规模-局部波动性和相关性
小波变换有许多不同的变化。本例重点讨论了最大重叠离散小波变换。MODWT是一种二进(2的幂)尺度上的非抽取小波变换，经常用于金融数据。MODWT用于时间序列分析的一个很好的特征是它按尺度划分数据方差。为了说明这一点，考虑1974年第一季度到2012年第四季度的美国实际GDP季度链加权数据。对数据进行转换，首先取自然对数，然后计算年与年的差异。用“db2”小波获取真实GDP数据到第6级的MODWT。检验数据的方差，并与MODWT得到的尺度方差进行比较。
负载GDPcomponentsrealgdpwt = modwt (realgdp,“db2”6);vardata = var (realgdp, 1);varwt = var (realgdpwt 1 2);
在vardata这是总GDP时间序列的方差。在varwt你有MODWT的尺度方差。有七个要素varwt因为你得到的MODWT下降到第6级，导致6个小波系数方差和一个缩放系数方差。按比例对方差求和，以确保方差保持不变。按比例绘制小波方差，忽略比例系数方差。
totalMODWTvar =总和(varwt);bar(varwt(1:end-1，:))) AX = gca;斧子。XTickLabels = {“[2 4)”,“[4 8)”,“[8 16)”,“[16个32)”,“64年(32)”,“[64 128)”};包含(“季度”) ylabel (“方差”)标题(“小波尺度方差”）
因为这个数据是季度的，所以第一个尺度捕捉了2到4个季度之间的变化，第二个尺度捕捉了4到8之间的变化，第三个尺度捕捉了8到16之间的变化，以此类推。
从MODWT和一个简单的条形图可以看出，8到32个季度之间的数据周期是GDP数据差异最大的原因。如果考虑这些尺度上的小波方差，它们占GDP数据变化率的57%。这意味着GDP在2到8年期间的波动是时间序列中所看到的大部分变化的原因。
小波分析常常可以揭示在汇总数据中不明显的波动变化。从GDP数据的图表开始。
helperFinancialDataExample1 (realgdp,年,“年复一年的美国实际GDP”）
阴影部分被称为“大缓和”(Great Moderation)，意指从20世纪80年代中期开始，美国宏观经济波动下降的时期。
从总体数据来看，我们并不清楚这一时期的波动性是否真的降低了。使用小波来研究这一点，首先使用“db2”小波获取真实GDP数据的多分辨率分析，将其降至第6级。
realgdpwt = modwt (realgdp,“db2”6“反射”）;gdpmra = modwtmra (realgdpwt,“db2”,“反射”）;
画出第一级的细节，D1。这些细节捕捉了持续时间在两个季度和四个季度之间的数据波动。
: helperFinancialDataExample1 (gdpmra(1),年,．..“年比实际美国GDP - D1”）
从第一级的细节来看，大缓和时期的差异似乎有所减少。
测试一级小波系数的显著方差变化点。
[pts_Opt, kopt t_est] = wvarchg (realgdpwt(1,1:元素个数(realgdp)), 2);年(pts_Opt)
ans = 1982
在1982年确定了一个方差变化点。这个例子没有纠正第一级上由“db2”小波引入的延迟。然而，这种延迟只是两个样本，所以不会对结果产生明显的影响。
为了评估1982年前后GDP数据波动性的变化，将原始数据分成变化点前和变化点后的序列。获取前后数据集的小波变换。在这种情况下，级数相对较短，因此使用Haar小波最小化边界系数的数量。按尺度计算小波方差的无偏估计并绘制结果。
tspre = realgdp (1: pts_Opt);tspost = realgdp (pts_Opt + 1:结束);wtpre = modwt (tspre,“哈雾”5);wtpost = modwt (tspost,“哈雾”5);prevar = modwtvar (wtpre,“哈雾”,“表”）;postvar = modwtvar (wtpost,“哈雾”,“表”）;xlab = {“[2 q, 4 q)”,“[4 q, 8 q)”,“[8 q, 16 q)”,“[16 q, 32 q)”,“[32 q 64 q)”};helperFinancialDataExampleVariancePlot (prevar postvar,“表”xlab)标题(“小波尺度方差”）;传奇(“1982年第二季度之前”,“1982后Q2”,“位置”,“西北”）;
从前面的图中可以看出，在2个季度和16个季度之间，1982年q2前和1982年q2后的方差在量表上存在显著差异。
因为在这个例子中时间序列很短，所以使用方差的有偏估计是很有用的。有偏估计不去除边界系数。使用四个系数的“db2”小波滤波器。
wtpre = modwt (tspre,“db2”5,“反射”）;wtpost = modwt (tspost,“db2”5,“反射”）;prevar = modwtvar (wtpre,“db2”, 0.95,“EstimatorType”,“有偏见的”,“表”）;postvar = modwtvar (wtpost,“db2”, 0.95,“EstimatorType”,“有偏见的”,“表”）;xlab = {“[2 q, 4 q)”,“[4 q, 8 q)”,“[8 q, 16 q)”,“[16 q, 32 q)”,“[32 q 64 q)”};图;helperFinancialDataExampleVariancePlot (prevar postvar,“表”xlab)标题(“小波尺度方差”）;传奇(“1982年第二季度之前”,“1982后Q2”,“位置”,“西北”）;
结果证实了我们最初的发现，大缓和表现在2到16个季度的波动减少。
您还可以使用小波按比例分析两个数据集之间的相关性。检验政府支出和私人投资的总体数据之间的相关性。这些数据涵盖了与实际GDP数据相同的时期，并以完全相同的方式进行了转换。
(ρ,pval] = corrcoef (privateinvest govtexp);
政府支出和个人投资的负相关系数为-0.215，虽然弱，但在统计上显著。使用MODWT重复这个分析。
wtPI = modwt (privateinvest,“db2”5,“反射”）;wtGE = modwt (govtexp,“db2”5,“反射”）;wcorrtable = modwtcorr (wtPI wtGE,“db2”, 0.95,“反射”,“表”）;显示器(wcorrtable)
wcorrtable = 6x6 table NJ Lower Rho Upper Pvalue AdjustedPvalue ___________ ________ __________ _________ ______________ D1 257 -0.29187 -0.12602 0.01531 0.7502 D2 251 -0.54836 -0.35147 -0.11766 0.0040933 0.060171 D3 239 -0.62443 -0.35248 -0.0043207 0.047857 0.35175 D4 215 -0.70466 -0.32112 0.20764 0.22523 0.82773 D5 167 -0.63284 0.129650.76448 - 0.75962 1 S5 167 -0.63428 0.12728 0.76347 0.76392 1
MODWT的多尺度相关仅在尺度2上呈现显著的负相关，对应4 ~ 8个季度数据的周期。即使是这种相关性在经过多次比较调整后也只是略微显著。
多尺度相关分析表明，总体数据的轻微负相关是由4 - 8个季度尺度上的数据行为驱动的。当你考虑不同时期(规模)的数据时，没有显著的相关性。
在财务数据中，变量之间通常存在一种先导或滞后关系。在这些情况下，检查互相关序列是有用的，以确定是否滞后一个变量相对于另一个变量最大的相互关。为了说明这一点，考虑GDP的两个组成部分——个人消费支出和国内私人投资总额之间的相关性。
piwt = modwt (privateinvest,“fk8”5);pcwt = modwt(电脑,“fk8”5);图;modwtcorr (piwt pcwt,“fk8”）
个人支出和个人投资在2-4个季度内呈负相关。在较长尺度上，个人支出与个人投资之间存在较强的正相关关系。在代表2-4个季度周期的尺度上检查小波互相关序列。
(xcseq xcseqci,滞后)= modwtxcorr (piwt pcwt,“fk8”）;zerolag =地板(元素个数(xcseq {1}) / 2) + 1;情节(滞后{1}(zerolag: zerolag + 20), xcseq {1} (zerolag: zerolag + 20));持有在；情节(滞后{1}(zerolag: zerolag + 20), xcseqci {1} (zerolag: zerolag + 20日),“r——”）;包含(“滞后(季度)”）;网格在；标题(“小波互相关序列—[2Q,4Q]”）;
最小尺度的小波互相关序列在滞后1个季度后出现峰值正相关。这表明个人投资落后个人支出四分之一。
引用:
Aguigar-Conraria, l·马丁斯。m.f.和苏亚雷斯M.J.“跨越时间和频率的收益曲线和宏观经济”，《经济动态与控制学报》，36,12,1950-1970,2012。
克罗利,点《经济学家的小波指南》，《经济调查杂志》，21,2,207-267,2007。
加莱加蒂，M;塞姆勒，w。“小波分析在经济与金融中的应用”，《金融研究》，2014年第1期。
珀西瓦尔，D.B.和瓦尔登，A.T.《时间序列分析的小波方法》，剑桥大学出版社，2000年。
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