Padé时延输入近似

此示例显示如何在控制系统理论中使用Padé近似，以在一阶系统的响应中模拟时间延迟。在诸如化学和传输过程之类的系统中产生的时间延迟，其中输入和系统响应之间存在延迟。当这些输入进行建模时，它们被称为停止时间输入。

这个例子使用了Symbolic Math Toolbox™来求解一阶系统的传递函数，并使用Padé近似法求出系统对死时间步长输入的响应。这个例子符号化地执行计算以获得解析结果。

介绍

Padé近似的顺序(m, n)近似函数f（x）周围 $X = X_{0.}$ 作为

$\frac{{一种}_{0.} + {一种}_{1} （ X - X_{0.} ） + \dots + {一种}_{m} （ X - X_{0.} ）^{m}}{1 + {B.}_{1} （ X - X_{0.} ） + \dots + {B.}_{N} （ X - X_{0.} ）^{N}} ．$

Padé近似是由两个功率系列的比率形成的合理功能。因为它是一个合理的功能，所以它比泰勒序列更加准确，在近似恒定的恒定函数。Padé近似由符号数学工具箱™功能表示舞．

当杆或零存在于扩展点时 $X = X_{0.}$ ，皮肤近似的准确性降低。为了提高准确性，使用替代形式的Padé近似

$\frac{（ X - X_{0.} ）^{P.} （ {一种}_{0.} + {一种}_{1} （ X - X_{0.} ） + \dots + {一种}_{m} （ X - X_{0.} ）^{m} ）}{1 + {B.}_{1} （ X - X_{0.} ） + \dots + {B.}_{N} （ X - X_{0.} ）^{N}} ．$

这舞函数在设置时返回Padé近似的替代形式OrderMode输入论点相对的．

求一阶系统的传递函数

该微分方程描述了一阶系统的行为

$τ \frac{D. y （ T. ）}{D. T.} + y （ T. ） = 一种 X （ T. ）．$

在MATLAB®中输入微分方程。

Syms.τ一种x（t）y (t)xS (s)y (s)H（s）tmpF = tau*diff(y)+y = a*x;

求它的拉普拉斯变换F使用拉普拉斯．

F =拉普拉斯(F, t, s)

f =
                  $拉普拉斯 （ y （ T. ） 那 T. 那 S. ） - τ (y （ 0. ） - S. 拉普拉斯 （ y （ T. ） 那 T. 那 S. ）) = 一种 拉普拉斯 （ X （ T. ） 那 T. 那 S. ）$

假设系统的响应为t = 0是0.．采用subs替代Y（0）= 0．

F =潜艇(F, y (0), 0)

f =
                  $拉普拉斯 （ y （ T. ） 那 T. 那 S. ） + S. τ 拉普拉斯 （ y （ T. ） 那 T. 那 S. ） = 一种 拉普拉斯 （ X （ T. ） 那 T. 那 S. ）$

要收集常用术语，请使用简化．

f =简化（f）

f =
                  $(S. τ + 1) 拉普拉斯 （ y （ T. ） 那 T. 那 S. ） = 一种 拉普拉斯 （ X （ T. ） 那 T. 那 S. ）$

为了可读性，更换Laplace变换x（t）和y (t)与xS (s)和y (s)．

f =子（f，[laplace（x（t），t，s）laplace（y（t），t，s）]，[xs（s）ys]）

f =
                  $y （ S. ） (S. τ + 1) = 一种 XS. （ S. ）$

传递函数的拉普拉斯变换是ys（s）/ xs．等式两边同时除以xS (s)并使用潜艇替换ys（s）/ xs与H（s）．

F = F / xS(年代);F =潜艇(F, y (s) / xS (s), H (s))

f =
                  $H （ S. ） (S. τ + 1) = 一种$

解方程为H（s）．代替H（s）用一个虚拟变量，用solve求解虚拟变量，并赋值给Hsol (s)．

F =潜艇(F、H (s), tmp);Hsol (s) =解决(F, tmp)

hsol（s）=
                 
                   $\frac{一种}{S. τ + 1}$

查找系统的响应到延时的步骤输入

一阶系统的输入是一个时滞阶跃输入。若要表示阶跃输入，请使用沉重的．将输入延迟三个时间单位。找到拉普拉斯变换使用拉普拉斯．

步骤=沉重（T  -  3）;步骤=拉普拉斯（步骤）

一步=
                 
                   $\frac{{E.}^{- 3. S.}}{S.}$

求系统的响应，它是传递函数和输入的乘积。

y = hsol（s）*步骤

y =
                 
                   $\frac{一种 {E.}^{- 3. S.}}{S. (S. τ + 1)}$

允许绘制响应，设置参数一种和τ特定的值。为一种和τ,选择值1和3.，分别。

Y = subs(Y，[a tau]，[1 3]);y = ilaplace (y,年代);

使用Padé近似求系统响应

找到padé致辞的近似[2]的顺序输入参数舞．

steppade22 = pade（步骤，“秩序”，[2 2]）

stepPade22 =
                 
                   $\frac{3. {S.}^{2} - 4. S. + 2}{2 S. (S. + 1)}$

通过将传递函数与输入的Padé近似值相乘，找到对输入的响应。

* stepPade22 yPade22 = Hsol(年代)

yPade22 =
                 
                   $\frac{一种 (3. {S.}^{2} - 4. S. + 2)}{2 S. (S. τ + 1) (S. + 1)}$

求拉普拉斯逆变换yPade22使用ilaplace.．

ypade22 = ilaplace（ypade22，s）

yPade22 =
                 
                   $一种 + \frac{9. 一种 {E.}^{- S.}}{2 τ - 2} - \frac{一种 {E.}^{- \frac{S.}{τ}} (2 τ^{2} + 4. τ + 3.)}{τ (2 τ - 2)}$

要绘制响应，需要设置参数一种和τ他们的价值观1和3.，分别。

yPade22 = subs(yPade22，[a tau]，[1 3])

yPade22 =
                 
                   $\frac{9. {E.}^{- S.}}{4.} - \frac{11. {E.}^{- \frac{S.}{3.}}}{4.} + 1$

绘制系统的响应y以及通过Padé近似计算得到的响应yPade22．

fplot (y, 20 [0])在fplot(yPade22，[0 20])网格在标题'Padé用于死区时间步骤的近似'传奇（“对死时间阶跃输入的响应”那'Padé approant [2 2]'那......“位置”那'最好'）;

图中包含一个坐标轴。具有标题Padé用于死区时间步进输入的轴的轴包含2个函数线的2个对象。这些对象表示对死区时间步进输入的响应，Padé近似[2]。

使用OrderMode增加Padé approant的准确性

这[2]Padé近似不代表响应良好，因为杆存在于扩展点0.．提高…的准确性舞当扩展点有杆或零时，设置OrderMode输入参数，并重复上述步骤。有关详细信息,请参见舞．

stepPade22Rel = pade(步骤,“秩序”，[2 2]，'ordermode'那'相对的'）

stepPade22Rel =
                 
                   $\frac{3. {S.}^{2} - 6. S. + 4.}{S. (3. {S.}^{2} + 6. S. + 4.)}$

* stepPade22Rel yPade22Rel = Hsol(年代)

YPADE22REL =
                 
                   $\frac{一种 (3. {S.}^{2} - 6. S. + 4.)}{S. (S. τ + 1) (3. {S.}^{2} + 6. S. + 4.)}$

yPade22Rel = ilaplace (yPade22Rel);yPade22Rel = subs(yPade22Rel，[a tau]，[1 3])

YPADE22REL =
                 
                   $\frac{12. {E.}^{- T.} (因为 （ \frac{\sqrt{3.} T.}{3.} ） + \frac{2 \sqrt{3.} 罪 （ \frac{\sqrt{3.} T.}{3.} ）}{3.})}{7.} - \frac{19. {E.}^{- \frac{T.}{3.}}}{7.} + 1$

fplot (yPade22Rel 20] [0,'显示名称'那'相对padé近似[2 2]'）

图中包含一个坐标轴。空时步进输入的标题为Padé近似的轴包含3个函数线类型的对象。这些对象代表对死时间步长输入的响应Padé approximation [2 2]， Relative Padé approximation[2 2]。

通过增加订单来提高Padé近似的准确性

您可以通过增加Padé近似值的顺序来提高其准确性。增加订单到[4 5]然后重复这些步骤。这[n-1 n]Padé近似值近似响应更好t = 0比[n n]Padé近似。

steppade45 = pade（步骤，“秩序”[4 - 5])

stepPade45 =
                 
                   $\frac{27. {S.}^{4.} - 180. {S.}^{3.} + 540 {S.}^{2} - 840. S. + 560}{S. (27. {S.}^{4.} + 180. {S.}^{3.} + 540 {S.}^{2} + 840. S. + 560)}$

ypade45 = hsol（s）* steppade45

yPade45 =
                 
                   $\frac{一种 (27. {S.}^{4.} - 180. {S.}^{3.} + 540 {S.}^{2} - 840. S. + 560)}{S. (S. τ + 1) (27. {S.}^{4.} + 180. {S.}^{3.} + 540 {S.}^{2} + 840. S. + 560)}$

ypade45 =潜艇（ypade45，[tau]，[1 3]）

yPade45 =
                 
                   $\frac{27. {S.}^{4.} - 180. {S.}^{3.} + 540 {S.}^{2} - 840. S. + 560}{S. (3. S. + 1) (27. {S.}^{4.} + 180. {S.}^{3.} + 540 {S.}^{2} + 840. S. + 560)}$

求拉普拉斯逆变换ypade45使用ilaplace.．近似ypade45数值使用VPA.．绘制从Padé近似值计算的响应ypade45．

yPade45 = vpa (ilaplace (yPade45));fplot (yPade45 20] [0,'显示名称'那'Padé近似[4 5]'）

图中包含一个坐标轴。具有标题Padé用于死区时间步进输入的轴的轴包含4个函数线的4个对象。这些对象表示对死区时间步进输入的响应，Padé近似[2]，相对Padé近似[2]，Padé近似[4 5]。

结论

已显示以下几点：

Padé近似值可以模拟死区时间步进输入。
Padé近似值的准确性随着近似值顺序的增加而增加。
当在扩展点处存在极点或零时，拟壳近似对扩展点不准确。为了提高近似的准确性，请设置OrderMode选项相对的．您还可以使用增加分母相对于分子的顺序。

Padé时延输入近似

介绍

求一阶系统的传递函数

查找系统的响应到延时的步骤输入

使用Padé近似求系统响应

使用OrderMode增加Padé approant的准确性

通过增加订单来提高Padé近似的准确性

结论

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