连续小波变换(CWT)计算信号的内积, ,通过分析小波的翻译和扩展版本, CWT的定义是:
通过将CWT重写为傅里叶反变换,也可以将CWT解释为基于频率的信号滤波。
在哪里 而且 分别是信号和小波的傅里叶变换。
从前面的方程可以看出,在时间上拉伸小波会导致它在频域的支持度缩小。金宝app除了缩小频率支持外,小波的中心频率也向较低的频率移动。金宝app下图演示了假设小波和尺度(膨胀)因子为1、2和4时的这种效应。
这将CWT描述为输入信号的带通滤波。低尺度的CWT系数表示输入信号中较高频率的能量,而高尺度的CWT系数表示输入信号中较低频率的能量。然而,与傅里叶带通滤波器不同的是,CWT中的带通滤波器的宽度与尺度成反比。CWT的宽度过滤器随着规模的增加而减少。这是根据不确定性信号的时间支持度和频率支持度之间的关系:信号在时间上的支持度越宽,在频率上的支持度越窄。金宝app相反的关系也成立。
在小波变换中,定义了规模或膨胀操作以保存能量。为了在减少频率支持的同时保持能量,需要增加峰值能级。金宝app实施类
在小波工具箱™中使用L1归一化。的品质因数,或品质因数一个滤波器的能量是它的峰值能量与带宽之比。由于缩小或拉伸小波的频率支持会导致其峰值能量相应的增加或减少,小波通常被称为常数q滤波器。金宝app
前一节中的方程将CWT定义为傅里叶变换乘积的傅里叶反变换。
的时间傅里叶反变换中的变量是平移参数,b.
这表明你可以用傅里叶反变换来计算CWT。因为有有效的算法来计算离散傅里叶变换和它的逆,你经常可以实现相当大的节省通过使用<一个href="//www.tatmou.com/help/matlab/ref/fft.html">fft
而且<一个href="//www.tatmou.com/help/matlab/ref/ifft.html">传输线
在可能的情况下。
为了获得傅里叶域中CWT的图像,从小波变换的定义开始:
如果你定义:
你可以把小波变换写成
它明确地将CWT表示为卷积。
为了实现离散化的CWT,假设输入序列是一个长度为N的向量,x [n].上述卷积的离散版本为:
为了得到CWT,似乎你必须计算每个shift参数值的卷积,b,并对每个刻度重复此过程,一个.
然而,如果这两个序列是循环扩展的(周期化到长度N),您可以将循环卷积表示为离散傅里叶变换的乘积。CWT是乘积的傅里叶反变换
其中Δt为采样间隔(周期)。
将CWT表示为傅里叶反变换使您能够使用计算效率<一个href="//www.tatmou.com/help/matlab/ref/fft.html">fft
而且<一个href="//www.tatmou.com/help/matlab/ref/ifft.html">传输线
减少计算卷积成本的算法。
的<一个href="//www.tatmou.com/help/wavelet/ref/cwt.html">类
函数实现了CWT。