时滞输入的帕德逼近

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这个例子说明了如何使用控制系统理论Padé逼近到模型的时间延迟一阶系统的响应。时间延迟的系统中，例如，其中，在输入和系统响应之间的延迟的化学和运输过程产生的。当这些输入建模，它们被称为死区时间的投入。

本例使用符号数学工具箱™求解一阶系统的传递函数，并使用Pade近似求出系统对死区时间步长输入的响应。这个例子象征性地进行计算以获得分析结果。

介绍

大致的秩序(m, n)接近功能F（X）周围 $X = X_{0}$ 如

$\frac{{一种}_{0} + {一种}_{1} （ X - X_{0} ） + \dots + {一种}_{米} （ X - X_{0} ）^{米}}{1 + b_{1} （ X - X_{0} ） + \dots + b_{ñ} （ X - X_{0} ）^{ñ}} 。$

的Padé逼近是通过两个幂级数的比率形成的有理函数。因为它是一个理性的功能，它比泰勒级数与极近似的功能更加准确。帕德逼近由符号数学工具箱™函数表示帕德。

当一个极点或零点存在于扩展点 $X = X_{0}$ 中，Padé逼近的精度降低。为了提高准确性，使用Padé逼近其是的另一种形式

$\frac{（ X - X_{0} ）^{p} （ {一种}_{0} + {一种}_{1} （ X - X_{0} ） + \dots + {一种}_{米} （ X - X_{0} ）^{米} ）}{1 + b_{1} （ X - X_{0} ） + \dots + b_{ñ} （ X - X_{0} ）^{ñ}} 。$

该帕德函数返回Padé逼近的另一种形式，当你设置OrderMode输入参数相对的。

求一阶系统的传递函数

一阶系统的行为由该微分方程描述

$τ \frac{d ÿ （ Ť ）}{d Ť} + ÿ （ Ť ） = 一种 X （ Ť ）。$

在MATLAB®中输入微分方程。

SYMSτ一种X（t）的y (t)xS (s)y (s)H（S）tmpF = tau*diff(y)+y == a*x;

查找拉普拉斯变换的F运用拉普拉斯。

F =拉普拉斯(F, t, s)

F =
                  $拉普拉斯 （ ÿ （ Ť ） ， Ť ， 小号 ） - τ (ÿ （ 0 ） - 小号 拉普拉斯 （ ÿ （ Ť ） ， Ť ， 小号 ）) = 一种 拉普拉斯 （ X （ Ť ） ， Ť ， 小号 ）$

假设系统的响应为t = 0是0。利用潜艇以替代Y（0）= 0。

F =潜艇(F, y (0), 0)

F =
                  $拉普拉斯 （ ÿ （ Ť ） ， Ť ， 小号 ） + 小号 τ 拉普拉斯 （ ÿ （ Ť ） ， Ť ， 小号 ） = 一种 拉普拉斯 （ X （ Ť ） ， Ť ， 小号 ）$

要收集常用术语，请使用简化。

F =简化（F）

F =
                  $(小号 τ + 1) 拉普拉斯 （ ÿ （ Ť ） ， Ť ， 小号 ） = 一种 拉普拉斯 （ X （ Ť ） ， Ť ， 小号 ）$

对于可读性，取代的拉普拉斯变换X（t）的和y (t)同xS (s)和y (s)。

F =潜艇（F，[拉普拉斯（X（t）的T，S）拉普拉斯（Y（t）的，T，S）]，[XS（S）YS（S）]）

F =
                  $YS （ 小号 ） (小号 τ + 1) = 一种 XS （ 小号 ）$

传递函数的拉普拉斯变换是YS（S）/ XS（S）。等式两边同时除以xS (s)并利用潜艇来取代YS（S）/ XS（S）同H（S）。

F = F / xS(年代);F =潜艇(F, y (s) / xS (s), H (s))

F =
                  $H （ 小号 ） (小号 τ + 1) = 一种$

解方程H（S）。代替H（S）利用哑变量，用solve求解哑变量，并将解赋给Hsol (s)。

F =潜艇(F、H (s), tmp);Hsol (s) =解决(F, tmp)

Hsol（S）=
                 
                   $\frac{一种}{小号 τ + 1}$

查找系统的响应时间延迟步骤输入

一阶系统的输入是时滞阶跃输入。若要表示步骤输入，请使用亥。由三个单位时间延迟输入。找到拉普拉斯变换使用拉普拉斯。

步骤=希维赛德（T  -  3）;步骤=拉普拉斯（步骤）

一步=
                 
                   $\frac{Ë^{- 3 小号}}{小号}$

求系统的响应，它是传递函数和输入的乘积。

Y = Hsol（秒）*步骤

Y =
                 
                   $\frac{一种 Ë^{- 3 小号}}{小号 (小号 τ + 1)}$

为了能够响应的策划，设置参数一种和τ特定的值。为一种和τ,选择值1和3，分别。

y = subs(y，[a]，[1 3]);y = ilaplace (y,年代);

用Pade近似求系统的响应

查找的顺序Padé逼近[2 2]使用Order输入参数的阶跃输入帕德。

stepPade22 =帕德（步骤中，“秩序”，[2 2]）

stepPade22 =
                 
                   $\frac{3 {小号}^{2} - 4 小号 + 2}{2 小号 (小号 + 1)}$

通过传递函数与输入的Pade近似项相乘，求出对输入的响应。

* stepPade22 yPade22 = Hsol(年代)

yPade22 =
                 
                   $\frac{一种 (3 {小号}^{2} - 4 小号 + 2)}{2 小号 (小号 τ + 1) (小号 + 1)}$

求它的拉普拉斯逆变换yPade22运用ilaplace。

yPade22 = ilaplace（yPade22，S）

yPade22 =
                 
                   $一种 + \frac{9 一种 Ë^{- 小号}}{2 τ - 2} - \frac{一种 Ë^{- \frac{小号}{τ}} (2 τ^{2} + 4 τ + 3)}{τ (2 τ - 2)}$

要绘制的响应，设置参数一种和τ他们的价值观1和3，分别。

yPade22 =潜艇（yPade22，[一tau蛋白]，[1 3]）

yPade22 =
                 
                   $\frac{9 Ë^{- 小号}}{4} - \frac{11 Ë^{- \frac{小号}{3}}}{4} + 1$

画出系统的响应ÿ响应是由Pade近似得到的yPade22。

fplot (y, 20 [0])在fplot(yPade22，[0 20])网格在标题“Padé逼近对死区时间阶跃输入”传说（“对死区时间步长输入的响应”，" Pade ant [22] "，...“位置”，'最好');

使用OrderMode增加Pade近似的准确性

该[2 2]因为极存在于扩张点Padé逼近不代表响应以及0。来增加。的准确性帕德当存在在膨胀点一个极点或零点，设置OrderMode输入相对的参数并重复这些步骤。有关详细信息,请参见帕德。

stepPade22Rel = pade(步骤,“秩序”，[2 2]，'OrderMode'，“相对”）

stepPade22Rel =
                 
                   $\frac{3 {小号}^{2} - 6 小号 + 4}{小号 (3 {小号}^{2} + 6 小号 + 4)}$

* stepPade22Rel yPade22Rel = Hsol(年代)

yPade22Rel =
                 
                   $\frac{一种 (3 {小号}^{2} - 6 小号 + 4)}{小号 (小号 τ + 1) (3 {小号}^{2} + 6 小号 + 4)}$

yPade22Rel = ilaplace (yPade22Rel);yPade22Rel = subs(yPade22Rel，[a]，[1 3])

yPade22Rel =
                 
                   $\frac{12 Ë^{- Ť} (因为 （ \frac{\sqrt{3} Ť}{3} ） + \frac{2 \sqrt{3} 罪 （ \frac{\sqrt{3} Ť}{3} ）}{3})}{7} - \frac{19 Ë^{- \frac{Ť}{3}}}{7} + 1$

fplot (yPade22Rel 20] [0,'显示名称'，'相对Padé逼近[2 2]'）

通过增加顺序来提高Pade近似的精度

你可以通过增加它的阶数来增加Pade近似的精度。增加订单至[4 5]重复以上步骤。该[N-1 N]Padé逼近是近似的响应更好t = 0比[N N]Padé逼近。

stepPade45 =帕德（步骤中，“秩序”[4 - 5])

stepPade45 =
                 
                   $\frac{27 {小号}^{4} - 180 {小号}^{3} + 540 {小号}^{2} - 840 小号 + 560}{小号 (27 {小号}^{4} + 180 {小号}^{3} + 540 {小号}^{2} + 840 小号 + 560)}$

yPade45 = Hsol（秒）* stepPade45

yPade45 =
                 
                   $\frac{一种 (27 {小号}^{4} - 180 {小号}^{3} + 540 {小号}^{2} - 840 小号 + 560)}{小号 (小号 τ + 1) (27 {小号}^{4} + 180 {小号}^{3} + 540 {小号}^{2} + 840 小号 + 560)}$

yPade45 =潜艇（yPade45，[一tau蛋白]，[1 3]）

yPade45 =
                 
                   $\frac{27 {小号}^{4} - 180 {小号}^{3} + 540 {小号}^{2} - 840 小号 + 560}{小号 (3 小号 + 1) (27 {小号}^{4} + 180 {小号}^{3} + 540 {小号}^{2} + 840 小号 + 560)}$

求它的拉普拉斯逆变换yPade45运用ilaplace。近似yPade45使用数字VPA。画出从Pade近似值计算出的响应yPade45。

yPade45 = vpa (ilaplace (yPade45));fplot (yPade45 20] [0,'显示名称'，'Padé逼近[4 5]'）

结论

以下几点已经证明：

Padé逼近逼近可以模拟死区时间步投入。
与在逼近的顺序增加Padé逼近的准确性增加。
当一个极点或零点存在于扩展点，所述Padé逼近是不准确的关于扩展点。为了提高逼近的准确性，设置OrderMode选项相对的。您还可以使用增加相对分子分母的顺序。

时滞输入的帕德逼近

介绍

求一阶系统的传递函数

查找系统的响应时间延迟步骤输入

用Pade近似求系统的响应

使用OrderMode增加Pade近似的准确性

通过增加顺序来提高Pade近似的精度

结论

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