Padé approant - MATLAB和Simul金宝appink - 金宝app,下载188bet金宝搏,金宝搏官方网站

Pade近似值

Padé近似的顺序［米，n］近似函数f（x周围)x＝x₀作为

$\frac{{一个}_{0} + {一个}_{1} （ x - x_{0} ） + .．. + {一个}_{米} {（ x - x_{0} ）}^{米}}{1 + b_{1} （ x - x_{0} ） + .．. + b_{n} {（ x - x_{0} ）}^{n}} ．$

Padé近似是由两个幂级数的比值形成的有理函数。由于它是有理函数，所以在用极点逼近函数时比泰勒级数更精确。Padé近似是用符号数学工具箱™函数表示的pade．

当在膨胀点存在一个极点或零点时x＝x₀，则Padé近似的准确性下降。为了提高准确性，可以使用Padé近似的另一种形式

$\frac{{（ x - x_{0} ）}^{p} （ {一个}_{0} + {一个}_{1} （ x - x_{0} ） + .．. + {一个}_{米} {（ x - x_{0} ）}^{米} ）}{1 + b_{1} （ x - x_{0} ） + .．. + b_{n} {（ x - x_{0} ）}^{n}} ．$

的pade函数将返回Padé近似函数的替代形式OrderMode输入参数相对．

在控制系统理论中使用Padé近似来建模系统响应中的时滞。时间延迟出现在诸如化学和运输过程等系统中，在这些系统中，输入和系统响应之间存在延迟。当这些输入被建模时，它们被称为死区输入。这个例子展示了如何使用符号数学工具箱来模拟一阶系统对死时间输入的响应，使用Padé近似。

一阶系统的行为可用这个微分方程来描述

$τ \frac{d y （ t ）}{d t} + y （ t ）＝一个 x （ t ）．$

在MATLAB中输入微分方程^®．

信谊τ一个x (t)y (t)xS (s)y (s)H(年代)tmpF = tau*diff(y)+y = a*x;

求它的拉普拉斯变换F使用拉普拉斯．

F =拉普拉斯(F, t, s)

F =
                 $拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） - τ (y （ 0 ） - 年代 拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ）) ＝ 一个 拉普拉斯 （ x （ t ） ， t ， 年代 ）$

假设系统的响应为t = 0是0．使用潜艇来代替y (0) = 0．

F =潜艇(F, y (0), 0)

F =
                 $拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） + 年代 τ 拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） ＝ 一个 拉普拉斯 （ x （ t ） ， t ， 年代 ）$

要收集常用术语，请使用简化．

F =简化(F)

F =
                 $(年代 τ + 1) 拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） ＝ 一个 拉普拉斯 （ x （ t ） ， t ， 年代 ）$

为便于阅读，请替换x (t)和y (t)与xS (s)和y (s)．

F =潜艇(F,[拉普拉斯(x (t), t, s)拉普拉斯(y (t), t, s)], [x (s) y (s)))

F =
                 $y （ 年代 ） (年代 τ + 1) ＝ 一个 xS （ 年代 ）$

传递函数的拉普拉斯变换是y (s) / xS (s)．等式两边同时除以xS (s)和使用潜艇来代替y (s) / xS (s)与H(年代)．

F = F / xS(年代);F =潜艇(F, y (s) / xS (s), H (s))

F =
                 $H （ 年代 ） (年代 τ + 1) ＝ 一个$

解方程为H(年代)．代替H(年代)用一个虚拟变量，求解虚拟变量解决，并将解决方案重新分配给H(年代)．

F =潜艇(F、H (s), tmp);H (s) =解决(F, tmp)

H (s) =
                
                  $\frac{一个}{年代 τ + 1}$

一阶系统的输入是一个时滞阶跃输入。若要表示阶跃输入，请使用亥维赛．将输入延迟三个时间单位。求拉普拉斯变换拉普拉斯．

Step = heaviside(t - 3);一步=拉普拉斯(步骤)

一步=
                
                  $\frac{e^{- 3. 年代}}{年代}$

求系统的响应，它是传递函数和输入的乘积。

y = H (s) *步骤

y =
                
                  $\frac{一个 e^{- 3. 年代}}{年代 (年代 τ + 1)}$

若要绘制响应，请设置参数一个和τ他们的价值观。为一个和τ,选择值1和3.,分别。

Y = subs(Y，[a tau]，[1 3]);y = ilaplace (y,年代);

找到Padé近似的顺序(2 - 2)的阶跃输入订单输入参数pade．

stepPade22 = pade(步骤,“秩序”(2 - 2))

stepPade22 =
                
                  $\frac{3. {年代}^{2} - 4 年代 + 2}{2 年代 (年代 + 1)}$

通过将传递函数与输入的Padé近似值相乘，找到对输入的响应。

yPade22 = H (s) * stepPade22

yPade22 =
                
                  $\frac{一个 (3. {年代}^{2} - 4 年代 + 2)}{2 年代 (年代 τ + 1) (年代 + 1)}$

求拉普拉斯逆变换yPade22使用ilaplace．

yPade22 = ilaplace (yPade22年代)

yPade22 =
                
                  $一个 + \frac{9 一个 e^{- 年代}}{2 τ - 2} - \frac{一个 e^{- \frac{年代}{τ}} (2 τ^{2} + 4 τ + 3.)}{τ (2 τ - 2)}$

要绘制响应，需要设置参数一个和τ他们的价值观1和3.,分别。

yPade22 = subs(yPade22，[a tau]，[1 3])

yPade22 =
                
                  $\frac{9 e^{- 年代}}{4} - \frac{11 e^{- \frac{年代}{3.}}}{4} + 1$

绘制系统的响应y以及通过Padé近似计算得到的响应yPade22．

持有在网格在fplot([y yPade22]，[0 20]) title(“死时间阶跃输入的Pade近似”)传说(“对死时间阶跃输入的响应”，.．.'Pade approant [2 2]'，.．.“位置”，“最佳”）

图中包含一个坐标轴。死时间步长输入的Pade近似轴包含2个函数线类型的对象。这些对象表示对死时间步长输入的响应，Pade近似[2 2]。

的(2 - 2)Padé近似不能很好地表示响应，因为在展开点处存在一个极点0．提高…的准确性pade当膨胀点有极点或零点时，设OrderMode输入参数相对然后重复这些步骤。有关详细信息,请参见pade．

stepPade22Rel = pade(步骤,“秩序”(2 - 2),“OrderMode”，“相对”）

stepPade22Rel =
                
                  $\frac{3. {年代}^{2} - 6 年代 + 4}{年代 (3. {年代}^{2} + 6 年代 + 4)}$

yPade22Rel = H (s) * stepPade22Rel

yPade22Rel =
                
                  $\frac{一个 (3. {年代}^{2} - 6 年代 + 4)}{年代 (年代 τ + 1) (3. {年代}^{2} + 6 年代 + 4)}$

yPade22Rel = ilaplace (yPade22Rel)

yPade22Rel =
                
                  $\begin{array}{l} 一个 - \frac{一个 e^{- \frac{t}{τ}} (4 τ^{2} + 6 τ + 3.)}{σ_{1}} + \frac{12 一个 τ e^{- t} (因为 （ \frac{\sqrt{3.} t}{3.} ） - \sqrt{3.} 罪 （ \frac{\sqrt{3.} t}{3.} ） (\frac{36 一个 - 72 一个 τ}{36 一个 τ} + 1))}{σ_{1}} \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 4 τ^{2} - 6 τ + 3. \end{array}$

yPade22Rel = subs(yPade22Rel，[a tau]，[1 3])

yPade22Rel =
                
                  $\frac{12 e^{- t} (因为 （ \frac{\sqrt{3.} t}{3.} ） + \frac{2 \sqrt{3.} 罪 （ \frac{\sqrt{3.} t}{3.} ）}{3.})}{7} - \frac{19 e^{- \frac{t}{3.}}}{7} + 1$

fplot (yPade22Rel 20] [0,“DisplayName的”，'Relative Pade approant [2 2]'）

图中包含一个坐标轴。死时间步长输入的Pade近似轴包含3个函数线类型的对象。这些对象代表对死时间步长输入的响应，Pade近似[2 2]，相对Pade近似[2 2]。

Padé近似的准确性也可以通过增加它的阶数来提高。增加订单到5 [4]然后重复这些步骤。的n (n - 1)Padé approant更适合近似于t = 0比[n n]Pade近似值。

stepPade45 = pade(步骤,“秩序”[4 - 5])

stepPade45 =
                
                  $\frac{27 {年代}^{4} - 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} - 840 年代 + 560}{年代 (27 {年代}^{4} + 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} + 840 年代 + 560)}$

yPade45 = H (s) * stepPade45

yPade45 =
                
                  $\frac{一个 (27 {年代}^{4} - 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} - 840 年代 + 560)}{年代 (年代 τ + 1) (27 {年代}^{4} + 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} + 840 年代 + 560)}$

yPade45 = subs(yPade45，[a tau]，[1 3])

yPade45 =
                
                  $\frac{27 {年代}^{4} - 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} - 840 年代 + 560}{年代 (3. 年代 + 1) (27 {年代}^{4} + 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} + 840 年代 + 560)}$

yPade45 = ilaplace (yPade45)

yPade45 =
                
                  $\begin{array}{l} \frac{294120 (\sum_{k ＝ 1}^{4} \frac{e^{t σ_{2}} {σ_{2}}^{2}}{σ_{1}})}{1001} - \frac{2721 e^{- \frac{t}{3.}}}{1001} + \frac{46440 (\sum_{k ＝ 1}^{4} \frac{e^{t σ_{2}} {σ_{2}}^{3.}}{σ_{1}})}{1001} + \frac{172560 (\sum_{k ＝ 1}^{4} \frac{e^{t σ_{2}}}{σ_{1}})}{143} + \frac{101520 (\sum_{k ＝ 1}^{4} \frac{e^{σ_{2} t} σ_{2}}{12 (90 σ_{2} + 45 {σ_{2}}^{2} + 9 {σ_{2}}^{3.} + 70)})}{143} + 1 \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 12 (9 {σ_{2}}^{3.} + 45 {σ_{2}}^{2} + 90 σ_{2} + 70) \\ σ_{2} ＝ 根 （ {年代}_{5}^{4} + \frac{20. {年代}_{5}^{3.}}{3.} + 20. {年代}_{5}^{2} + \frac{280 {年代}_{5}}{9} + \frac{560}{27} ， {年代}_{5} ， k ） \end{array}$

yPade45 = vpa (yPade45)

yPade45 =
                 $3.2418384981662546679005910164486 e^{- 1.930807068546914778929595950184 t} 因为 （ 0.57815608595633583454598214328008 t ） - 2.7182817182817182817182817182817 e^{- 0.33333333333333333333333333333333 t} - 1.5235567798845363861823092981669 e^{- 1.4025262647864185544037373831494 t} 因为 （ 1.7716120279045018112388813990878 t ） + 11.595342871672681856604670597166 e^{- 1.930807068546914778929595950184 t} 罪 （ 0.57815608595633583454598214328008 t ） - 1.7803798379230333426855987436911 e^{- 1.4025262647864185544037373831494 t} 罪 （ 1.7716120279045018112388813990878 t ） + 1．0$

fplot (yPade45 20] [0,“DisplayName的”，'Pade approant [4 5]'）

图中包含一个坐标轴。死时间步长输入的Pade近似轴包含4个函数线类型的对象。这些对象代表对死时间步长输入的响应，Pade近似[2 2]，相对Pade近似[2 2]，Pade近似[4 5]。

提出了以下几点:

Padé近似可以模拟死时间步长输入。
Padé近似值的准确性随着近似值顺序的增加而增加。
当在膨胀点存在极点或零点时，Padé近似关于膨胀点是不准确的。为了提高近似的准确性，设置OrderMode选项相对．你也可以用增加分母相对于分子的顺序。

Pade近似值

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