / (Ny-1);

创建尹恩惠-通过-NX符号矩阵 $u$ 。它的条目u (i, j)代表的值u(xmin + (j - 1)*hx,ymin + (i - 1)*hy)该解决方案的U（X，Y）特征值问题 $Δ u = λ u$ 。

U =符号（“u”(纽约Nx]);

的边界 $Ω$ 对应于以下指标：

左边界对应(i = 1:Ny, j = 1)。
下边界对应于（I = 1，J = 1：NX）。
右边界对应于(i = 1:ny, j = Nx)和(i = ny: ny, j = nx)。
上边界对应于（I = NY，J = 1：NX）和(i = ny, j = nx: nx)。

U（：，1）= 0;%左边界u (1) = 0;%下边界U（1：NY，NX）= 0;右上边界u(纽约:纽约,nx) = 0;右边界，下半部分U（NY，1：NX）= 0;％上边界，左部U（NY中，nx：NX）= 0;％上边界，右部

该地区与 $0 < x \leq 1$ 和 $0 < y \leq 1$ 不属于 $Ω$ 。设置相应的矩阵项（ⅰ= ny的+ 1：NY，J = NX + 1：NX）零。他们发挥没有进一步的作用，将被忽略。

u(ny + 1: ny,nx + 1: nx) = 0;

问题的未知数是以下矩阵的元素：

U =
                 
                   $(\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u_{2, 2} & u_{2, 3.} & u_{2, 4} & u_{2, 5} & u_{2, 6} & u_{2, 7} & u_{2, 8} & u_{2, 9} & u_{2, 10} & 0 \\ 0 & u_{3., 2} & u_{3., 3.} & u_{3., 4} & u_{3., 5} & u_{3., 6} & u_{3., 7} & u_{3., 8} & u_{3., 9} & u_{3., 10} & 0 \\ 0 & u_{4, 2} & u_{4, 3.} & u_{4, 4} & u_{4, 5} & u_{4, 6} & u_{4, 7} & u_{4, 8} & u_{4, 9} & u_{4, 10} & 0 \\ 0 & u_{5, 2} & u_{5, 3.} & u_{5, 4} & u_{5, 5} & u_{5, 6} & u_{5, 7} & u_{5, 8} & u_{5, 9} & u_{5, 10} & 0 \\ 0 & u_{6, 2} & u_{6, 3.} & u_{6, 4} & u_{6, 5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u_{7, 2} & u_{7, 3.} & u_{7, 4} & u_{7, 5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u_{8, 2} & u_{8, 3.} & u_{8, 4} & u_{8, 5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u_{9, 2} & u_{9, 3.} & u_{9, 4} & u_{9, 5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u_{10, 2} & u_{10, 3.} & u_{10, 4} & u_{10, 5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})$

该区域的内部点

Ω ∖ \partial Ω

对应于指数

(我, j)

包含未知值的

u (我, j)

的问题。在载体中收集这些未知瓦尔。

相关联的符号表达（通过在该示例中的第一部分得到的给定模板）与每个索引（即，与每个未知）。

因为这个表达式在未知元素中是线性的u(存储在瓦尔，你可以把它看成作用于这个向量的矩阵瓦尔。

你可以把S_H作为拉普拉斯算子的矩阵近似。计算它的特征向量和特征值。

因为对于这个近似值，你使用了一个有少量点的网格，只有特征值的前导数字是正确的。

l形区域上拉普拉斯算子的第三高特征值

Ω

是清楚的。拉普拉斯算子的特征函数就是这个函数

u (x, y) = 罪 (π x) 罪 (π y)

与（精确）相关联的本征值

- 2 π^{2} = - 19 。 7 3. 92 。 。 。

。事实上，利用上面的方程(3)，你可以得到一个更好的拉普拉斯特征值的近似值

λ

从模板特征值

μ

使用双精度矩阵求解特征值问题

当您使用符号矩阵，极大地增加不推荐的网格点的数量，因为象征性的计算是显著慢于与MATLAB的双精度矩阵的数值计算。本示例的这一部分说明了如何使用稀疏双算术，其允许改进的数值网格。该L形区域

Ω

设置方式与以前相同。相反，通过象征性的表示未知数内部点，初始化网格值u由1和定义

Ω

由边界点和外部点的值设置为零。而不是限定的符号表达为每个内部点并计算模版作为雅可比，直接设置在模板矩阵作为稀疏矩阵。

这里，S_H是(稀疏的)模板矩阵。使用eigs它处理稀疏矩阵来计算三个最大的特征值。

d（3,3）接近准确的特征值

- 2 π^{2} = - 19 。 7 3. 92088 。 。 。

。利用上面的方程(3)，推导出更精确的拉普拉斯特征值近似值

λ

从模板特征值

μ

。

注意MATLAB膜函数用不同的方法计算拉普拉斯算子的特征函数。

拉普拉斯算子的特征值

膜质量问题

九点有限差分近似

含条款第四，高阶导数

总结

用符号矩阵求解特征值问题

使用双精度矩阵求解特征值问题

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